精品解析：广西南宁市第三中学2025-2026学年高一上学期11月段考数学试题

南宁三中2025～2026学年度上学期高一段考 数学试题 2025.11 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 以下对数式中，与指数式等价的是（ ） A. B. C. D. 4. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 A. 15 B. 25 C. 40 D. 130 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关幂函数的结论中，正确的是（ ） A. 的图象都经过点 B. 的图象可能会出现在第四象限 C. 当时，在是增函数 D. 当时，在是减函数 10. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（且），则该函数的图象恒过定点__________. 13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则______． 14. 已知奇函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简式子：； （2）已知，求的值. 16. 已知函数（）. （1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）求关于x的不等式的解集. 17. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）已知函数在区间上的最小值为－4，求. 18. （1）证明：函数为奇函数的充要条件是． （2）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． ①求函数的图象的对称中心． ②类比上述推论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广的结论． 19. 已知定义在上的奇函数. （Ⅰ） 求的值； （Ⅱ） 若存在，使不等式有解，求实数的取值范围； （Ⅲ）已知函数满足，且规定，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2025～2026学年度上学期高一段考 数学试题 2025.11 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定即可得到答案． 【详解】命题“”的否定是“”． 故选：C． 3. 以下对数式中，与指数式等价的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数式和对数式的关系即可得出. 【详解】根据指数式和对数式的关系，等价于. 故选：A. 4. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 A. 15 B. 25 C. 40 D. 130 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，令，结合分段条件，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数， 令，若，则，不合题意； 若，则，满足题意； 若，则，不合题意． 故该公司拟录用25人． 故选B 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中合理利用分段函数的解析式，结合分段条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除B和C； 当时，，故排除A. 故选：D. 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数、幂函数的性质，结合复合函数单调性判断确定的单调增区间. 【详解】令，则或， 由抛物线的开口向上，故在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性，则的单调递增区间为. 故选：C 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据指数函数在上的单调性比较，的大小；再根据幂函数在上的单调性比较，的大小即可求解. 【详解】∵函数在上单调递减，且，，即. ∵函数在上单调递增，且，，即. . 故选：C. 8. 若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，将问题转化为恒成立问题，然后参变分离，结合二次函数性质求解可得. 【详解】令，因为，所以， 所以当时，恒成立，即， 因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关幂函数的结论中，正确的是（ ） A. 的图象都经过点 B. 的图象可能会出现在第四象限 C. 当时，在是增函数 D. 当时，在是减函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】由幂函数的性质可知，即的图象都经过点，故A正确； 若函数的图象出现在第四象限，且函数在第一象限内必有图象， 从而存在，使得一个对应两个值，与函数的定义矛盾，故B错误； 当时，在是增函数，故C正确； 当时，在是减函数，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可判断AB；利用，结合基本不等式可判断C；由，计算可判断D. 【详解】因为正数，满足，所以，所以， 当且仅当时，取等号，故A正确，B错误； ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； ，当且仅当时，取等号，故D正确. 故选：ACD. 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得，结合题意分析求解即可；对于C：分析可知，分析和两种情况运算求解；对于D：，整理可得，分和两种情况运算求解即可. 【详解】对于A：取，故A错误； 对于B：因为，可得， 又因为，即，可得，即，故B正确； 对于C：若，则， 又因为，则， 当时，； 当时，； 综上所述：，故C错误； 对于D：设，则， 所以， 当时，， 可得， 故当时，成立； 当时，则， 可得， 故当时，成立；故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（且），则该函数的图象恒过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的特征得到，求出定点坐标. 【详解】因为（且）的图象恒过点， 令得，则， 则的图象恒过点. 故答案为： 13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解. 【详解】函数是定义在上的奇函数，所以 故答案为:. 14. 已知奇函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性求得不等式的解集. 【详解】构造函数， 依题意，的定义域是，是奇函数， 所以，所以是偶函数， 由于对，，都有， 所以在上单调递增，则在上单调递减. ， 由得，即， 所以或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】本题的关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型.任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简式子：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算公式计算即可； （2）把两边平方，整理后再两边平方即可求解. 【详解】（1） ； （2）因为，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以. 16. 已知函数（）. （1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） 函数在上单调递增，证明如下： 设任意的，且， 则， 即， 所以函数在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）先判断函数单调性，再由单调性的定义证明； （2）由函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知函数单调递增， 所以， 故不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）已知函数在区间上的最小值为－4，求. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式求解可得； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. 【小问1详解】 当时，， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 开口向上，对称轴， 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 综上，. 18. （1）证明：函数为奇函数的充要条件是． （2）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． ①求函数的图象的对称中心． ②类比上述推论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广的结论． 【答案】18. 证明如下： 当是奇函数时，易知的定义域为， 所以，即，则，充分性成立； 当时，，易知的定义域为， 又，所以是奇函数，必要性成立； 综上，函数为奇函数的充要条件是 19. ①； ②函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质与判定，结合充要条件的证明方法即可得证； （2）①利用推广结论，结合奇函数的性质求得，从而得解； ②类比推论即可得解. 【18题详解】 略 【19题详解】 ①不妨设的图象的对称中心为， 则为奇函数，易知的定义域为， 而 ， 所以，解得， 则，易知其为奇函数，满足题意， 所以，即的图象的对称中心为. ②略 19. 已知定义在上的奇函数. （Ⅰ） 求的值； （Ⅱ） 若存在，使不等式有解，求实数的取值范围； （Ⅲ）已知函数满足，且规定，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）6. 【解析】 【分析】（Ⅰ）定义在上的奇函数，所以利用特殊值求解，然后检验即可. （Ⅱ）首先根据定义证明函数在上单调递减，然后再根据单调性将等价转化为有解，即，求二次函数的最小值，即可解出实数的取值范围. （Ⅲ）首先根据，，解出，代入得到解析式，令，（），则，利用基本不等式求最值求出. 【详解】（Ⅰ）是上的奇函数，, , 当时，, 此时是奇函数成立. ； （Ⅱ）任取且， ， , 上为减函数. 若存在，使不等式有解，则有解 ，当时，， , （Ⅲ）, , , ，且也适合, , 任意，不等式恒成立, , 令， 令, 任取且， ， 当时，，上为增函数. 当时，，上为减函数. 时即, , , , ，且, ，同理在上是增函数，在上是减函数. 时,的最大值为6. 【点睛】本题考查已知函数的奇偶性求参数值，考查函数单调性的证明，考查利用函数的单调性求参数，考查利用均值不等式求最值，同时考查了学生整理换元的思想以及学生的计算能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $