17.2 用公式法分解因式（第3课时）教学设计2025-2026学年人教版八年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 17.2　用公式法分解因式（第3课时） 教学目标 1．能够熟练辨别多项式的结构特征，灵活运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解，发展运算能力． 2．运用因式分解解决一些简单问题，发展运算能力和推理能力． 教学内容 教学重点 能够熟练辨别多项式结构特征，多次运用提公因式法、公式法进行因式分解． 教学难点 灵活运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解． 教学过程 教学环节 主要师生活动 复习提问 问题：我们之前学习过的因式分解方法有哪些？ 师生活动：学生思考后自主发言，教师引导学生回顾，提公因式法是提取公因式分解因式如pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)、公式法是利用平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)或完全平方公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2、a2－2ab＋b2＝(a－b)2，将符合公式结构特征的多项式进行因式分解．师生共同梳理两种方法的核心要点，明确因式分解是整式乘法的逆运算． 追问：运用提公因式法和公式法进行因式分解时，多项式分别需要满足怎样的结构特征？ 师生活动：学生独立思考并尝试说明，教师针对学生回答进行补充与规范：提公因式法适用的多项式需各项存在公因式，可通过系数（找最大公因数）、字母（找相同字母）和次数（相同字母的最低次幂）确定公因式；对于公式法，若多项式为两项式，当呈现两数平方差的形式，即两项符号相反且均为平方形式时，可考虑平方差公式；若为三项式，当其中两项是平方和，另一项是这两数乘积的2倍（可正可负），则适用完全平方公式．教师结合简单实例板书分析过程，强化学生对多项式结构特征的识别能力． 设计意图：通过问题链引导学生系统回顾因式分解的方法体系，从概念定义到结构特征，逐步加深理解．在师生互动中规范数学语言表达，强化知识要点，为后续学习复杂因式分解问题搭建知识桥梁． 例题精讲 过渡语：对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法，我们将通过以下例题深入探究这些方法的综合运用技巧． 例1　分解因式： （1）x4－y4； （2）a3b－ab． 师生活动：教师首先引导学生观察题目，让学生独立思考并尝试解答，同时教师巡视课堂，教师记录学生的典型思路（如直接用公式、先提公因式等）和常见错误（如分解不彻底等）．然后教师邀请学生分享思路，针对学生回答进行追问与补充．如在分析x4－y4时，若学生仅用一次平方差公式时，教师追问“分解后的式子是否还能进一步分解”；对于a3b－ab，引导学生思考“提取公因式ab后，如何观察剩余式子的结构特征”．随后，教师结合学生反馈，在黑板上规范板书解题过程，强调每一步的依据与注意事项，例如分解顺序、符号处理、公式准确运用等． 解：（1）x4－y4 （2）a3b－ab ＝(x2＋y2)(x2－y2) ＝ab(a2－1) ＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)； ＝ab(a＋1)(a－1)． 追问：从上述因式分解的过程看，有哪些关键步骤易出错？如何避免这些错误？ 师生活动：先让学生自主交流易错点，如漏提公因式、公式用错、分解不彻底等．教师再总结解题策略：先找公因式并提取，再看剩余部分能否用公式，最后检查每一个多项式因式是否分解到不能再分解． 设计意图：通过问题引导和互动探究，帮助学生掌握复杂因式分解的解题思路，明确“先提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底”的解题策略．在互动中纠正学生思维误区，突破综合运用因式分解方法的难点，规范解题步骤，培养严谨的逻辑思维习惯，发展推理能力． 例2　分解因式： （1）3ax2＋6axy＋3ay2；（2）－ax2＋2a2x－a3． 师生活动：学生先独立思考并尝试解答，教师巡视．巡视中，教师重点关注：（1）中学生是否因多项式的系数复杂而忽略公因式3a；（2）中是否正确处理首项负号．教师再邀请学生分享解题思路，若学生对3ax2＋6axy＋3ay2无法找到突破口，引导学生针对例1（2）进行对比并追问：“对于复杂的因式分解问题时，一般步骤是什么？”对于忽略－ax2＋2a2x－a3首项为负号的学生，通过以下问题进行引导：“提取公因式a之后，首尾两项是平方项的相反数，与完全平方公式的“平方和”不一致，可以通过什么方法可以改变符号呢？” 教师结合学生反馈，在黑板上同步板书规范的解题过程． 解：（1）3ax2＋6axy＋3ay2 （2）－ax2＋2a2x－a3 　　 ＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝－a(x2－2ax＋a2) ＝3a(x＋y)2； ＝－a(x－a)2． 追问：我们前面总结了因式分解的解题策略“先提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底”，通过这道题还需要补充哪些新的注意事项？ 师生活动：组织学生讨论后小组代表发言，教师总结：本题考查公因式的精准提取（尤其含字母系数时）和符号处理．在原来总结的解题策略基础上，可以补充两条注意事项：一是遇到字母系数式子，要逐字母、逐系数分析公因式；二是首项平方项为负时，可以优先提取负号并同步改变括号内各项符号，避免公式应用时符号出错． 设计意图：借助对例题式子特征、分解过程的分析与讨论，强化多次运用公式法，及先提公因式再用公式法的操作步骤，引导学生在实际解题中掌握复杂因式分解的方法，帮助学生突破判断因式分解先后顺序和方法组合的难点，培养灵活选择方法解题的能力与严谨的数学思维习惯． 课堂练习 1．分解因式： （1）x2y－4y； （2）a3－2a2＋a； （3）ax2＋2a2x＋a3； （4）－a4＋16； （5）3a－6ax＋3ax2； （6）－4bx2＋8bxy－4by2． 2．分解因式： （1）(a－b)2＋4ab； （2）(p－4)(p＋1)＋3p． 师生活动：学生先独立完成课堂练习，再相互评判、纠错，教师巡视指导并选派学生代表展示，最后师生共同点评． 对于第1题的（1）（2）（3）（6）小题，重点点评公因式提取是否准确、公式运用是否正确；第1题的（4）（6）小题，强调符号处理和式子整理；第2题的（1）小题，点评式子展开与合并同类项后再用公式的思路，（2）小题则着重讲解先展开式子再因式分解的方法，对比不同学生的解题过程，分析哪种方法更简洁高效． 设计意图：通过分层练习与多元互动，巩固复杂因式分解方法，培养自主思考与合作学习能力；借助教师针对性点评，解决共性与个性问题，优化解题思维，突破教学重难点． 课堂小结 师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）因式分解的一般步骤是什么？每一步的关键要点是什么？ （2）因式分解中有哪些常见错误？解题中如何避免？可以结合课堂练习说一说． 设计意图：通过师生共同归纳的过程，引导学生系统梳理因式分解的核心知识与实践要点，加深学生对重难点的理解，提升其综合运用因式分解方法解决问题的能力，同时培养严谨的数学思维和学习习惯． 课后任务 教科书习题17.2第3，5，6题． 4 学科网（北京）股份有限公司 $