专题4.7 线段的垂直平分线（2大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.7 线段的垂直平分线 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1线段垂直平分线的性质 知识清单 知识点2线段垂直平分线的判定 题型1根据线段垂直平分线的性质求长度 题型2根据线段垂直平分线的性质求角度 线段的垂直平分线 题型3根据线段垂直平分线的性质求周长 题型4根据线段垂直平分线的性质求面积 题型精讲 题型5根据线段垂直平分线的性质求最值 题型6根据线段垂直平分线的性质证明 题型7线段垂直平分线的判定 题型8垂直平分线的判定与性质的综合 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解线段垂直平分线的定义，明确其“垂直且平分线段”的核心特征。 教学目标 2.掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能准确表述定理内容。 3.会用尺规作线段的垂直平分线，能运用定理进行简单推理、计算和实际问题求解。 1.重点 (1)线段垂直平分线的性质定理（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）和判定定 理（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）。 (2)尺规作线段垂直平分线的方法，以及定理在几何推理和实际问题中的基础应用。 教学重难点 2.难点 (1)理解性质定理与判定定理的互逆关系，区分定理的条件与结论，建立逻辑关联。 (2)在复杂图形中抽象出线段垂直平分线模型，灵活运用定理进行多步推理，规范书 写证明过程。 知识清单 1/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点01线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质 1.核心性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等（逆命题为判定定理，可反向 推导)。 2.几何表达：若直线1垂直平分线段AB,点P在1上，则PA=PB。 3.关键关联：与“等腰三角形三线合一”互通，是证明线段相等、构建对称图形的重要工具。 4.应用场景：用于几何推理、线段等量关系证明、尺规作图（如作等腰三角形、找对称点)及实际路 径最短问题。 【即学即练1】 1.如图，在ABC中，BA=BC,D,E分别是边AB,BC上的点，连接DE，,CD,且DE垂直平分BC.若 LB=40°，则LACD的度数为() A.35° B.30° C.25° D.20° 2.如图，在ABC中，∠B=40°，∠C=50°，通过观察尺规作图的痕迹，则∠DAE= D 知识点02线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定 1.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（与性质定理互逆）。 2.几何表达：若点P满足PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上。 3.推论拓展：两点确定一条直线，因此两个到线段两端距离相等的点，其连线即为该线段的垂直平分 线。 4.应用价值：用于确定线段垂直平分线的位置、证明直线垂直平分线段，是几何作图与图形对称问题 的核心依据。 【即学即练2】 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.如图，在ABC中，AC⊥BC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,求证：直线AD是CE的垂直平分 线. B 2.如图，在ABC中，I是AB的垂直平分线.点D在I上，连接AD、BD、CD,且DB=DC, (I)求证：点D在边AC的垂直平分线上： (2)设∠DAB=a,∠DAC=B,若BD⊥CD,求a+B的度数. 题型精讲 题型01根据线段垂直平分线的性质求长度 【典例1】(24-25八年级上江苏无锡期中)如图，在ABC中，BC=8,AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E,△BCE的周长为18，则AC的长等于() A.12 B.10 C.8 D.6 【变式1】(25-26八年级上湖南长沙阶段练习)如图，在A8C中，分别以顶点4，B为圆心，大于号4B 长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M,N,连接MN,分别与边AB,BC相交于点D, E,若AC=7,△AEC的周长为17，则BC的长为() 3/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E A.7 B.10 C.12 D.17 【变式2】(25-26八年级上江苏徐州期中)如图，在ABC中，边AC的垂直平分线DM分别交AC,AB 于点D,M,边BC的垂直平分线EN分别交BC,AB于点E,N,DM与EN相交于点F,连接CM,CN. 若aCMN的周长为20cm,则AB= D 【变式3】(24-25八年级上·湖南长沙阶段练习)如图，ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于 点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE. D E C (I)求证：AB=EC; (2)若ABC的周长为20cm,AC=9cm,求DC长. 题型02根据线段垂直平分线的性质求角度 【典例2】(25-26八年级上·重庆九龙坡阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠A=47°，∠ABC=90°，AB的 垂直平分线MN与AC交于点D,则∠CBD的度数是() M A.47° B.45° C.43 D.41° 【变式1】(24-25八年级上·甘肃酒泉·期中)如图，ABC中，AB=AC,∠A=36°，AB的垂直平分线 DE交AC于D,交AB于E,则∠BDC的度数为() 4/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B A.72° B.36 C.60° D.82° 【变式2】(25-26八年级上·江苏南京·阶段练习)如图，ABC的边BC,AC的垂直平分线4，Z相交于点 O.若LA=108°，则LB0C=° 11 【变式3】(25-26八年级上黑龙江佳木斯阶段练习)如图，在ABC中，1是AC的垂直平分线，交BC于 点D,AB=AD,∠BAD=20°，求∠C的度数. 题型03根据线段垂直平分线的性质求周长 【典例3】(25-26八年级上河北保定·阶段练习)如图，在ABC中，DE垂直平分线段AC,AE=3, △ABD的周长为13，则ABC的周长为() A.16 B.13 C.19 D.23 【变式1】(25-26八年级上·吉林长春期中)如图，以ABC的顶点C为圆心，CA的长为半径作圆弧交AB 于点D,边BC的垂直平分线恰好过点D,交BC于点E,若BD=6,AD=4,则△ACD的周长是- 5/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D八 A 【变式2】(25-26八年级上四川绵阳·期中)如图，ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,点E是线段 BC延长线上一点，连接AE,点C在AE的垂直平分线上，若DE=8cm,则ABC的周长是_cm. B D 【变式3】(25-26八年级上江西宜春·阶段练习)如图，ABC中，AD⊥BC,BD=DE,EF垂直平分 AC,交AC于点F,交BC于点E. B D E (I)求证：AB=CE; (2)若BD=2cm,EC=5cm,求aABE的周长. 题型04根据线段垂直平分线的性质求面积 【典例4】(25-26八年级上·吉林延边期中)如图，在ABC中，AD是BC的垂直平分线，若 BC=8,AD=6,则图中阴影部分图形的面积是() A B D A.6 B.8 C.10 D.12 【变式1】(24-25八年级上·四川广元阶段练习)如图，在ABC中，BD是ABC的中线，EF是BC边的 中垂线，且BD与EF相交于点G,连接AG,CG,若四边形CDGE与四边形ACGE的面积分别为8和13， 则ABC的面积为() 6/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G E A.36 B.22 C.20 D.21 【变式2】(25-26七年级上山东东营阶段练习)如图在ABC中，AD垂直平分BC,AD=8,BC=10,E 、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是 D 【变式3】(25-26八年级上·浙江湖州阶段练习)如图，在ABC中，DE垂直平分BC,BD平分∠ABC, DH⊥BA,交BA的延长线于点H. (I)若∠ADB=50°，求∠BAC的度数： (2)若AB=6cm,ABC与△ABD的周长之差为9cm,且△ADB的面积为12cm2,求△BDC的面积. 题型05根据线段垂直平分线的性质求最值 【典例5】(25-26八年级上江苏扬州阶段练习)如图，在ABC中，AB=AC,BC=2,面积是4，AC的 垂直平分线EF分别交AB,AC边于点E,F,若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则 △PCD周长的最小值是() 7/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P F B D A.3 B.4 C.5 D.6 【变式1】(24-25八年级上江苏扬州阶段练习)如图，在ABC中，AB=AC,BC=4,面积是12，AC 的垂直平分线EF分别交AB,AC边于点E,F.若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则 △PCD周长的最小值是() B D A.8 B.3 C.6 D.4 【变式2】(24-25七年级下山西晋中.期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的 垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F.若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点.则 △BDM的周长的最小值为」 【变式3】(24-25八年级下江西鹰潭·阶段练习)如图，在ABC中，AB=9,AC=12,BC=15,EF是 BC的垂直平分线，点P是直线EF上的任意一点，求PA+PB的最小值. 8/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型06根据线段垂直平分线的性质证明 【典例6】(25-26八年级上·浙江舟山期中)已知：如图，在ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点 E在AD上，求证：∠ABE=∠ACE. B C 下面是李丽的部分说理过程，请你帮她补充完整证明过程： :AB=AC,点D是BC的中点，.AD⊥BC,(), “AD是线段BC的垂直平分线，DE=(), 在△ABE和△ACE中， AB=AC BE= .△ABE≌△ACE(), .∠ABE=∠ACE(). 【变式1】(23-24八年级上湖北荆门·期中)如图，在ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于 点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE. B D (I)求证：AB=EC; (2)若ABC的周长为42cm,AC=16cm,求DC的长. 【变式2】(25-26八年级上陕西榆林·期中)如图，E是ABC内的一点，AB=AC,连接AE,BE,CE, 9/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 且BE=CE,延长AE交BC边于点D. D (I)求证：AD⊥BC; (2)若BD=1,求BC的长. 【变式3】(25-26八年级上广东广州阶段练习)如图，四边形ABCD中，AD∥BC,，E为CD的中点，连 接BE并延长交AD的延长线于点F, C E (1I)求证：E是BF的中点； (2)连接AE,若AE⊥BF,BC=2,AD=1,求AB的长. 题型07线段垂直平分线的性质与判定综合 【典例7】(25-26八年级上江苏南京·阶段练习)如图，AB=AD,CB=CD.连接AC,BD.求证： AC⊥BD. B 【变式1】(24-25八年级下·陕西西安阶段练习)如图，在ABC中，D是AB上一点，且AD=AC, DE∥BC,DC平分∠EDF,求证：AF垂直平分CD. 10/17 专题4.7 线段的垂直平分线 教学目标 1. 理解线段垂直平分线的定义，明确其“垂直且平分线段”的核心特征。 2. 掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能准确表述定理内容。 3. 会用尺规作线段的垂直平分线，能运用定理进行简单推理、计算和实际问题求解。 教学重难点 1.重点 （1）线段垂直平分线的性质定理（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）和判定定理（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）。 （2）尺规作线段垂直平分线的方法，以及定理在几何推理和实际问题中的基础应用。 2.难点 （1）理解性质定理与判定定理的互逆关系，区分定理的条件与结论，建立逻辑关联。 （2）在复杂图形中抽象出线段垂直平分线模型，灵活运用定理进行多步推理，规范书写证明过程。 知识点01 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质 1. 核心性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等（逆命题为判定定理，可反向推导）。 2. 几何表达：若直线l垂直平分线段AB，点P在l上，则PA=PB。 3. 关键关联：与“等腰三角形三线合一”互通，是证明线段相等、构建对称图形的重要工具。 4. 应用场景：用于几何推理、线段等量关系证明、尺规作图（如作等腰三角形、找对称点）及实际路径最短问题。 【即学即练1】 1．如图，在中，，D，E分别是边，上的点，连接，，且垂直平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 首先由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等求出，进而得出，再利用等腰三角形的性质求得的度数，即可求得的度数； 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点02 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定 1. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（与性质定理互逆）。 2. 几何表达：若点P满足PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 3. 推论拓展：两点确定一条直线，因此两个到线段两端距离相等的点，其连线即为该线段的垂直平分线。 4. 应用价值：用于确定线段垂直平分线的位置、证明直线垂直平分线段，是几何作图与图形对称问题的核心依据。 【即学即练2】 1．如图，在中，，平分，于点E，求证：直线是的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 由于，得，而平分，得，又因为，可证，那么，即得证． 【详解】证明：． 又平分， ． ， 在和中， ， ， ， 平分线段， 即直线是线段的垂直平分线． 2．如图，在中，是的垂直平分线．点在上，连接、、，且， (1)求证：点在边的垂直平分线上； (2)设，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段中垂线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明； （2）由推出，，证明是等腰直角三角形，结合三角形内角和进行解题即可． 【详解】（1）证明：由是的垂直平分线可知，， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2）解：由（1）知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 化简得：． 题型01 根据线段垂直平分线的性质求长度 【典例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为，则的长等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．由题意得，又由的周长等于，即可求得，然后由，求得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长等于， ∴． ∵中，， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，BC相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．17 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴ ， ∵，的周长 ， 即： ， ∴ ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，M，边的垂直平分线分别交，于点E，N，与相交于点F，连接，．若的周长为，则 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ，， ． 题型02 根据线段垂直平分线的性质求角度 【典例2】（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和平行线的性质，结合三角形内角和定理计算是解题的重要步骤． 根据和垂直平分线的条件，可得到，再根据三角形内角和定理得到，再根据平行线的性质和垂直平分线的性质计算即可． 【详解】的垂直平分线与交于点， ，， ，， ，， ， ， 由可得， ． 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟知线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 先根据，求出及的度数，再由垂直平分线的性质求出的度数，再由三角形内角与外角的性质解答即可． 【详解】解：，， ， 垂直平分， ， ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的边，的垂直平分线，相交于点O．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，的垂直平分线，相交于点， ，， ∴， ，， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理及外角性质，由等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理求得，由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， ， 直线l是的垂直平分线， ， ， 又是的外角， ． ． 题型03 根据线段垂直平分线的性质求周长 【典例3】（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，垂直平分线段，，的周长为13，则的周长为（    ） A．16 B．13 C．19 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质，得到，，再结合的周长，得到，即可求出的周长． 【详解】解：垂直平分线段，， ，， 的周长为13， ， 的周长为， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，以的顶点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，边的垂直平分线恰好过点，交于点，若，，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，结合即可求解． 【详解】以的顶点为圆心，的长为半径作圆弧交于点， ， 又边的垂直平分线恰好过点， （垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 则的周长． 故答案为：16． 【变式2】（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，中，，平分，点E是线段延长线上一点，连接，点C在的垂直平分线上，若，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查三线合一，中垂线的性质，根据三线合一，得到，垂线平分的性质得到，进而得到，推出的周长，即可． 【详解】解：∵中，，平分， ∴， ∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长； 故答案为：16． 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上任意一点到线段的两个端点距离相等． （1）先证得垂直平分则，而垂直平分，则，等量代换即可证明； （2）由（1）得，而，再由三角形周长公式求解． 【详解】（1）证明：，， ∴垂直平分 ∵垂直平分， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的周长为 题型04 根据线段垂直平分线的性质求面积 【典例4】（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，在中，是的垂直平分线，若，则图中阴影部分图形的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，轴对称图形的性质，解题的关键是掌握垂线两边的部分对称． 根据对称性，阴影部分的面积等于的面积的一半，求出三角形的面积，可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：是的垂直平分线，根据对称性，阴影部分的面积等于的面积的一半， ， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线、垂直平分线的定义，由是的中线，是边的中垂线，则，，，由四边形与四边形的面积分别为和，可得，从而求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，是边的中垂线， ∴，，， ∵四边形与四边形的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴，即的面积为， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·山东东营·阶段练习）如图在中，垂直平分，，、是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】20 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 在中，是边上的垂直平分线，得，即可证得，即可得，继而求得答案． 【详解】解：∵在中，是边上的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， 故答案为：20． 【变式3】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点H． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形面积计算公式可求出，可证明，得到；可证明的周长的周长，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，的面积为， ∴； ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ∵的周长，的周长， ∴的周长的周长， ∵与的周长之差为， ∴， ∴． 题型05 根据线段垂直平分线的性质求最值 【典例5】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是4，的垂直平分线分别交，边于点，．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质. 连接，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由垂直平分线得到，推出的长为的最小值即可解答． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等腰三角形，点D为底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长的最小值为． 故答案为：11． 【变式3】（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】12 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为12． 题型06 根据线段垂直平分线的性质证明 【典例6】（25-26八年级上·浙江舟山·期中）已知：如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：． 下面是李丽的部分说理过程，请你帮她补充完整证明过程： ∵，点是的中点，∴，（    ）， ∴是线段的垂直平分线，∴______（    ）， 在和中， ∵， ∴（______）， ∴（______）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，即可得到结论． 【详解】证明：∵，点是的中点， ∴，（等腰三角形三线合一）， ∴是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）， 在和中， ∵， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 【变式1】（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，E是内的一点，，连接，且，延长AE交BC边于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质，掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）证明点A，E都在线段的垂直平分线上，再根据两点决定一条直线可得所在直线是线段的垂直平分线，据此即可证明结论； （2）由垂直平分线的定义可得，进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴点A、E都在线段的垂直平分线上， ∵延长AE交BC边于点D． ∴所在直线是线段的垂直平分线， ∴． （2）解：∵所在直线是线段的垂直平分线， ∴，即． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的中点； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据平行线的性质可得，，证明得到，即可得证； （2）由可得，，推出，结合可得垂直平分，最后根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 即是的中点； （2）， ，， ， ， ，， 垂直平分， ． 题型07 线段垂直平分线的性质与判定综合 【典例7】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，．连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是解决问题的关键； 根据，，即可得证垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， 同理，， ∴点C也在的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线， ∴直线就是的垂直平分线， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 【变式2】27．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明D在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 题型08 尺规作线段垂直平分线 【典例8】（2024·河北·模拟预测）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对 C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图---作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得，证明即可得到；由淇淇的尺规作图痕迹可得，然后证明即可得到． 【详解】解：由图1可得平分， 则， 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴嘉嘉的作法正确； 由淇淇的尺规作图痕迹可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴淇淇的作法正确， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，用尺规作的角平分线时，用到三角形全等的判定方法是 ． ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③画射线．射线就是的角平分线． 【答案】/边边边 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定与性质，由作图可知，，又，则可证，从而可得平分． 【详解】解：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴这样作角平分线的依据是， 故答案为：． 【变式2】（2023·广东佛山·模拟预测）如图，在中，，，， (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键； （1）分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后问题可求解； （2）由（1）作图可知，然后问题可求解 【详解】（1）解：线段的垂直平分线，如图所示： （2）解：∵垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴的周长． 【变式3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的作法，解题的关键是熟练掌握以上基本尺规作图的步骤． 连接，作的垂直平分线和的平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，尺规作出的直线与线段交于，的周长为13，则的周长为（   ） A．16 B．19 C．25 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件即可得到的周长． 【详解】解：由作图知：是的垂直平分线， ， 的周长为13， ， ， 的周长为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，结合的周长为，求出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，．用尺规进行以下操作：①以C为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接；②以C为圆心，任意长为半径作弧．分别交，于点N，M；③分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的作图及其性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据作图可知，，平分，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得，，再利用角平分线的性质可求得，最后根据角的和差即可求解． 【详解】解：根据作图可知，，平分 ， 又 平分 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， 故选：D． 5．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，然后利用三角形的内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，.若的周长为54，，则的长为 . 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为54 ， ，即， ， ． 故答案为：8 7．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，的周长为15，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式推出，再由求得的长，进而得到的长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 8．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是 ． 【答案】125 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据周角的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴，即， ∴， ∵在中，I是三角形三条角平分线的交点 ∴平分平分， ∴，∠， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等边对等角等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．先求出，再得出平分，垂直平分，则，，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 10．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，，若点为边的中点，点为线段上一点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，根据等腰三角形的性质得，，再根据面积公式求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，接下来根据三角形三边关系得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵，，点为边的中点， ∴，， ∴， ∴ ∵垂直平分，为线段上的一个动点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 12．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到即可求解． 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， 14．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点（在的左侧）．若的周长为8，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将线段进行转化． （1）利用线段垂直平分线的性质，将转化为转化为，再结合的周长求出的长； （2）利用等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形内角和求出的度数． 【详解】（1）解：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质， ， 是的垂直平分线， 同理可得， 的周长为， 将代入可得： ， 的长为8； （2）解：， ； ， ． 在中，， ，且， ，即， ， ． 15．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，射线平分． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作的中垂线，与相交于点G，连接、； (2)在（1）条件下，和有何数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】考查了作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）在上截取，连接．首先证明，推出，利用四边形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：线段的中垂线如图所示； （2）解：结论：． 证明：在上截取，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵G在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级上·重庆·期中）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小德通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： (1)如图，在中，，D为底边的中点，于点E．利用尺规作图，过点D作于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明： ____________① ， D为底边的中点 ____________② 在和中 （____________④） （____________⑤）（理由） 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④，全等三角形，对应边相等⑤ 【分析】本题考查尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线．熟练掌握基本尺规作图，全等三角形的判定与性质，是解题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）作法： 在直线的另一侧取点N，以点D为圆心，以长为半径画弧，交于G，H两点， 分别以点G，H为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点M， 作射线交于点F． （2）证明： ．① ， ． D为底边的中点 ．② 在和中 （④）． ．（全等三角形，对应边相等⑤）（理由） 故答案为：①，②，③，④，全等三角形，对应边相等⑤ 17．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D， 交于点E， 且，的周长等于． (1)求的长； (2)若，并且．试问与有什么关系？ 请说出理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）中垂线的性质，得到，进而推出的周长，进行求解即可； （2）根据等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点D， 交于点E， ∴， ∴的周长， ∵，的周长等于， ∴； （2），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：点D为的中点； (2)若，的周长为26，求的长； (3)若，，（其中a＞b）求的周长．（用含有a、b的代数式表示） 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后用等腰三角形三线合一性质可证； （2）由题意得，从而得出，即， 再由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分，可得．从而得出，再由，可得，则问题可解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴点D为的中点； （2）解：∵的周长为26， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴的周长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $