精品解析：陕西省镇安中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，集合，， 所以. 故选：C 2. 样本数据10，12，15，16，22，26，27，34的第分位数是（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算求解. 【详解】从小到大排列的样本数据10，12，15，16，22，26，27，34，共8个数据， 因为，所以数据的第分位数是第五个数据值. 故选：D. 3. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用复数乘法和除法计算化简，最后应用共轭复数的定义求解. 【详解】复数， 则. 故选：C. 4. 设等比数列的前项和为，公比，则（ ） A. 4 B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列求和公式可直接化简计算得到结果. 【详解】. 故选：B. 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用余弦定理计算，再结合角的范围求值. 【详解】在中，，， 则，， 则角. 故选：C. 6. 在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ） A. 0.25米 B. 0.5米 C. 0.75米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用基本不等式可得答案. 【详解】由可知，且， 故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：A. 7. 若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线为1求解. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆上有且仅有3个点到直线的距离为1， 得圆心到直线为1，则，而， 所以. 故选：B 8. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列满足，，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 使得的的最小值为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前7项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可. 【详解】由，，可得， 设等差数列的公差为，，所以是递减数列，B选项错误； 因为，所以，所以，A选项正确； 所以为正，从第8项起均为负，，故选项C正确； 所以， 所以的的最小值为14，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系中，函数的图象是双曲线，记其焦点分别为，，为其图象上任意一点，则（ ） A. 轴是的一条渐近线 B. C. 双曲线的焦距为4 D. 双曲线的离心率为2 【答案】AC 【解析】 【分析】本题围绕函数对应的双曲线，从渐近线、双曲线定义、焦距、离心率等角度，结合等轴双曲线的判定（渐近线垂直且）逐一分析选项. 【详解】选项A：函数是反比例函数，其图象的渐近线为轴和轴， 因此轴是双曲线的一条渐近线，A正确. 选项B： 双曲线的对称轴为直线，联立， 代入得，即，解得或. 当时，；当时，，故双曲线的顶点为和. 实半轴长. 根据双曲线定义，，B错误. 选项C： 因为双曲线的渐近线轴和轴互相垂直，所以该双曲线是等轴双曲线 （等轴双曲线的渐近线互相垂直，且实半轴长与虚半轴长相等）. 由，得，再由，得，即. 焦距为，C正确. 选项D： 离心率，D错误. 故选：AC 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 的单调递减区间为， C. 当且仅当时， D. 轴是曲线的一条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可求得时的解析式，判断A；利用导数判断函数单调性判断B；结合奇偶性利用单调性求出值域判断C；结合极值点的概念数形结合判断D. 【详解】由题意知函数是定义域为的奇函数，当时，， 故当时，，则，A正确； 当时，，则， 令，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 故当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 结合奇函数性质可知，函数在和上单调递减， 和上单调递增，故B正确； 由函数单调性与奇偶性可知，当时，，当时，， 作出图象如图， 所以当时，，故C错误； 由B选项分析在时取得极小值， 结合函数为奇函数可知在时取得极大值， 由此可知轴是曲线的一条切线，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若平面向量，，若，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可直接求得结果. 【详解】，又， ，解得：. 故答案为：. 13. 设，若，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由得到，由，利用二倍角的正弦公式得到，求出，即可得到的值. 【详解】，，， ，， ， ，， 故答案为：. 14. 已知四面体的各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的外接球的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意圆柱的底面半径为正三角形的外接圆半径，高为四面体的高，进而可得. 【详解】正三角形的外接圆半径为， 四面体的高， 所以圆柱的外接球的半径， 即该球的表面积， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）设函数，求的值域. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦型函数的对称性可求得函数图象的对称轴方程； （2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的有界性可得出函数的值域. 【小问1详解】 函数， 令，，得，， 图象的对称轴方程为，. 【小问2详解】 ， ， 函数的值域为. 16. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. （1）求小明答4道题后积分小于5的概率； （2）设小明答5道题后积分为，求； （3）若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则，，证明：为等比数列. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分小明4题都答错，或答对1题，答错3题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小明答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）根据全概率公式得，再构造成等比数列即可证明. 【小问1详解】 小明答4道题后积分小于5，则小明4题都答错，或答对1题，答错3题， 故所求概率为. 【小问2详解】 设小明答对的题数为，则他答错的题数为，， 由题意知，， . 【小问3详解】 当小明的积分为时，若小明接下来一题答对，则积分变为， 若小明接下来一题答错，则积分变为， 由全概率公式有，整理可得， 又，等比数列. 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，且.现将沿折起，使二面角为直二面角，得到四棱锥，如图2. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 在图1的中，，， 又，，即， 二面角为直二面角，平面平面， 又平面平面，平面， 平面. 【小问2详解】 平面，，，，两两垂直， 故以点为原点，、、的方向分别为、、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则，，， 设直线与平面所成角为，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，由椭圆和抛物线组合成曲线，与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.直线与相交所得弦的中点为，与相交所得弦的中点为，证明：直线，（为原点）的斜率之积为定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用“等差椭圆”的定义，结合求出离心率. （2）由（1）及已知求出与的方程，利用中点弦问题可得，再将的方程与的方程联立求出点的坐标，进而计算得证. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列， 得，又，，则， 即有，而，解得， 所以“等差椭圆”的离心率为. 【小问2详解】 由（1）及椭圆是“等差椭圆”，且，得，则，， 解得，于是，， 设直线与相交于点，线段的中点， 则，，两式相减得， ，即， 由已知，，得，因此，， 由消去得，又， 则，，设点， 则，， 即点，，所以，为定值. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围； （3）若，设，且，证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调递区间. （2）等价变形给定不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可. （3）由（2）的结论可得，利用不等式的性质及已知得，再利用导数及零点存在性定理，结合不等式性质证得即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 不等式， 设函数，求导得， 设，求导得， 函数在上单调递增，且， 则当时，，；当时，，， 函数上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，当且仅当时等号成立， 则，即，同理， 于是，即， 当时，，，显然当时，，单调递增， 当时，令，则， 当时，；当时，， 则当时，，单调递增， 而，且，则存在唯一，使得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则存在唯一，使得， 因此当时，，当时，， 而，且，于，即， 又，则，即，从而， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 样本数据10，12，15，16，22，26，27，34的第分位数是（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 22 3 设复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的前项和为，公比，则（ ） A. 4 B. 7 C. D. 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（ ） A. B. C. D. 6. 在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ） A. 0.25米 B. 0.5米 C. 0.75米 D. 1米 7. 若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列满足，，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 使得的的最小值为14 10. 某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系中，函数的图象是双曲线，记其焦点分别为，，为其图象上任意一点，则（ ） A. 轴是的一条渐近线 B. C. 双曲线的焦距为4 D. 双曲线的离心率为2 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 的单调递减区间为， C. 当且仅当时， D. 轴是曲线的一条切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若平面向量，，若，则实数_____. 13 设，若，则_____. 14. 已知四面体的各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的外接球的表面积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）设函数，求值域. 16. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. （1）求小明答4道题后积分小于5的概率； （2）设小明答5道题后积分为，求； （3）若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则，，证明：为等比数列. 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，且.现将沿折起，使二面角为直二面角，得到四棱锥，如图2. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，由椭圆和抛物线组合成曲线，与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.直线与相交所得弦的中点为，与相交所得弦的中点为，证明：直线，（为原点）的斜率之积为定值. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围； （3）若，设，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $