3.2平面直角坐标系讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二节 平面直角坐标系 一、思维导图 二、知识梳理 一、平面直角坐标系及有关概念 1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系（简称直角坐标系）.其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴.它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面. 2.象限的划分：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分叫做四个象限，其中x轴正半轴和y轴正半轴围成的部分（右上方）叫做第一象限、其它三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限. 注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限. 二、点的坐标 1.点的坐标的概念：对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒.平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 2.平面上的点与有序数对的关系：在直角坐标系中，对于平面上的任意一个点，都有唯一的一个有序数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序数对，都有平面上唯一的一点与它对应.即平面内点的与有序实数对是一一对应的. 3.点的坐标特点 （1）各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限 点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限 （2）坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，点P坐标为（0，0）即原点 （3）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线（直线y=-x）上x与y互为相反数 （4）和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同. 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同. (5)点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： ①点P(x,y)到x轴的距离等于 ②点P(x,y)到y轴的距离等于 ③点P(x,y)到原点的距离等于 三、夯实基础 （一）选择题 1.已知点的坐标为，其中，均为实数，若，满足，则称点为“和谐点”若点是“和谐点”，则点所在的象限是 (     ) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 2.平面直角坐标系内有一点，若，则点的位置在 (     ) A. 原点 B. 轴上 C. 轴上 D. 坐标轴上 3.若点在第二象限内，则点在 (     ) A. 轴正半轴上 B. 轴负半轴上 C. 轴正半轴上 D. 轴负半轴上 4.在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点到轴的距离是(     ) A. B. C. D. 5.经过两点，作直线，则直线(     ) A. 平行于轴 B. 平行于轴 C. 经过原点 D. 以上说法都不对 （二）填空题 6.点在轴上，则点的坐标是           ． 7.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，，则点的坐标是           ． 8.如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点在轴上，且坐标是，点在轴上，则点的坐标为           ． （三）解答题 9.如图，长方形的长与宽分别是，，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标． 10.在平面直角坐标系中，有点． 当时，求点到轴的距离； 若点的横坐标比纵坐标少，求点的坐标； 点的坐标为，直线轴，求点的坐标．   四、拓展提升 （一）选择题 1.已知点，，，若直线轴，点在轴的负半轴上，则点在  (    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.下列说法不正确的是(    ) A. 若，则点一定在第二、第四象限角平分线上 B. 点到轴的距离为 C. 若中，则点在轴上 D. 点一定在第二象限 3.如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，点的坐标为，则点的坐标为  (    ) A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从、点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第次跳跃时最左边点的坐标是(    ) A. B. C. D. （二）填空题 5.如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是          ． 6.已知点的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为          ． 7.在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则定义：为点到坐标原点的“折线距离”如：已知，则点到坐标原点的“折线距离”若点满足，且点到坐标原点的“折线距离”，则的坐标为           ． （三）解答题 8.已知平面直角坐标系中有一点． 若点在轴上，求此时点的坐标； 若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； 若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 9.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． 点的“长距”为          ； 若点是“完美点”，求的值； 若点的长距为，且点在第三象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二节平面直角坐标系 参考答案： 三、夯实基础 题号12 45 6 7 P 答案 B D A DA (-1, (3,1) (0,-3) 9解：以点C为坐标原点， 分别以CD、CB所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，如图所示： 此时点c的坐标是(0,0)： :CD=6,CB=4, 点D的坐标是(6,0)：点B的坐标是(0，)，点A的坐标是(6,4).（答案不唯一） 10.(1)解：当a=1时，点P的坐标为(-2,7)， 点P到x轴的距离为7； (2)2a-4+5=a+6, 解得a=5, .点P的坐标为(6,11)； (3:直线PQ/y轴， .2a-4=-7, 解得a=-1.5, 点P的坐标为(-74.5). 四、拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C B (2026, (-4,2)或 (-4,2)或 (6,2) (4,-2) 8.(1)解：N在x轴上， .2n-3=0, n=, n+2=子， N(3,0): (2)解：：点N在过点A(2,8)且与y轴平行的直线上， .n+2=2, .n=0, (3)解：：点N到x轴的距离与到y轴的距离相等， 第1页共2页 .|n+2=2n-3|, ∴n=5或n=青， N(7,7)或N(-) 9.(1)4 (2)解：：点B(3-2a,-1)是“完美点”， .|3-2a=|-1|, .3-2a=1或3-2a=-1. 解得a=1或a=2 (3)解：点C(-2,3b+1)的长距为5，且点C在第三象限内， 3b+1=-5, 解得b=-2, .4-2b=4+4=8, 点D的坐标为(8，-8)， 点D到x轴、y轴的距离都是8， D是“完美点”. 第2页共2页