专题03 圆的方程6大题型（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高二数学上学期人教A版

专题03 圆的方程 6大高频考点概览 考点01 圆的一般方程与标准方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 考点04 圆的弦长问题 考点05 圆的切线问题 考点06 与圆有关的最值 地 城 考点01 圆的一般方程与标准方程 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（    ） A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径 D．圆心，半径 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而可得圆心与半径. 【详解】由化为标准方程可得， 故圆心，半径. 故选:A. 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知圆心为，半径为，进而可得圆的方程. 【详解】因为，可知线段的中点为，且， 即圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为. 故选：D. 3．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)一束光线从点出发经轴反射后经过点，半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知圆心在法线上面，故首先求出法线方程，然后结合圆与入射光线相切即可确定圆心位置，从而即可得解. 【详解】由题意入射光线不垂直轴，设入射光线交轴于点， 则由题意，即，解得， 所以法线方程为即轴， 由题意半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切， 所以由对称性可知圆心在轴上，不妨设为， 而入射光线为，所以圆心在轴正半轴上，即， 所以半径为的圆恰好与入射光线相切得，解得， 所以圆心，圆的标准方程是. 故选：C. 二、多选题 4．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知圆，则（    ） A．圆可能过原点 B．圆心在直线上 C．圆与直线相切 D．圆被直线所截得的弦长为 【答案】AD 【分析】依据点与圆的位置关系即可判断A，把圆心代入直线方程看是否满足方程即可判断B，求出圆心到直线的距离即可判断C，利用弦长公式求得弦长即可判断D. 【详解】由圆知：圆心，半径， 对于A：把原点代入圆的方程得， 所以解得或， 所以当或时，圆过原点，故A正确； 对于B：把圆心代入得， 当时，，此时圆心不在直线上，故B不正确； 对于C：圆心到直线的距离：， 所以圆与直线相离，故C不正确； 对于D：圆心到直线的距离为：， 所以圆被直线所截得的弦长为：，故D正确. 故选：AD. 三、解答题 5．(24-25高二上·宁夏银川第三十一中学·期末)已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)圆关于直线对称，则实数（    ） A．1 B．-3 C．1或-3 D．-1或3 【答案】B 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程即可求解. 【详解】的圆心坐标为， 因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上，也即， 解得：或. 当时，可得：，符合圆的方程； 当 时，可得：，配方可得：，舍去. 故选：B 2．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知圆，直线过点，则 (　  ) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系即可判断. 【详解】由圆，可得， ∴圆C的圆心坐标为，半径，又， ∴，∴点在圆的内部， ∴直线 l 与 C 相交． 故选：A. 二、多选题 3．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)直线：与圆：的公共点的个数可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离的取值范围，即可判断. 【详解】圆：的圆心为，半径， 当时，点到直线的距离， 因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为或． 故选：BC． 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知直线，圆，则（ ） A．经过定点 B．圆与圆：外离 C．当与圆相切时，. D．圆心到直线距离的最大值为 【答案】AD 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，根据两圆位置关系判断B；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断C；求出圆心到动直线的最大距离即可判断D. 【详解】对于选项A：因为， 令，解得，所以l过定点，故A正确； 对于选项B：圆可化为，可知其圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 因为，即，可知两圆相交，故B错误； 对于选项C：若与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得，故C错误； 对于选项D：当时，圆心到直线距离的最大， 此时最大值为，故D正确. 故选：AD. 5．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知直线，圆，则（ ） A．经过定点 B．圆与圆：的公切线有4条 C．当与圆相切时， D．圆上点到直线距离的最大值为 【答案】AD 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，根据两圆位置关系判断B；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断C；求出圆心到动直线的最大距离即可求解判断D. 【详解】对于选项A：因为， 令，解得，所以l过定点，故A正确； 对于选项B：圆可化为，可知其圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 因为，即， 可知两圆相交，所以圆C与圆的公切线有2条，故B错误； 对于选项C：若与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得，故C错误； 对于选项D：因为圆心到直线距离的最大值为， 所以圆上点到直线距离的最大值为，故D正确； 故选：AD. 6．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知圆，直线．则下列结论正确的是（    ） A．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 B．对于任意实数m，直线l恒过定点（1，1） C．若圆C与圆恰有三条公切线，则 D．若动点D在圆C上，点，则线段中点M的轨迹方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，通过计算圆心到直线的距离进行分析即可，对于B，对直线方程变形求解即可，对于C，由两圆有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出的值，对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为代入圆C方程中化简可得答案 【详解】对于A，圆的圆心为，半径，当时，直线，则圆心到直线的距离为，因为，所以圆C上只有两个点到直线l的距离等于1，所以A错误， 对于B，由，得，由于，所以，得，所以直线恒点，所以B正确， 对于C，因为圆C与圆恰有三条公切线，所以两圆相外切，由，得，所以，解得，所以C正确， 对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为，因为动点D在圆C上，所以，化简得，所以线段中点M的轨迹方程为，所以D正确， 故选：BCD 三、解答题 7．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，△ABC的面积是，求的值. 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据题意，求出的垂直平分线方程为，分析可得圆心为直线和的交点，联立直线的方程可得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由圆的标准方程可得答案； （2）由题意直线恒过点，此点同时为圆与轴负半轴的交点，又圆心，求得，根据三角形面积可求得点的纵坐标，可得点的坐标，得解. 【详解】（1）由题知，线段的中点为坐标原点，因为直线的斜率不存在，所以线段的垂直平分线的方程是， 由题意可知，圆心也在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解，解得即圆心的坐标是. 又圆的半径， 所以圆的方程为. （2）由题意可知，直线恒过点，此点同时为圆与轴负半轴的交点. 又圆心，则，所以， 解得或. 所以满足条件的点可以为或或或， 依次代入直线方程，得或或或.    地 城 考点03 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距和两半径的关系得到两圆内切，从而得到公切线条数. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 所以，圆内切， 所以与圆都相切的直线只有1条． 故选：A． 2．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断方法求得正确答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 因为，所以圆与圆内切. 故选：D 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案. 【详解】由题意得，，则的中点的坐标为， 直线的斜率. 由圆与圆关于对称，得的斜率. 因为的中点在上，所以，即. 故选：C. 二、多选题 4．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)若圆与圆相切，则的值可以为（    ）. A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】确定两圆圆心和半径，根据两圆的位置关系得到或，解得答案. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径，圆心距， 两圆相切，故或，故或. 故选：AC 三、填空题 5．(23-24高二上·宁夏银川宁夏育才中学·期末)若圆与圆外切，则值为 ； 【答案】4 【分析】根据两圆外切列方程，解方程即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为且， 圆即，圆心为，半径为4， 因为两圆外切，所以，解得. 故答案为：4. 地 城 考点04 圆的弦长问题 一、单选题 1．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弦长公式即可求得结果. 【详解】圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离， 所以直线l被圆C截得的弦长为. 故选：D 2．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【详解】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 3．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用，化简求值，即可得到答案. 【详解】圆的圆心为，圆心到直线的距离公式为，   故 故选：C. 二、解答题 4．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用已知圆心特征和半径列方程组，即可求得圆的方程； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果. 【详解】（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点， 设圆心坐标为，则，解得，， 圆心，半径， 故圆的方程为. （2）点，直线过点， 当的斜率存在时，设直线的斜率为（存在）， 则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为， 故弦心距，故，解得， 所以直线方程为，即， 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件， 故的方程为或. 5．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知动点与两个定点，的距离的比是2. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. 【详解】（1）设点， 动点与两个定点，的距离的比是， ，即， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； （2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 6．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)圆的圆心为，且过点. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交两点，且，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出. 【详解】（1）设圆的半径为，则， 故圆的标准方程为：； （2）设圆心到直线的距离为， 则， 由垂径定理得：， 即，解得：或. 7．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. 【详解】（1）设，因为，满足，即， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）圆心到直线的距离， 所以. 地 城 考点05 圆的切线问题 一、填空题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知圆，直线过点.若直线与圆相切，则直线的方程为 【答案】或 【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线恰好与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 故答案为：或. 2．(23-24高二上·青海西宁大通县·期末)已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则 ． 【答案】1 【分析】结合切线长定理可得△ABC为等边三角形，即可得. 【详解】 由圆：可得圆心坐标为，半径， 由、为圆切线，故， 又 故， 又，故为等边三角形，故. 故答案为：1. 二、解答题 3．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知圆的圆心在直线上，直线. (1)求的值； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程； (3)过（2）中的点作圆的切线，求直线的一般式方程. 【答案】(1) (2). (3)或. 【分析】（1）根据圆的一般方程确定圆心，结合点在直线上，列方程解方程； （2）设，根据两点关于直线对称，列方程，解方程即可； （3）设点斜式方程，由直线与圆相切，根据点到直线的距离列方程，解方程. 【详解】（1）由已知圆， 则圆心， 又圆心在直线上， 即，解得； （2）由（1）得圆，即， 即，半径， 设，则中点为，且， 所以由对称可知， 解得， 即， 所以圆； （3）根据题意可得直线的斜率存在， 则可设直线的方程为， 即， 则， 解得或， 故直线的方程为或， 即一般式方程为或. 4．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)已知直线，圆． (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据圆的弦长公式求解即可； （2）先求出定点，分切线的斜率是否存在，再根据圆心到切线的距离等于半径即可得解. 【详解】（1）圆的圆心，半径， ，圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为； （2）直线变形得， 令，则， 所以直线过定点， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到切线的距离为，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述所求直线方程为或. 5．(23-24高二上·青海西宁大通县·期末)已知的圆心为，且过点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于点，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆心坐标和圆上的一个点的坐标求圆的标准方程； （2）利用直线与圆的位置关系求解. 【详解】（1）由题可知，的半径为, 所以的标准方程为. （2）因为直线与相切于点，且, 所以，所以， 由点斜式得，，整理得，. 6．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知圆． (1)圆与圆交于两点，求公共弦长； (2)直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）先联立方程组求出公共弦所在直线方程；再根据点到直线距离求出圆心到直线的距离；最后根据弦长公式即可得出答案. （2）根据直线斜率是否存在分类讨论，再结合点到直线距离及直线与圆相切列出关系式求解即可得出答案. 【详解】（1）由题意可知：圆C的圆心为，半径，圆D的圆心为，半径， 可得，可知两圆相交 联立，作差得：直线方程为． 圆心到直线距离为， 故公共弦长． （2）由圆可得：圆心坐标为，半径为 1°若直线斜率不存在，则直线方程为，此时点到直线的距离为， 故直线与圆相切，符合题意； 2°若直线斜率存在，设直线方程为，即. 由直线与圆相切可得：，解得． 此时直线的方程为：， 综上直线的方程为：或． 7．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知的三顶点坐标为，求 (1)的外接圆的方程; (2)过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）设外接圆的一般方程为，代入点坐标，待定系数即得解； （2）分不存在，存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可. 【详解】（1）不妨设外接圆的一般方程为 故 解得： 即的外接圆的方程为： （2）由题意， 故圆心为，半径， 若切线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，成立，故为圆C的切线； 若切线的斜率存在，不妨设切线为：， 圆心到直线的距离：，解得 故切线方程为： 综上，过点的圆的切线方程为： 或 8．(24-25高二上·宁夏银川灵武第一中学·期末)已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求经过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，求出圆心坐标及半径即可； （2）按切线斜率存在与否，结合点到直线的距离公式求出切线方程. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为； （2）点到直线的距离为2，即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，因此方程为， 所以经过点且与圆相切的直线方程为或. 9．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)直线过点且与点的轨迹只有一个公共点，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设，应用两点距离公式及已知条件，整理化简求轨迹方程； （2）由题意，直线与相切，讨论所求直线斜率，设直线方程，根据圆心与直线距离求参数求直线方程. 【详解】（1）设，由条件，则， 整理：，即点的轨迹方程为. （2）过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，即直线与相切，    当直线的斜率存在时，不妨设， 则圆心到直线的距离，得：，此时； 当的斜率不存在时，直线此时直线与圆相切； 综上所述，满足题意得直线的方程为：或 地 城 考点06 与圆有关的最值 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)已知圆的方程为，直线恒过定点若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值（   ） A．9 B．12 C．15 D． 【答案】A 【分析】首先求出直线恒过的定点，然后求出点关于直线的对称点，根据两点之间线段最短，的最小值等于（为圆的半径）. 【详解】将直线方程变形为，令，解得，所以定点. 设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以. 圆的方程为，圆心，半径. 的最小值等于， ，， ， 所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题 2．(24-25高二上·宁夏银川灵武第一中学·期末)若直线分别与轴，轴交于，两点，点是圆上的一点，则的面积可能为（    ） A．8 B．11 C．14 D．17 【答案】BC 【分析】圆，圆心为，利用圆上点到直线之间的距离最大值为圆心到直线距离加半径，距离最小值为圆心到直线距离减半径，从而确定三角形的高的取值范围，然后得到面积的取值范围. 【详解】易得，，所以. 圆的标准方程为，圆心为， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的取值范围为， 所以. 故选：BC. 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的周长为 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2 【答案】ACD 【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. 【详解】对于A，设，则， 化简得，，即，则选项A正确； 对于B，可知曲线的半径为1，周长为，故B错误； 对于C，设曲线上的圆心， 所以圆心到直线的距离为：， 曲线上的点到直线的最小距离为，故C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， ， 的准线方程为：， 所以的最小值为点到直线的距离减半径， 即为，故D正确.    故选：ACD. 三、填空题 4．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为 ；若该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设出点的坐标，列出方程并化简求得阿氏圆的标准方程；再由切线长定理求出直线上的点向圆所作切线长的最小值. 【详解】设点，依题意，，即， 则，整理得， 所以所求圆的标准方程为； 该阿氏圆的圆心为，半径， 点到直线的距离， 依题意，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：；    5．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知为圆上任意一点，，为直线上的两个动点，且，则面积的取值范围是 . 【答案】 【解析】底，高为点到直线的距离，所以只需求出点到直线的距离的范围即可. 【详解】解：圆心到直线的距离为，所以圆与直线相离， 则圆上一点到直线的距离的范围为， 又，所以的面积，即， 故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆上的点到直线的距离，考查学生的转化能力，属于中档题. 6．(23-24高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·期末)若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】圆，即，圆心为，半径为， 因为圆（，）被直线平分， 则直线过圆心，即， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的方程 6大高频考点概览 考点01 圆的一般方程与标准方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 考点04 圆的弦长问题 考点05 圆的切线问题 考点06 与圆有关的最值 地 城 考点01 圆的一般方程与标准方程 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（    ） A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径 D．圆心，半径 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)一束光线从点出发经轴反射后经过点，半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知圆，则（    ） A．圆可能过原点 B．圆心在直线上 C．圆与直线相切 D．圆被直线所截得的弦长为 三、解答题 5．(24-25高二上·宁夏银川第三十一中学·期末)已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)圆关于直线对称，则实数（    ） A．1 B．-3 C．1或-3 D．-1或3 2．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知圆，直线过点，则 (　  ) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 二、多选题 3．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)直线：与圆：的公共点的个数可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知直线，圆，则（ ） A．经过定点 B．圆与圆：外离 C．当与圆相切时，. D．圆心到直线距离的最大值为 5．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知直线，圆，则（ ） A．经过定点 B．圆与圆：的公切线有4条 C．当与圆相切时， D．圆上点到直线距离的最大值为 6．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知圆，直线．则下列结论正确的是（    ） A．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 B．对于任意实数m，直线l恒过定点（1，1） C．若圆C与圆恰有三条公切线，则 D．若动点D在圆C上，点，则线段中点M的轨迹方程为 三、解答题 7．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，△ABC的面积是，求的值. 地 城 考点03 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)若圆与圆相切，则的值可以为（    ）. A． B． C． D． 三、填空题 5．(23-24高二上·宁夏银川宁夏育才中学·期末)若圆与圆外切，则值为 ； 地 城 考点04 圆的弦长问题 一、单选题 1．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 5．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知动点与两个定点，的距离的比是2. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 6．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)圆的圆心为，且过点. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交两点，且，求. 7．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求. 地 城 考点05 圆的切线问题 一、填空题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知圆，直线过点.若直线与圆相切，则直线的方程为 2．(23-24高二上·青海西宁大通县·期末)已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则 ． 二、解答题 3．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知圆的圆心在直线上，直线. (1)求的值； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程； (3)过（2）中的点作圆的切线，求直线的一般式方程. 4．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)已知直线，圆． (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 5．(23-24高二上·青海西宁大通县·期末)已知的圆心为，且过点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于点，求的方程． 6．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知圆． (1)圆与圆交于两点，求公共弦长； (2)直线过点且与圆相切，求直线的方程． 7．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知的三顶点坐标为，求 (1)的外接圆的方程; (2)过点作圆的切线，求切线方程. 8．(24-25高二上·宁夏银川灵武第一中学·期末)已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求经过点且与圆相切的直线方程. 9．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)直线过点且与点的轨迹只有一个公共点，求直线的方程． 地 城 考点06 与圆有关的最值 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)已知圆的方程为，直线恒过定点若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值（   ） A．9 B．12 C．15 D． 二、多选题 2．(24-25高二上·宁夏银川灵武第一中学·期末)若直线分别与轴，轴交于，两点，点是圆上的一点，则的面积可能为（    ） A．8 B．11 C．14 D．17 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的周长为 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2 三、填空题 4．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为 ；若该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为 . 5．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知为圆上任意一点，，为直线上的两个动点，且，则面积的取值范围是 . 6．(23-24高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·期末)若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $