专题01 条件概率、全概率公式随机变量分布列及其均值方差5大题型（专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题01 条件概率、全概率公式随机变量分布列及其均值方差 目录 A题型建模・专项突破 题型一、变条件概率 2 题型二、事件相互独立 3 题型三、全概率公式（常考点） 4 题型四、离散型随机变量及其分布 5 题型五、离散型随机变量及其分布的均值和方差 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、条件概率 1.如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 2.从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 3.已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某校团委举办《强国有我》主题演讲比赛，共有7人进入决赛，其中高一年级有3人，高二年级有2人，高三年级有2人.现采取抽签法决定演讲顺序，设事件“高一年级的3个人不相邻”，事件“高二年级的2个人相邻”，则 . 5.为弘扬传统文化，某单位开展投壶游戏．现甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投，若未投中，则换为对方投，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为．第3次投壶的人是乙的概率为 ，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为 ． 题型二、事件的相互独立 6.（25-26高二上·上海嘉定·期中）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 7．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为5”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则下列说法正确的是（    ） A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为相互独立事件 8．（2025高二上·上海·专题练习）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立. B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 9.（湖北省孝感新高考协作体2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）（多选）某公交公司有公交车50辆，按车型大小分为大巴车与中巴车2种，按燃油类型分为汽油车与柴油车2种，其车辆数如表所示. 项目 汽油车 柴油车 合计 大巴车 10 20 30 中巴车 5 15 20 合计 15 35 50 记事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到大巴车”，事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到汽油车”.下列说法正确的是（   ） A．事件的对立事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车” B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 10.（多选）已知事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果与互斥，那么 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 题型三、全概率公式（常考点） 11.全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 12.近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 13.（2025·广东广州·模拟预测）（多选）某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人.同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人.现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远､铅球､跳高分别为事件A､B､C，则（    ） A． B． C． D． 14.（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）（多选）甲同学准备今天去图书馆学习.已知甲同学乘出租车､乘公交车､坐地铁去图书馆的概率分别为；且他乘出租车､乘公交车､坐地铁到达图书馆后，能找到空座位的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学乘出租车去图书馆且能找到空座位的概率为 B．甲同学乘公交车到达图书馆后，没能找到空座位的概率为 C．甲同学在图书馆能找到空座位的概率大于 D．若甲同学在图书馆找到了空座位，则他乘地铁出行的概率为 15.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 16.已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 题型四、离散型随机变量及其分布 17.已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值． 18.2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，S组合与组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛组合获胜的概率为，每局比赛胜负结果相互独立，规定先达到净胜3局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）. (1)分别求恰好3局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率，恰好5局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率； (2)若规定比赛总局数达到7局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列； (3)若比赛局数不限，求组合获得比赛胜利的概率. 19.人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)求小明以获得比赛胜利的概率； (2)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； (3)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列. 题型五、离散型随机变量均值和方差 20.（25-26高三上·广东·期中）一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望 . 21.（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某高校一学生和智能人形机器人进行一场“网球”比赛，比赛采用三局两胜制.已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)在该同学获得比赛胜利的条件下，求他以获胜的概率； (2)记整场比赛该同学获胜局数为，求的分布列和数学期望. 22．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. (1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； (2)求甲最终获胜的概率； (3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 23．（2025·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 25．（2025·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (3)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 26.为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． (1)若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； (2)试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 1.（25-26高二上·浙江·期中）（多选）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（    ） A． B．当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C．一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D．若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 2．（2025·贵州·模拟预测）（多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（    ）    A． B．与相互独立 C． D． 3．（24-25高二下·福建漳州·期末）（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（    ） A．6维“立方体”的顶点有36个 B． C． D． 5.（25-26高二上·广东茂名·期中）小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 6.（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 条件概率、全概率公式随机变量分布列及其均值方差 目录 A题型建模・专项突破 题型一、变条件概率 3 题型二、事件相互独立 7 题型三、全概率公式（常考点） 10 题型四、离散型随机变量及其分布 14 题型五、离散型随机变量及其分布的均值和方差 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、条件概率 1.如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”， 每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：， 设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为 因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等， 记，，则，即. 若即则路径数有6种； 若即则路径数有24种； 若即则路径数有6种； 所以. 事件“向右移动2次且回到点” 要使向右移动2次且回到点，则且， 又，所以，路径数有6种； . . 故选：A. 2.从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一次抽到3或6的概率为，所以， 当第一次抽到3时：第二次可抽4,5,6,7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以， . 故选：A. 3.已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是不放回，所以第1次摸完后还剩6个球， 又因为事件发生了，即第1次摸出了1个红球和1个白球，还剩3个红球和3个白球. ， 故选：A. 4.（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某校团委举办《强国有我》主题演讲比赛，共有7人进入决赛，其中高一年级有3人，高二年级有2人，高三年级有2人.现采取抽签法决定演讲顺序，设事件“高一年级的3个人不相邻”，事件“高二年级的2个人相邻”，则 . 【答案】 【详解】事件包含的样本点数的计算： 第一步，安排高二、高三年级4人，由种不同的排法； 第二步，将高一年级人插空，有种不同的排法， 故事件包含的样本点数共有个. 事件包含样本点数的计算： 第一步，高二年级人内部排列，有种不同的排法； 第二步，将高二年级人看作一个元素，与高三年级共个元素全排列，有种不同的排法； 第三步，将高一年级人插空，有种不同的排法； 故事件AB包含的样本点数共有个 所以. 5.为弘扬传统文化，某单位开展投壶游戏．现甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投，若未投中，则换为对方投，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为．第3次投壶的人是乙的概率为 ，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为 ． 【答案】 【详解】第3次投壶的人是乙的情况有：甲甲乙、甲乙乙、乙乙乙、乙甲乙， 所以第3次投壶的人是乙的概率为． 第2次投壶的人是甲的情况有：甲甲、乙甲，设“第2次投壶的人是甲”为事件，“第1次投壶的人是乙”为事件， 则． 故答案为：，. 题型二、事件的相互独立 6.（25-26高二上·上海嘉定·期中）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 【答案】D 【详解】解：抛掷骰子两次，共有个基本事件数, 则, 共18个基本事件，则, 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则, 且，则, ，所以C错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是7，则, 则,且，则 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D. 7．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为5”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则下列说法正确的是（    ） A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为相互独立事件 【答案】D 【详解】为样本空间， 对于A，， 比如第一次第一次抛掷骰子的点数为，该事件既不在中，也不在中， 所以与不为对立事件. 对于B，事件为，所以与不为互斥事件. 对于C,， 所以与不相互独立. 对于D，， 所以与相互独立. 故选：D. 8．（2025高二上·上海·专题练习）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立. B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【详解】不放回地依次取出两个，基本事件有，共种， 事件“”；事件“”； 事件“”；事件“”. 事件，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以与不相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； 故选：A 9.（湖北省孝感新高考协作体2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）（多选）某公交公司有公交车50辆，按车型大小分为大巴车与中巴车2种，按燃油类型分为汽油车与柴油车2种，其车辆数如表所示. 项目 汽油车 柴油车 合计 大巴车 10 20 30 中巴车 5 15 20 合计 15 35 50 记事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到大巴车”，事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到汽油车”.下列说法正确的是（   ） A．事件的对立事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车” B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 【答案】AC 【详解】对于A，事件M的对立事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到的不是大巴车”， 即“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车”，故A正确； 对于B，由于存在既是大巴车又是汽油车的车，故事件M与事件N可能同时发生， 从而不是互斥事件，故B错误； 对于C，总车辆数为50，大巴车30辆，汽油车15辆， 则，故C正确； 对于D，总车辆数为50，既是大巴车又是汽油车的车数为10，则， 结合选项C可知，故事件M与事件N不相互独立，故D错误， 故选：AC. 10.（多选）已知事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果与互斥，那么 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】ABD 【详解】对A选项：由，所以，， 因此，，故A正确； 对B选项：若与互斥，因此是不可能事件，所以， 再由概率的加法公式，故B正确； 对C选项：若与相互独立，则与也相互独立，. 因表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立， 所以，故C错误； 对D选项：因与相互独立，所以， 再由概率的加法公式，故D正确. 故选：ABD. 题型三、全概率公式（常考点） 11.全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 【答案】D 【详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件，，则，. 设事件为去游乐园，则，. 所以. 故选：D 12.近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件， 则，. 则. 故选：D 13.（2025·广东广州·模拟预测）（多选）某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人.同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人.现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远､铅球､跳高分别为事件A､B､C，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人. 同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人. 现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远､铅球､跳高分别为事件A､B､C， 则， ，A选项正确； ，不相等，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项正确； 故选：ACD. 14.（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）（多选）甲同学准备今天去图书馆学习.已知甲同学乘出租车､乘公交车､坐地铁去图书馆的概率分别为；且他乘出租车､乘公交车､坐地铁到达图书馆后，能找到空座位的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学乘出租车去图书馆且能找到空座位的概率为 B．甲同学乘公交车到达图书馆后，没能找到空座位的概率为 C．甲同学在图书馆能找到空座位的概率大于 D．若甲同学在图书馆找到了空座位，则他乘地铁出行的概率为 【答案】BCD 【详解】设“甲同学乘出租车出行”为事件，“甲同学乘公交车出行”为事件，“甲同学乘地铁出行”为事件，“甲同学在图书馆能找到空座位”为事件. 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于，由全概率公式得：，故C正确； 对于D，由题意，故D正确. 故选：BCD. 15.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 【答案】 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 故答案为： 16.已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 【答案】 【详解】设事件A表示“第一次摸到红球”，事件B表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，，， 根据全概率公式，得， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球， 所以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 故答案为：． 题型四、离散型随机变量及其分布 17.已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值． 【答案】(1)（ⅰ）（ⅱ）答案见解析 (2)6 【详解】（1）（i）由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为. （ii）根据游戏规则，的取值可能为1，2，3，4， ； ； ； ； 所以的分布列为 1 2 3 4 （2）整理乒乓球时，要使得至少2个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄”，“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”5种情况. 可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上. 所以“黄黄—黄黄—黄黄”有种排法； “黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”均有种排法，总共种； “黄黄黄黄黄黄”有种排法. 不超过3个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄”与“黄黄黄—黄黄黄”两种情况， 所以，即有， 解得或（舍去），所以x的最小值为6. 18.2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，S组合与组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛组合获胜的概率为，每局比赛胜负结果相互独立，规定先达到净胜3局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）. (1)分别求恰好3局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率，恰好5局比赛结束时组合获得比赛胜利的概率； (2)若规定比赛总局数达到7局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列； (3)若比赛局数不限，求组合获得比赛胜利的概率. 【答案】(1)， (2)分布列答案见解析 (3) 【详解】（1）由题意，每局比赛组合获胜的概率为，S组合获胜的概率为， 恰好3局结束，则组合连赢三局，所以， 恰好5局结束，则组合前3局中赢2局，输1局，且后2局均获胜， 所以； （2）由题意可能的取值为3，5，7， ； ； ； 分布列为 3 5 7 （3）设事件表示“比赛局数不限，D组合获得比赛胜利”. 设比赛过程中，D组合与S组合累计所赢局数的差为， 表示时最终D组合获得比赛胜利的概率，其中. 由题知，，，. 根据全概率公式，则有， 于是， 则构成了以为首项，的等比数列， 则， ， ， ， ， ； 累加得， ， 解得， 所以， 故若比赛局数不限，D组合获得比赛胜利的概率为. 19.人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)求小明以获得比赛胜利的概率； (2)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； (3)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【详解】（1）令事件表示“小明以获得比赛胜利”， 所以； （2）令事件表示“在第二局比赛中小明获胜”， 所以， 所以； （3）由题意有的可能取值为， 所以， ， ， 所以的分布列为： 题型五、离散型随机变量均值和方差 20.（25-26高三上·广东·期中）一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望 . 【答案】 【详解】依题意的可能取值为、、、， 所以，，， ， 所以. 故答案为： 21.（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某高校一学生和智能人形机器人进行一场“网球”比赛，比赛采用三局两胜制.已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)在该同学获得比赛胜利的条件下，求他以获胜的概率； (2)记整场比赛该同学获胜局数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设事件“该同学以获得比赛胜利”，“该同学获胜”， 若该同学以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况， 则，， 可得， 所以在该同学获得比赛胜利的条件下，他以获胜的概率为； （2）由题意可知的所有取值为. 则； ； ； 可得随机变量的分布列为 0 1 2 所以 22．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. (1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； (2)求甲最终获胜的概率； (3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 【答案】(1) (2) (3)对甲有利 【详解】（1）在全局比赛中，由于每场比赛双方获胜的概率均为， 由于比赛规则对于乙和丙是对称的，因此他们获得任一特定名次的概率是相等的， 记事件：甲在败者组比赛中被淘汰，事件：乙或丙在败者组比赛中被淘汰， 事件发生的概率，甲需要在②，③两场比赛中连续失败，则， 由事件与事件互为对立事件，且乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 所以乙在败者组比赛中被淘汰的概率为. （2）甲最终获胜有如下两种情况：第②，④场比赛甲全胜，此时概率为； 第②场比赛甲失败，第③，④场比赛甲胜利，此时概率为， 所以甲最终获胜的概率为. （3）设甲获得的最终名次为， 由（2），（1）得，，则， 因此； 设乙或丙获得的最终名次为，而乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 因此， 又，则甲的最终获得名次的数学期望比乙或丙更靠前，所以该比赛规则确实对甲有利. 23．（2025·江苏常州·模拟预测）某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【详解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． （2）的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． （3）当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 25．（2025·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (3)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）记三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件， 则． （2）． （3）记三幅作品成为成品的事件分别为， 则， 由可取， 则， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 则数学期望． 26.为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． (1)若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； (2)试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 【答案】(1) (2)采用补贴方案二的补贴额更高 【详解】（1）记事件A：单个家庭补助不低于1100元/月， 事件B：单个家庭共生育2个婴儿， 则， ， ； （2）记根据补贴方案一每月所得的补贴额为，根据补贴方案二每月所得的补贴额为， ， ， ，故采用补贴方案二的补贴额更高． 1.（25-26高二上·浙江·期中）（多选）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（    ） A． B．当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C．一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D．若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 【答案】ACD 【详解】对于，当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号是“1”有两种情况： 第一种情况是第一次发送0接收为1，第二次发送1接收为1，其概率为； 第二种情况是第一次发送0接收为0，第二次发送1接收为0，其概率为， 因为这两种情况是互斥的，根据互斥事件概率加法公式， 可得接收到的信号是“1”的概率为， 解得，所以选项A正确； 对于，发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收有两种情况： 第一种情况是第一次发送1接收为1，第二次发送1接收为0，其概率为； 第二种情况是第一次发送1接收为0，第二次发送1接收为1，其概率为。 根据互斥事件概率加法公式，恰有一次被正确接收的概率为， 所以选项B错误； 对于, 一次发信后被接收为信号“1”有两种情况： 第一种情况是发送0收为1其概率为； 第二种情况是发送1收为1其概率为， 根据互斥事件概率加法公式， 一次发信后被接收为信号“1的概率为， 所以选项C正确； 对于，设事件表示“一次发信后被接收为信号1，事件表示“接收正确”。 由前面计算可知，表示发送1接收为1概率， 即，根据条件概率公式可得， 所以选项D正确. 故选：． 2．（2025·贵州·模拟预测）（多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（    ）    A． B．与相互独立 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可知，，，，则， 则，故A正确； ，， 则，故与不独立，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 3．（24-25高二下·福建漳州·期末）（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 4．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（    ） A．6维“立方体”的顶点有36个 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于6维坐标，其中， 即有2种选择，故共有种选择， 即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误； 当时，在与中有3个坐标值不同， 即有3个满足， 有3个满足， 所以满足的顶点有组，，故B正确； 满足的顶点有组，所以， 即， ， 所以，故C正确； 而 ，故D正确. 故选：BCD. 5.（25-26高二上·广东茂名·期中）小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1））记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件M， 所以， 即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为． （2）记“小张在两轮比赛中答对题”为事件， “小胡在两轮比赛中答对题”为事件， “在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件， 所以， ，， ，， ， 所以， 即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为． 6.（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为. 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人， 估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 所以. （3）由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人. 根据频率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为，没有观看这场苏超联赛的概率为. 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到人被访谈为事件，则（） 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为人为事件，则， 所以 ， ， . 所以. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $