专题4.6 等腰三角形（4大考点+9大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题4.6 等腰三角形 教学目标 1. 理解等腰（等边）三角形的概念，掌握“等边对等角”“三线合一”的性质及判定定理，知晓等边三角形的特殊性质与判定方法。 2. 能运用等腰三角形的性质和判定进行逻辑推理、证明及相关计算，解决实际问题。 3. 经历观察、猜想、论证的探究过程，培养几何直观与演绎推理能力，树立严谨的数学思维。 教学重难点 1.重点 （1）等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质的本质理解与精准表述。 （2）灵活运用等腰（等边）三角形的性质和判定定理，解决几何证明与计算问题。 2.难点 等腰三角形性质定理的演绎证明过程，尤其是从直观感知向逻辑推理的思维转换。 （2）复杂图形中挖掘等腰三角形隐含条件，综合运用性质与判定解决多步推理问题。 知识点01 等腰三角形的性质 等腰三角形核心性质 1. 定义性质：有两条边相等（腰），两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角，底边是两腰所对的边。 2. 边角关系（核心）：等边对等角，即两腰所对的底角相等。 3. 三线合一（关键）：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（仅针对底边）。 4. 对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线。 【即学即练2】 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知是等腰三角形，，，则的度数是 ． 【答案】35 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合内角和为求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 2．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，点C在线段上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，再根据可证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，进而得到，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即， ∵， ∴． 知识点02 等腰三角形的判定 等腰三角形判定 1. 定义判定（根本依据）：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2. 角角判定（核心定理）：等角对等边，即有两个角相等的三角形，这两个角所对的边也相等。 4. 隐含判定：若三角形一条边上的中线、高与对角平分线重合（三线合一逆用），则该三角形为等腰三角形。 【即学即练2】 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，，． (1)若，，则_________； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，三角形的全等证明是正确解答本题的关键． （1）先证明，再利用三角形内角和定理计算； （2）借助（1）中的全等三角形得到等角，进行判定． 【详解】（1）解：在和中， ， ， 在中，， ． （2）由（1）知，， ， 即， ， 是等腰三角形． 2．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作直线交的平分线于点E，交于点G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和三角形全等的判定定理． （1）先根据平行线的性质证明，然后得出，则可证明为等腰三角形； （2）证明，从而得到，根据可求得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 知识点03 等边三角形的性质 等边三角形性质 1. 边的性质：三边长度相等（是特殊的等腰三角形，三腰合一）。 2. 角的性质：三个内角均为60°，且任意两个内角之和为120°。 3. 三线合一性质：任意一边的中线、底边上的高、对角的平分线完全重合（比普通等腰三角形更具普遍性）。 4. 对称性：轴对称图形，有三条对称轴，分别是三边的中线（或高、对角平分线）所在直线。 【即学即练3】 1．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且．则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质及三角形的外角，熟练掌握等边三角形的三线合一是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，运用三角形的外角性质得，再由等角对等边，解答即可． 【详解】解：∵等边的边长，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，，即可判定出，得到； （2）由全等的性质得到，再通过角的等量代换求解即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 知识点04 等边三角形的判定 等边三角形判定 1. 定义判定（根本依据）：三边长度都相等的三角形是等边三角形。 2. 角的判定：三个内角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形。 3. 边角结合判定（常用）：有一个内角是60°的等腰三角形，一定是等边三角形（无需区分60°角是顶角还是底角）。 4. 延伸判定：满足“三线合一”且有一个角为60°的三角形，或外接圆、内切圆圆心重合且边长相等的三角形，可判定为等边三角形。 【即学即练4】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明，得到，进而有，进而由即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 题型01 等边对等角 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等腰三角形，若底角，则顶角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，且底角，是顶角， ∴， ∴顶角， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，若绕点按逆时针方向旋转后与重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角，由旋转可得，，推出，即可求解． 【详解】解：由旋转可得，， ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，D是的中点，E是边上的一点，连接、，且，若，则 度． 【答案】40 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可求出的度数，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴，即， ∴． 故答案为：40 【变式3】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，点D在上，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．根据等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质、三角形内角和为180，用表示出，再根据求出即可． 【详解】解：， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 题型02 三线合一 【典例2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在等腰中，，中线与角平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，是中线， ， ， ∵是角平分线，， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，中，，，是边上的中线，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴平分， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，E是的中点，连接，若的面积为8，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一得出是的中线，即可求出的面积，再根据E是的中点即可求出的面积． 【详解】解：在中，， ∴是等腰三角形． ∵平分， ∴，即是的中线， ∴． ∵E是的中点， ∴． 故答案为：2 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，是的中线，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形性质，平行线判定．利用等腰三角形性质得到是角平分线，推出，即可证明． 【详解】证明：是中线，， 是角平分线，是高， 是直角三角形，， ， ， ． 题型03 等角对等边 【典例3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 【变式1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，将沿射线平移到，若点D落在的平分线上，则平移的距离为（   ） A．m B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定．根据平移的性质得：，平移的距离为的长，再结合角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得：，平移的距离为的长， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即平移的距离为m． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，中，平分交于点 D，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定． 根据角平分线得到，再由平行线的性质得到，然后等量代换，再由等角对等边即可求解． 【详解】解：∵平分交于点 D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，已知， 点 D 是边上一点，， 点E在边上． (1)求证：； (2)若，， 求和的面积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）由，可得 ，结合，可得和的面积之比. 【详解】（1）证明：∵．， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴和的面积之比为：. 题型04 格点张画等腰三角形 【典例4】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点； 当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、； 综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江·阶段练习）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图． 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． (1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以为腰的等腰． (2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以为底的等腰． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格作图、等腰三角形的定义， （1）利用等腰三角形的定义求解即可； （2）利用等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P在点的位置时均满足题意； 以为顶角时，，以为顶角时，； （2）解：如图所示，点P在点的位置时均满足题意． 如图，，，． 【变式3】（25-26八年级上·吉林松原·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上． (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形； (3)在图③中以为边画一个四边形，使四边形是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （3）如图所示，取格点E、F，连接，则四边形是等腰梯形，即为轴对称图形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，四边形即为所求； 题型05 等腰三角形的判定 【典例5】（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，在中，于点．点在边上，交的延长线于点，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，则可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，是底边上的高线，交AC于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键； 根据可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，推出，即得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是底边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【分析】（1）通过设，利用角平分线性质、垂直的性质以及三角形内角和定理，推导出与相等，进而证明，得出为等腰三角形． （2）过点作交延长线于，利用平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的判定与性质，结合垂直的性质，推导出且，从而得证． 【详解】（1）证明：设， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ​​​​​​​∴为等腰三角形； （2）证明：过点作交的延长线于点， ∴，． ∵平分， ， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，等腰中，，过点A作，交的平分线于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点E是的中点，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质得到，根据等角对等边证明即可； （2）根据平行线的性质得到，证明，得到，进而证明是等边三角形，可知，根据平分及即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ∴． ∵，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型06 等腰三角形的性质与判定的综合应用 【典例6】（25-26七年级上·山东威海·阶段练习）如图，，分别为的中线和高，，，，则面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，由，得，所以，则有，再通过中线的性质得，再根据三角形的面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴面积为， 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，为延长线上的一点，连接，使得是的中点，点是上一点，连接，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得，利用三角形内角和定理即可解答； （2）连接，利用等腰三角形的性质可得，利用推出，即可求得． 【详解】（1）解：，， ， ， （2）解：如图，连接， ，是的中点，， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，为延长线上的一点，连接，使得是的中点，点是上一点，连接，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得，利用三角形内角和定理即可解答； （2）连接，利用等腰三角形的性质可得，利用推出，即可求得． 【详解】（1）解：，， ， ， （2）解：如图，连接， ，是的中点，， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，点E和点F分别在和边上，且，连接并延长交的延长线于点G，，取的中点O，连接并延长交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2)的度数为． 【分析】本题等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． （1）根据推出，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，推出，再利用三角形的外角性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）解：∵的中点为， ∴，即是的中线， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 题型07 等边三角形的性质 【典例7】（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，等边的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是等边三角形的性质、线段中点的有关计算，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质得出，结合点是的中点，即可得解． 【详解】解：等边的边，点是的中点， ，， ， ， ． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是利用证明．根据题干条件：，可以判定，即可得到，又知，可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，等边中，点在边上，且，与相交于点，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质以及全等三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的性质得，得出，根据证明，从而得出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式3】（24-25八年级上·上海·期中）如图，在等边三角形中，点E在边上，点D在边的延长线上，，以为一边作等边三角形，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的判定，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据等边三角形的性质及邻补角定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得出结论． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型07 等边三角形的判定 【典例7】（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 【变式1】（25-26八年级上·山东·阶段练习）已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查因式分解的应用及三角形形状的判定，解题的关键是将已知等式通过配方转化为完全平方式的和，利用非负数的性质得出三边关系． 将已知等式进行整理，通过配方转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质得出三边相等，从而判定三角形形状． 【详解】解：整理，得， ， 即， ， 为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，，，， (1)求证：为等腰三角形． (2)若，判断的形状并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求证，得； （2）由，得，再结合三角形外角性质，得出，由（1）知，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，，． ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴为等边三角形． 【变式3】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质推出，则，结合，即可判定是等边三角形． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型07 等边三角形的性质与判定的综合 【典例7】（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，且，，，，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，先根据全等三角形的性质得，，再根据线段和差得，则，可判定是等边三角形，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，P是等边内一点，连接AP，CP，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，根据旋转前后对应边相等证明是等边三角形，即可求解； 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转 ，得到， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：2. 【变式2】（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）如图，点为线段的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，平分，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，即可得证； （2）由（1）可知：，由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理求出，即可得解． 【详解】（1）证明：为线段的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由：由（1）可知：， ， ， ， 平分， ， 在中，， ， 是等边三角形． 【变式3】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的定义，关键是判定是等腰三角形．延长交于，由三角形内角和定理得到，推出，由等腰三角形的性质推出，即可得到的面积面积的一半． 【详解】解：如下图所示，延长交于， 平分， ， 于点， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）在中，若，，则的值为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质．先判断为等边三角形，然后等边三角形的性质得到． 【详解】解：，， 为等边三角形， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由折叠的性质和等边对等角推出，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得平行，则度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据旋转的性质得出，根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意可得，将绕点旋转得到， 故， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，由对称性可知：，连接，易证，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接， 由对称性可知：， ∴， ∵等边， ∴，即， ∴， 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·北京丰台·期中）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论： ①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：沿着直线折叠得到， ，， 平分，故①正确； 沿着直线折叠得到， ，， ，， ， ， ， ，， 沿着折叠得到， ，， ， ， ， ，故②错误； ， ，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的周长，故④正确； 故答案为：①③④． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据是等边三角形，可得：，，根据可证，根据全等三角形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中，， ， ，， 是等边三角形， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， ． 【答案】或90或45 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与翻折变换，找出特殊点与，分别重合时的两点是解决问题的关键． 根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有，，，然后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， 点可能的位置共有：①当点与点点）重合时， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ，此时是等腰三角形，且； ②当点与点点）重合时，点与点重合， ，，， ，，是等腰三角形， ∴； ③如图当时，是等腰三角形． ∵． ∴， ∴； 故答案为：或90或45． 9．（北京市朝阳区2025-2026学年上学期九年级数学期中调研试卷）如图，将绕点C顺时针转得到．若A、D、E在同一条直线上，，则 （用含有的式子表示．） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质表达出和度数，利用三角形外角的性质得到即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到． ，，， 点，，在同一条直线上， ． ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知：在中，，平分（为外一点），． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据已知结合三角形内角和定理得出，根据等角对等边即可得证； （2）过点作，垂足为点，根据三线合一可得，进而证明得出，即可得． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：过点作，垂足为点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． 12．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，，为正三角形（即三边相等，三个角都为），C，A，D三点共线，与交于点G，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，求得，证明，即可得到结论； （2）根据得出，再根据“”即可得到结论； （3）由（2）知，，推出是等边三角形，得到，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为正三角形， ， ， 在和中 ， ， ． （2）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ． （3）证明：∵， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ． 13．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出，根据平行线的性质得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，进而计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 14．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形 (3)125或140或110 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，再结合即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解； （3）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，，再由三角形内角和定理可得，分三种情况：当时；当时； 当时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解： 由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的形状为直角三角形； 故答案为：直角三角形； （3）解：由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形． 故答案为：125或140或110． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． (2)当时，若中最小角为，求的度数． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． （1）①根据即可证明； ②利用等腰三角形的性质得到，再根据全等三角形的性质得到，进而证明，再根据三角形内角和求出结论； （2）分点D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上的情形，并根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； ②， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，当时，则有， ∴为等边三角形， ①如图1，当点D在线段上时， 此时， ∴． ②如图2，当点D在的延长线上时， 此时， ③如图3，当点D在的延长线上，且时， 此时． ④如图4，当点D在的延长线上，且时， 此时． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 16．（25-26九年级上·吉林·期中）如图（1），已知在中，，且，过点A作于点P，点M是直线上一动点，设点M到两边、的距离分别为m，n，的高为h． (1)当点M运动到点P位置时，m与n有什么关系； (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论； (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，运用等积法建立关系式是解题的关键． （1）当点P与点M重合时，过点M作于点D，于点E，推出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 【详解】（1）解：当点M与点P重合时，，理由如下： 过点M作于点D，于点E，如图1， 已知在中，，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵于点P，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，连接， 则， ∴，即， 又∵是等边三角形， ∴， ∴； （3）证明：如图3，连接， 则， ∴，即， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 两边同时除以2024得：， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.6 等腰三角形 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1等腰三角形的性质 知识点2等腰三角形的判定 知识清单 知识点3等边三角形的性质 知识点4等边三角形的判定 题型1等边对等角 等腰三角形 题型2三线合 题型3等角对等边 题型4格点中画等腰三角形 题型5等腰三角形的判定 题型精讲 题型6等腰三角形的性质与判定的综合应用 题型7等边三角形的性质 题型8等边三角形的判定 题型9等边三角形的性质与判定的综合 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解等腰（等边）三角形的概念，掌握“等边对等角”“三线合一”的性质及判定定 理，知晓等边三角形的特殊性质与判定方法。 教学目标 2.能运用等腰三角形的性质和判定进行逻辑推理、证明及相关计算，解决实际问题。 3.经历观察、猜想、论证的探究过程，培养几何直观与演绎推理能力，树立严谨的数 学思维。 1.重点 (1)等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质的本质理解与精准表述。 教学重难点 (2)灵活运用等腰（等边）三角形的性质和判定定理，解决几何证明与计算问题。 2.难点 1/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 等腰三角形性质定理的演绎证明过程，尤其是从直观感知向逻辑推理的思维转换。 (2)复杂图形中挖掘等腰三角形隐含条件，综合运用性质与判定解决多步推理问题。 知识清单 知识点01等腰三角形的性质 等腰三角形核心性质 1.定义性质：有两条边相等（腰），两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角，底边是两腰所对的边。 2.边角关系（核心）：等边对等角，即两腰所对的底角相等。 3.三线合一（关键）：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（仅针对底边）。 4.对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线。 【即学即练2】 1.(25-26八年级上福建福州·期中)已知ABC是等腰三角形，AB=AC,∠BAC=110°，则∠ABC的度 数是 2.(25-26八年级上广东珠海·期中)如图，点C在线段AB上， AD∥EB,AC=BE,AD=BC,LADC+LFCB=LDCF.求证： (1)CD=CE; (2)CF⊥DE. 知识点02等腰三角形的判定 等腰三角形判定 1.定义判定（根本依据）：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.角角判定（核心定理）：等角对等边，即有两个角相等的三角形，这两个角所对的边也相等。 4.隐含判定：若三角形一条边上的中线、高与对角平分线重合（三线合一逆用），则该三角形为等腰三 角形。 【即学即练2】 1.(25-26八年级上·辽宁铁岭·期中)如图，AD=BC,AC=BD. 2/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)若∠DAB=70°，∠ABD=40°，则∠C= (2)求证：△EAB是等腰三角形. 2.(25-26八年级上北京·期中)如图，在ABC中，己知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F 作直线GE交∠DAC的平分线于点E,交BC于点G,且AE∥BC, D A B G (I)求证：ABC是等腰三角形； (2)若BC=12,AE=2BG,求AE的长. 知识点03等边三角形的性质 等边三角形性质 1.边的性质：三边长度相等（是特殊的等腰三角形，三腰合一)。 2.角的性质：三个内角均为60°，且任意两个内角之和为120°。 3.三线合一性质：任意一边的中线、底边上的高、对角的平分线完全重合（比普通等腰三角形更具普 遍性)。 4.对称性：轴对称图形，有三条对称轴，分别是三边的中线（或高、对角平分线)所在直线。 【即学即练3】 1.(24-25八年级上·甘肃庆阳·期中)如图，在等边ABC中，AB=6cm,BD平分∠ABC,点E在BC的 延长线上，且∠E=30°.则CE的长是() B A.Icm B.2cm C.3cm D.4cm 2.(25-26八年级上河南省直辖县级单位期中)如图，ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC 3/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 边上，并且AE=CD,AD和BE相交于点M,BN⊥AD于N. (I)求证：BE=AD; (2)求∠BMN的度数. 知识点04等边三角形的判定 等边三角形判定 1.定义判定（根本依据）：三边长度都相等的三角形是等边三角形。 2.角的判定：三个内角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形。 3.边角结合判定（常用）：有一个内角是60°的等腰三角形，一定是等边三角形（无需区分60°角是顶角 还是底角)。 4.延伸判定：满足“三线合一”且有一个角为60°的三角形，或外接圆、内切圆圆心重合且边长相等的三 角形，可判定为等边三角形。 【即学即练4】 1.(2025八年级上·全国.专题练习)如图，已知ABC是等边三角形，且 ∠1=∠2=∠3.试问：△DEF是等边三角形吗？请说明理由. D B 2.(24-25八年级下陕西咸阳期中)如图，己知点A、F、E、B在同一条直线上，CE与DF交于点M, AE=BF,AC=BD,CE=DF,若LFME=60°，求证：△MFE是等边三角形. C D 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型精讲 题型01等边对等角 【典例1】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，ABC是等腰三角形，若底角∠B=50°，则顶角 ∠A的度数为() A B C A.50 B.60° C.70° D.80° 【变式1】(25-26九年级上，甘肃庆阳期中)如图，若ABC绕点A按逆时针方向旋转60°后与△AB,C,重合， 则∠AB,B的度数为() B A.40° B.60° C.70° D.100° 【变式2】(25-26八年级上吉林松原·期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是AB的中点，E是边AC上 的一点，连接DE、BE,且AE=BE,若∠C=65°，则∠AED=度. D 【变式3】(25-26八年级上辽宁大连·期中)如图，在ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC, ∠BAD=∠C+20°，求∠B的度数. A B D 5/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02三线合一 【典例2】(25-26八年级上·陕西榆林·期中)如图，在等腰ABC中，AB=AC,中线AD与角平分线CE交 于点F,∠CFD=55°，则∠BAC的度数为() B A.25° B.40° C.45° D.55° 【变式1】(25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期中)如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，AD是BC边上的 中线，则∠CAD的度数为() D A.20° B.30° C.40° D.50° 【变式2】(25-26八年级上湖北襄阳·阶段练习)如图，在ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于 点D,E是AB的中点，连接DE,若ABC的面积为8，则BDE的面积为 【变式3】(25-26八年级上·福建福州阶段练习)如图，在ABC中，AB=AC,AD是ABC的中线， AE=DE,求证：DE∥AB. 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型03等角对等边 【典例3】(24-25八年级上·山东济南·阶段练习)如图，在ABC中，∠B=∠C,AB=5,则AC的长为() A B A.4 B.6 C.3 D.5 【变式1】(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=m,将ABC沿射线BC平 移到△DEF,若点D落在∠ABC的平分线上，则平移的距离为() D B E A.m B.√2m c.（2-lm D.（2-2m 【变式2】(25-26八年级上·江苏阶段练习)如图，ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,DE‖AB, AE=6,则DE的长为 【变式3】(24-25七年级下·湖北武汉·期末)如图，已知∠B=∠ADE=∠C,点D是边BC上一点， CD=AB,点E在边AC上. D (I)求证：△ABD≌△DCE: (2)若AB=12,CE=3,求△DCE和△ADC的面积之比. 7/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型04格点张画等腰三角形 【典例4】(25-26八年级上·云南昆明期中)如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB,在 网格中再找一个格点C,使得ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是() B A.5 B.6 C.7 D.8 【变式1】(25-26八年级上江苏无锡阶段练习)如图，在6×5的网格中，点A,B在格点上，点C也在格 点上，且ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是() A.6 B.7 C.8 D.9 【变式2】(25-26八年级上·浙江阶段练习)图1、图2均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为 格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图. 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法， B 图1 图2 (I)在图1中的格点上确定一点P,画一个以AB为腰的等腰△ABP, (2)在图2中的格点上确定一点P,画一个以AB为底的等腰△ABP. 8/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图2 【变式3】(25-26八年级上·吉林松原期中)图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边 长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点都在格点上，在图①、图②、图③给 定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上， B B 图① 图② 图③ (I)在图①中以AB为腰画一个等腰三角形ABC; (2)在图②中以AB为底边画一个等腰三角形ABD; (3)在图③中以AB为边画一个四边形ABEF,使四边形ABEF是轴对称图形. B 图③ 题型05等腰三角形的判定 【典例5】(25-26八年级上吉林延边·期中)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D.点E在边AC 上，EF∥AC交AD的延长线于点F,求证：△AEF是等腰三角形. 【变式1】(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，∠B=∠C,AD是底边BC上的高线，DE∥AB交AC于 9/18 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点E,求证：ADE是等腰三角形. D 【变式2】(25-26八年级上·江苏南通阶段练习)如图，AD为ABC的角平分线，CE⊥AD交AD的延长 线于点E,∠BAD=2∠DCE. D E (1)求证：△ABD为等腰三角形： (2)求证：AD+AC=2AE. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰 三角形的判定与性质是解题的关键， 【变式3】(25-26八年级上·湖南长沙阶段练习)如图，等腰ABC中，AB=AC,过点A作AD∥BC, 交∠ABC的平分线于点D,BD交AC于点E. D (1)求证：△ABD是等腰三角形： (2)若点E是AC的中点，求∠D的度数. 题型O6等腰三角形的性质与判定的综合应用 【典例6】(25-26七年级上·山东威海阶段练习)如图，AC,AD分别为△ABE的中线和高，∠ACD=∠E, AD=5,DE=2,则△ABE面积为() 万 A.5 B.10 C.15 D.20 10/18