第5章 对函数的再探索（单元测试·基础卷）数学青岛版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 对函数的再探索·基础通关（参考答案） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C B A B D A C A A 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10.且 11. 12. 16 13. 14. 或 15. 9 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分） 【解析】（1）解：图象如图所示： （3分） （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线．（6分） 17．（本题6分） 【解析】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：；（3分） （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且（6分） 18．（本题6分） 【解析】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得，， 该抛物线的解析式为：；（2分） （2）将代入得，， 解得，， 点的坐标为； 将代入，得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为；点的坐标为．（6分） 19．（本题6分） 【解析】（1）解：把代入中得： ；（1分） （2）解：如图， 设的解析式为：， 把、代入中得： ， 解得：， 的解析式为：，（3分） 当时，， 解得；（4分） 由（1）的双曲线的解析式为， 令，则有， ， ； 所以恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于的时间有15小时．（6分） 20．（本题7分） 【解析】（1）解：将点向右平移3个单位长度， 此时坐标为， 再向下平移4个单位长度得到点B， 由平移可知． ∵点与均在反比例函数的图象上， ∵，解得． 将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为．（3分） （2）解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为． 又∵，， ∴点D的纵坐标为4． 令，解得， ∴D（,4）， ∴． 又∵点C到的距离为， ∴．（7分） 21．（本题8分） 【解析】（1）解：将代入反比例函数解析式， 则；（1分） （2）解：根据反比例函数的对称性可知，的坐标为；（2分） （3）解：设正比例函数的解析式为， 将代入可得， 解得：，（4分） 则将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线解析式为， 将代入反比例函数解析式，解得， 将代入， 解得：， ∴直线解析式为，（6分） 令，则， ∴， ∴， ∴． （8分） 22．（本题8分） 【解析】（1）当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为； 当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为． （2）①，顶点纵坐标为， 若，则， 当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值， ，， a与b满足的关系式为；（4分） ②由（1）知，，抛物线的解析式为，对称轴为，作图如下： 由对称性可知，和对应的函数值相同，都等于． 当时，必有．（8分） 23．（本题8分） 【解析】（1）解：由题意得： ， 即y关于x的函数关系式：；（2分） （2）解：由题意得：， 解得：，， 每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元；（4分） （3）解：设销售利润为w元，由题意得： ， ∵每把该蜀绣团扇的售价不低于成本价，且不高于成本价的倍， ∴，即， ，即开口向下，对称轴为直线， 当时，元， 当销售价定为45时，每周的销售利润最大，最大利润是2100元．（8分） 24．（本题10分） 【解析】（1）解：二次函数 图象的对称轴为直线 ， ， 解得：． 由点的坐标知，． 二次函数的表达式为． 故答案为：．（3分） （2）解：令，即， 解得：或4， 点坐标为，点坐标为．（4分） ，设直线的表达式为：， 则， 解得：， 故直线AC的表达式为 ．（6分） 点的横坐标为， 点的纵坐标为． ，在直线上， ．（7分） ①当点在抛物线上点与点之间运动时， ， 时，随的增大而减小，（8分） ②当点在抛物线上点与点之间运动时， ， ， 当，随的增大而减小， 的取值范围为：或． 故答案为：或．（10分） 25．（本题10分） 【解析】（1）解：直线(为常数)与双曲线(为常数)相交于两点， 把点代入双曲线中得，， ∴双曲线的解析式为， ∴当时，， ∴， 把点代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为；（5分） （2）解：由（1）可知，双曲线的解析式为， ∴当时，； 当时，； 当时，； （3）解：根据图示，当时，直线的函数图象在双曲线的图象上方，即； 根据图示，当时，直线的函数图象在双曲线的图象上方，即； 综上所述，当或时，， ∴解集为或．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 对函数的再探索·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题3分）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 2．（本题3分）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．（本题3分）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 4．（本题3分）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（本题3分）点和点均落在抛物线（为常数，且）上，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 7．（本题3分）如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（本题3分）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 9．（本题3分）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．（本题3分）在函数中，自变量x的取值范围是 11．（本题3分）已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则反比例函数的表达式为 12．（本题3分）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 13．（本题3分）已知二次函数，其中，则有最大值为 14．（本题3分）二次函数的图象过点，，若图象与轴只有一个交点则的值是 ． 15．（本题3分）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q 运动到点B停止），在运动过程中，面积的最大值为 ． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）已知抛物线． (1)在给定的坐标系中画出该抛物线； (2)用配方法求出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 17．（本题6分）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 18．（本题6分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)求B、C两点的坐标． 19．（本题6分）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段， 段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求k的值； (2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于的时间有多少小时？ 20．（本题7分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 21．（本题8分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)直接写出点的坐标； (3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 22．（本题8分）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______． (2)抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式； ②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围． 23．（本题8分）蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4把．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？ (3)若规定每把该蜀绣团扇的售价不低于成本价，且不高于成本价的倍，当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．（本题10分）已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）．    (1)求该二次函数的表达式； (2)是x轴上方抛物线上的一动点，且与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交于点，设的长为，当随的增大而减小时，求的取值范围． 25．（本题10分）如图，直线(为常数)与双曲线(为常数)相交于两点． (1)求直线 的解析式； (2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 对函数的再探索·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题3分）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【详解】解：抛物线中， A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意； D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意； 故选：C． 2．（本题3分）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 3．（本题3分）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的是关键，根据反比例函数解析式判定函数图象经过的象限即可求解． 【详解】解：图象经过第一象限， 图象经过第二象限， ∴原点是点， 故选：A ． 4．（本题3分）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键，利用土地总面积除以总人数，进而表示出人均占有的土地面积． 【详解】解：∵长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化， ∴S与n的函数关系式是：； 故选B． 5．（本题3分）如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质及两函数图象交点的应用，解题的关键是利用正比例函数和反比例函数的对称性确定两函数在第三象限的交点横坐标，再结合图象判断时的取值范围． 先根据正比例函数（）过一、三象限，反比例函数（）过一、三象限，可知两函数图象的交点关于原点对称；由第一象限交点A的横坐标为4，可得第三象限交点的横坐标为-4；再分象限观察图象，第一象限中当时，第三象限中当时，综合得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴正比例函数的图象过一、三象限，反比例函数的图象过一、三象限，且两函数图象的交点关于原点对称．   已知两函数在第一象限交于点A（横坐标为4），则第三象限的交点横坐标为．观察图象：在第一象限，当时，；在第三象限，当时，，故时的取值范围是或． 故选：D． 6．（本题3分）点和点均落在抛物线（为常数，且）上，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是求二次函数的解析式，二次函数的性质，把点代入抛物线，可得抛物线为，再将点A代入求解即可． 【详解】解：∵点落在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， ∵点落在抛物线上， ∴． 故选：A 7．（本题3分）如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴交于负半轴，可得出，进而可得出，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解． 【详解】解：①点在二次函数图象上， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， ， ， ∴，结论②错误； ③， ∴， ∴，结论③正确； ④二次函数的图象经过点和， ∴， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④共3个． 故选：C． 8．（本题3分）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 9．（本题3分）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解并掌握系数k的几何意义是解决本题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴， ∴ ． 故选A． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．（本题3分）在函数中，自变量x的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，求自变量的取值范围．熟练地掌握相关结论是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：且． 故答案为：且． 11．（本题3分）已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则反比例函数的表达式为 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义以及其性质，掌握这些是解题的关键． 根据反比例函数定义以及图象位置建立关于m的方程和不等式，求解后代回解析式即可． 【详解】解：根据题意，得，解得， 所以表达式为：． 故答案为：． 12．（本题3分）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 13．（本题3分）已知二次函数，其中，则有最大值为 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质及最值的求法，解题的关键是熟练应用二次函数的图象及性质． 根据二次函数的解析式可知图象开口向下，对称轴为直线，根据二次函数的增减性，求出当时，的值即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 即当时，． 故答案为：． 14．（本题3分）二次函数的图象过点，，若图象与轴只有一个交点则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，将点，代入解析式得出，根据图象与轴只有一个交点，则，进而解关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴ ∴ ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴ 即 解得：或 15．（本题3分）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q 运动到点B停止），在运动过程中，面积的最大值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的应用，先利用勾股定理计算出，再求出运动时间t的取值范围，最后用关于t的二次函数关系式表示出面积，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点P运动到点C所用时间为：， 点Q运动到点B所用时间为：， 点Q 运动到点B停止， 设运动时间为，则，， ， 当时，取最大值9， 故答案为：9． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）已知抛物线． (1)在给定的坐标系中画出该抛物线； (2)用配方法求出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线． 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握配方法以及二次函数的图像绘制方法。 （1）通过找顶点、与坐标轴交点等关键点位来绘制抛物线图像； （2）利用配方法将二次函数化为顶点式，从而得出对称轴和顶点坐标。 【详解】（1）解：图象如图所示： （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线． 17．（本题6分）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)； (2)且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 18．（本题6分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)求B、C两点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴的交点坐标，正确理解二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入求出值即可求解； （2）令可求点的坐标，令可求点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得，， 该抛物线的解析式为：； （2）将代入得，， 解得，， 点的坐标为； 将代入，得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为；点的坐标为． 19．（本题6分）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段， 段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求k的值； (2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于的时间有多少小时？ 【答案】(1)240 (2)15小时 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）直接将点B的坐标代入即可； （２）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的值，相减就是结论． 【详解】（1）解：把代入中得： ； （2）解：如图， 设的解析式为：， 把、代入中得： ， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得； 由（1）的双曲线的解析式为， 令，则有， ， ； 所以恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于的时间有15小时． 20．（本题7分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，直角坐标系中坐标的平移，正比例函数解析式的求解，正确求解出点A的坐标是解决本题的关键． （1）先根据坐标平移表示出点B的坐标，再根据点A与点B均在反比例函数上可求解m的值，进而可知点A与点B的坐标，代入函数解析式即可求解． （2）先求出直线的解析式，再求解出点D的坐标，由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点向右平移3个单位长度， 此时坐标为， 再向下平移4个单位长度得到点B， 由平移可知． ∵点与均在反比例函数的图象上， ∵，解得． 将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为． 又∵，， ∴点D的纵坐标为4． 令，解得， ∴， ∴． 又∵点C到的距离为， ∴． 21．（本题8分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)直接写出点的坐标； (3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求函数解析式，一次函数的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点关于原点对称求解即可； （3）：设正比例函数的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到直线解析式为，利用反比例函数解析式求出，进而得出，再求出，即可得到答案．． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式， 则； （2）解：根据反比例函数的对称性可知，的坐标为； （3）解：设正比例函数的解析式为， 将代入可得， 解得：， 则将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线解析式为， 将代入反比例函数解析式，解得， 将代入， 解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴． 22．（本题8分）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______． (2)抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式； ②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，二次函数的图象与性质等，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键． （1）代入a与b的值，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求顶点坐标； （2）①利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而可得顶点纵坐标为，再结合题中条件推出a与b满足的关系式； ②结合函数图象即可求m的取值范围． 【详解】（1）当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为； 当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为． （2）①，顶点纵坐标为， 若，则， 当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值， ，， a与b满足的关系式为； ②由（1）知，，抛物线的解析式为，对称轴为，作图如下： 由对称性可知，和对应的函数值相同，都等于． 当时，必有． 23．（本题8分）蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4把．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？ (3)若规定每把该蜀绣团扇的售价不低于成本价，且不高于成本价的倍，当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元 (3)当销售价定为45元时，每周的销售利润最大，最大利润是2100元 【分析】根据销售量＝原来的销售量－减少的销售量，即可解答； 根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答； 根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答． 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y关于x的函数关系式：； （2）解：由题意得：， 解得：，， 每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元； （3）解：设销售利润为w元，由题意得： ， ∵每把该蜀绣团扇的售价不低于成本价，且不高于成本价的倍， ∴，即， ，即开口向下，对称轴为直线， 当时，元， 当销售价定为45时，每周的销售利润最大，最大利润是2100元． 24．（本题10分）已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）．    (1)求该二次函数的表达式； (2)是x轴上方抛物线上的一动点，且与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交于点，设的长为，当随的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据对称轴求出，用待定系数法求出，即可求出二次函数的表达式． （2）①当点在点与点之间运动时，进而求解；②当点在点与点之间运动时，同理可解． 【详解】（1）解：二次函数 图象的对称轴为直线 ， ， 解得：． 由点的坐标知，． 二次函数的表达式为． 故答案为：． （2）解：令，即， 解得：或4， 点坐标为，点坐标为． ，设直线的表达式为：， 则， 解得：， 故直线AC的表达式为 ． 点的横坐标为， 点的纵坐标为． ，在直线上， ． ①当点在抛物线上点与点之间运动时， ， 时，随的增大而减小， ②当点在抛物线上点与点之间运动时， ， ， 当，随的增大而减小， 的取值范围为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质、待定系数法求函数表达式等，解题的关键是要注意分情况讨论． 25．（本题10分）如图，直线(为常数)与双曲线(为常数)相交于两点． (1)求直线 的解析式； (2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)当时，；当时，；当时，； (3)解集为或． 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法，图象法求不等式解集是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）结合反比例函数图象的性质求解即可； （3）根据直线与反比例函数解析式交点求不等式解集． 【详解】（1）解：直线(为常数)与双曲线(为常数)相交于两点， 把点代入双曲线中得，， ∴双曲线的解析式为， ∴当时，， ∴， 把点代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，双曲线的解析式为， ∴当时，； 当时，； 当时，； （3）解：根据图示，当时，直线的函数图象在双曲线的图象上方，即； 根据图示，当时，直线的函数图象在双曲线的图象上方，即； 综上所述，当或时，， ∴解集为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 对函数的再探索·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题3分）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 2．（本题3分）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．（本题3分）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 4．（本题3分）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（本题3分）点和点均落在抛物线（为常数，且）上，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 7．（本题3分）如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（本题3分）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 9．（本题3分）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．（本题3分）在函数中，自变量x的取值范围是 11．（本题3分）已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则反比例函数的表达式为 12．（本题3分）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 13．（本题3分）已知二次函数，其中，则有最大值为 14．（本题3分）二次函数的图象过点，，若图象与轴只有一个交点则的值是 ． 15．（本题3分）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q 运动到点B停止），在运动过程中，面积的最大值为 ． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）已知抛物线． (1)在给定的坐标系中画出该抛物线； (2)用配方法求出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 17．（本题6分）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 18．（本题6分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)求B、C两点的坐标． 19．（本题6分）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段， 段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求k的值； (2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于的时间有多少小时？ 20．（本题7分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 21．（本题8分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)直接写出点的坐标； (3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 22．（本题8分）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______． (2)抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式； ②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围． 23．（本题8分）蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4把．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？ (3)若规定每把该蜀绣团扇的售价不低于成本价，且不高于成本价的倍，当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．（本题10分）已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）．    (1)求该二次函数的表达式； (2)是x轴上方抛物线上的一动点，且与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交于点，设的长为，当随的增大而减小时，求的取值范围． 25．（本题10分）如图，直线(为常数)与双曲线(为常数)相交于两点． (1)求直线 的解析式； (2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $