精品解析：江苏省常州市2025-2026学年九年级上学期期中质量调研数学试题

2025~2026学年度第一学期阶段性质量调研 九 年 级 数 学试 题 2025.11 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系“两根之积等于”，直接计算即可求解． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 3. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质和内角和公式，根据正多边形内角和公式求出正十二边形的内角和再除以12正十二边形一个内角的大小即可． 【详解】解：该正十二边形一个内角的大小为：， 故选：A 4. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹．横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试．不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：一人拿着一根竹杆进屋内，竹杆比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹杆斜着进门，恰好通过．若设竹杆的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹杆的长为尺，则由题意得，门高为尺，门宽为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：若设竹杆的长为尺， 则由题意得：门高为尺，门宽为尺， 根据勾股定理可得：， 故选：． 5. 如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．连接、，由是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，得到是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、，则， 是的直径， ，， 与相切于点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 6. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 7. 在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用全等直角三角形的性质，得出线段之间的数量关系，求出小正方形边长，再分别计算扇形面积和小正方形中相关三角形（或直接小正方形）面积，通过面积和差求出阴影部分面积．本题主要考查赵爽弦图的性质、扇形面积公式，熟练掌握全等三角形对应边关系求小正方形边长，以及利用“扇形面积和-重叠部分面积（小正方形）”计算阴影面积是解题关键． 【详解】解：根据题意可得， 小正方形的边长． ∴ 故选：． 8. 如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查对于一元二次方程，其判别式；当时，方程有两个不相等的实数根，通过判别式大于来确定的取值范围． 【详解】解：∵关于的方程中，，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即： ∴实数的取值范围为． 故答案为：． 10. 如图，A、B是上的两点，如果，那么当______时，与相切． 【答案】50 【解析】 【分析】由，可得，再根据切线的性质可得，进而可得的度数．本题主要考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，另外还考查了等腰三角形的性质及三角形内角和．熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 若与相切， 则， 则． 故答案为：50． 11. 如图，是的直径，点、在同一半圆上，，则的度数为__________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于，直角三角形的两个锐角互余，圆的内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由是的直径得，进而求得，再根据圆的内接四边形对角互补得，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和定理，解决本题的关键是求解出正多边形的边数． 利用多边形外角和为求出正多边形的边数，进而求得其周长． 【详解】解：因为小明每次向右转的角度就是这个正多边形的外角， 已知每次向右转，且多边形的外角和是固定的． 设这个正多边形的边数为，可得， 即这个正多边形是九边形． 已知小明每次前进米， 可得该正多边形的周长米． 故答案为：． 13. 如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 14. 类比解一元二次方程的配方法，求多项式 的最小值为 _______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键． 通过配方法将二次多项式进行化简，利用平方非负性求最小值即可． 【详解】解：原多项式为 ，进行配方：取一次项系数的一半的平方，即 ，添加并减去 9， 得 ， 由于 ， 因此当 时，，多项式取最小值 6． 故答案为 ：6． 15. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为______米． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可． 【详解】解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图， ∵， ∴米， 根据题意得：米， 设圆的半径为r米， ∵， ∴（米）， ∵圆心到水面的距离为4米， ∴（米）， ∴该圆在水面下的最深处到水面的距离为为1米， 故答案为：1． 16. 如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过________s后，的面积恰为． 【答案】4或6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键． 设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解． 【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即经过或后，的面积恰为． 故答案为：4或6． 17. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________． 【答案】2018 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：2018． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键． 18. 如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，直角三角形的性质．作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，根据的外心一定在直线上，得出当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是外心，点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上，画图得出答案即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的外心一定在直线上， ∴当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是的外心， ∴点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上， ∴如图，，与、、的交点即为点P的位置， ∵， ∴点在上， ∴符合条件的点P有4个， 故答案为：4． 三．解下列方程(每小题4分，共16分) 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等是解题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可； （3）方程运用配方法求解即可； （4）方程运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴， 解得，． 【小问4详解】 解：， ， ∴或， 解得，． 四、解答题（本大题共7小题，共48分） 20. 某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式5，进行计算，即可作答． 【详解】设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 21. 如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 22. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 23. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）的半径 【解析】 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 24. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【小问1详解】 解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 25. （1）如图，在中，，求作，使它经过边的中点，且与边、相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若过点B，且与、两条边所在直线相切，当，时，的半径长为 ． 【答案】（1） 作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，以点为圆心，以为半径作，则为所求，如图： （2）5或20 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定和性质是解决问题的关键 (1)作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，以点为圆心，以为半径作，则为所求； (2)作的平分线，过点点B作交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求，过点M作交的延长线于点E，于点E，设的半径为R，则，先求出，证明和全等得，则，证明四边形是矩形得、．则．然后在中，由勾股定理求出R即可． 【详解】解∶ (1)理由如下∶过点O作于点K，如图1所示: 是线段的垂直平分线, ，, 是的半径， 是的切线， 点O是的平分线上的点，，， ． 是的半径, 是切线， 经过边的中点，且与边，相切． 故为所求； (2)依题意有以下两种情况∶ ①作的平分线，过点B作交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求; 理由如下：过点M作，交的延长线于点E，于点F， 如图2所示∶ 为的半径，，是的切线， 点M在的平分线上，， , 是的半径, 直线是的切线, 经过点B且与、两条边所在直线相切， 故为所求， 设的半径为R，则． 在中，，． 由勾股定理得∶， 在和中， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得∶， ， 解得∶． 的半径为5； ②延长到T，作的平分线，过点B作，交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求， 理由：过点M作于点K，连接交于点Q，过点M作， 如图3所示∶ 由作图得是的切线， 平分，， ， ， 是的半径， 是的半径， 又， 是的切线， ， 是的垂直平分线 在中，，，由勾股定理得∶， ， ， , 在中，由勾股定理得∶, , 解得∶， 综上所述∶的半径长为5或20, 故答案为∶5或20． 26. 有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． （1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形” ②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 （2）如图1，为的切线，A为切点．在上是否存在点B、C， 使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？ 小明的作法： ①以P为圆心，长为半径作弧，与交于点B； ②连接并延长，交于点C； ③点B、C 即为所求． 请根据小明的作法补全图形，并证明四边形是“对分四边形”． （3）如图2，的半径为5，是的弦，，点C是上的动点，若存在四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是的切线，直接写出的长度． 【答案】（1）①② （2） 解：补全图形如下： 证明：连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“对分四边形”； （3）或4或8 【解析】 【分析】（1）根据定义的判断和推理得出①②； （2）根据画法画出图形，证明，再证；再由全等三角形性质得出、，根据“对分四边形”的定义即可判定； （3）分为，，三种情形，画出图形，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：因为菱形的对角线平分每组对角， 所以菱形是“对分四边形”， 因为“对分四边形”的被平分对角的对角线分成的两个三角形全等， 所以至少两组邻边相等， 故答案是①②； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图3， 当，，是的切线时，由对称性可知：此时，都是的切线． 连接并延长交于E，连接，， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ②如图4， 当，，是的切线时， 连接并延长交于F，连接并延长交于点E， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∴， ∴． ③如图5， 当，，是的切线时， 由②可得∶，， ∴， ∴， 综上所述：的值为 或或8． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，全等三角形的判定和性质,解决问题的关键是正确分类及找出角之间的关系，转化求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期阶段性质量调研 九 年 级 数 学试 题 2025.11 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 3 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹．横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试．不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：一人拿着一根竹杆进屋内，竹杆比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹杆斜着进门，恰好通过．若设竹杆的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为(　　) A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 7. 在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 8. 如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________． 10. 如图，A、B是上的两点，如果，那么当______时，与相切． 11. 如图，是的直径，点、在同一半圆上，，则的度数为__________ 12. 如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米． 13. 如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 14. 类比解一元二次方程的配方法，求多项式 的最小值为 _______． 15. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为______米． 16. 如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过________s后，的面积恰为． 17. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________． 18. 如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有_____个． 三．解下列方程(每小题4分，共16分) 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题（本大题共7小题，共48分） 20. 某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 21. 如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 22. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 23. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 24. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 25. （1）如图，在中，，求作，使它经过边的中点，且与边、相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若过点B，且与、两条边所在直线相切，当，时，的半径长为 ． 26. 有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． （1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形” ②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 （2）如图1，为的切线，A为切点．在上是否存在点B、C， 使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？ 小明的作法： ①以P为圆心，长为半径作弧，与交于点B； ②连接并延长，交于点C； ③点B、C 即为所求． 请根据小明的作法补全图形，并证明四边形是“对分四边形”． （3）如图2，的半径为5，是的弦，，点C是上的动点，若存在四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是的切线，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $