第5章 对函数的再探索（单元测试·提升卷）数学青岛版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 对函数的再探索·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题3分）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 2．（本题3分）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 4．（本题3分）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（本题3分）已知，则函数和的图象大致是（    ） A．B．C． D． 6．（本题3分）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（本题3分）已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 8．（本题3分）如果都在二次函数（）的图像上，且．则m的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 9．（本题3分）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．（本题3分）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 11．（本题3分）将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的解析式为 ． 12．（本题3分）若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 13．（本题3分）如图所示的是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为 ． 14．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有 ． 15．（本题3分）如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）画出函数的图象并说明开口方向、对称轴． 17．（本题6分）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 18．（本题6分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有一动点P，使的面积为9，求点P的坐标． 19．（本题6分）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)若该函数图象经过点，，且． ①当时，求的值． ②当时，，求的取值范围． (2)若该函数的最小值为，求的最小值． 20．（本题7分）已知：如图，反比例函数的图象经过点，若一次函数的图象经过该反比例函数图象上的点． (1)求反比例函数解析式 (2)求一次函数图象与x轴的交点C坐标 (3)点P为反比例函数图像上一点，的面积为3，求点P坐标． 21．（本题8分）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 22．（本题8分）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的长． (3)求的面积． 23．（本题8分）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 24．（本题10分）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … (1) ， ； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质 ． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ． 25．（本题10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数xy的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … m 0 0 0 … 其中，______． (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根： ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 对函数的再探索·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题3分）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 2．（本题3分）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 本题是根据去程的速度和时间求出路程，返回时路程不变，速度与时间成反比关系． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 故：函数关系式为 ． 故选：A． 3．（本题3分）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象的顶点坐标是，该函数有最小值，最小值是，故B、C选项错误，不符合题意； ∴函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x 的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D 4．（本题3分）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是求二次函数图象与轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图像的对称性和二次函数与轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键． 根据图像可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图像的对称性求出图像与轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论． 【详解】解：由图象可知，二次函数图象的对称轴为直线， 图象与轴的一个交点为， 图象与轴的另一个交点为， 关于的一元二次方程的解为，， 故选：B． 5．（本题3分）已知，则函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，根据一次函数的性质和反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴的图象经过二、四象限， ∵， ∴的图象在一、三象限． 故选： D． 6．（本题3分）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两点的横坐标为、，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：设A、B两点的横坐标为、， 由题意知：，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，抛物线与x轴的截线长问题，解题的关键是熟练掌握韦达定理，以及抛物线与x轴的截线长等于，利用求解． 7．（本题3分）已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 8．（本题3分）如果都在二次函数（）的图像上，且．则m的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，抛物线的对称轴，抛物线的轴对称性，理解二次函数的性质是解题的关键．根据两点关于对称轴对称可求出，点A在对称轴的左侧，点C在对称轴的右侧，确定抛物线与y轴相交于，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定，再分类讨论：A、B都在对称轴左侧时；A、B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式求解即可． 【详解】解：在二次函数（）的图像上， 两点关于抛物线的对称轴对称， ， 点A在对称轴的左侧，点C在对称轴的右侧， 当时，， 抛物线与y轴相交于， 此交点关于对称轴的对称点为， ，抛物线开口向上， ， ， 当A、B都在对称轴左侧时， ， ， 解得， ； 当A、B分别在对称轴两侧时， ， 点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离， ， 解得， ； 综上所述，的取值范围是或． 故选：B． 9．（本题3分）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴． 点在函数的图象上， ． 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．（本题3分）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别．熟练掌握反比例函数定义是解题的关键．x，y相乘为一个常数，或者形如（）的函数为反比例函数，不属于上述两个形式的函数不是反比例函数． 根据反比例函数定义逐一判断即得． 【详解】解：①∵， ∴，是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④符是反比例函数． 故答案为①③④；②． 11．（本题3分）将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 12．（本题3分）若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 把代入得：， 故答案为：． 13．（本题3分）如图所示的是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：读图可知：三个反比例函数的图象在第二象限，故； ，在第一象限；且的图象距原点较远，故有：； 综合可得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 14．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有 ． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口方向和对称以及与轴的交点情况可以对①进行判断；根据时，，可对②进行判断；利用抛物线的对称轴可得时，，可对③进行判断；由对称轴为直线可得与的关系，将代入可判断④；利用二次函数的最值则可对⑤进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∵抛物线与轴交于负半轴， 故①正确； ②当时，， 故②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线， ∴与时的函数值相同， ∴时，，即， 故③错误； ④∵， 将代入，得， 故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， 当时，， ∴（为实数且）， 故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 15．（本题3分）如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键． 先分别求出二次函数与一次函数的解析式，再令，当时，求出，继而当时，即，推断出，求解即可． 【详解】解：将，分别代入得 ， 解得， ∴二次函数， 将代入得 ， 解得， ∴一次函数， 令，当时， ， 即， 解得， ∵当时， 即， ， ∴， 即或（无解） 解得． 故答案为：． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）画出函数的图象并说明开口方向、对称轴． 【答案】图象见解析，开口方向向上，对称轴为直线，即轴． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过描点法画出函数图象是解题的关键．建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可． 【详解】解：由列表为： 描点、作图为： 如图所示，函数的图象开口方向向上，对称轴为直线，即轴． 17．（本题6分）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数的性质得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小得到，进而解不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴，解得， 即k的取值范围是； （2）解：∵反比例函数图象经过第一象限的两点，，且， ∴，解得， 又∵， ∴a的取值范围是． 18．（本题6分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有一动点P，使的面积为9，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点P坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系，通过分类讨论求解． （1）通过待定系数法求函数解析式； （2）求出点B坐标，由可得点P坐标，从而求解． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A坐标为， ∴点B坐标为， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， ∴， 把代入得， 解得或； 把代入得， 整理得：， ， 方程无解； ∴点P坐标为或． 19．（本题6分）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)若该函数图象经过点，，且． ①当时，求的值． ②当时，，求的取值范围． (2)若该函数的最小值为，求的最小值． 【答案】(1)①；②； (2)取得最小值 【分析】（）①利用二次函数的对称性可得，据此即可求解；②由对称性质可得点关于直线的对称点的坐标为，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）由函数的最小值可得，进而可得，再利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，，是一组对称点， ∴对称轴为直线， 解得； ②点关于直线的对称点的坐标为， ∵， ∴， ∵，抛物线开口向上， ， 解得； （2）解：∵函数的最小值为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值为． 20．（本题7分）已知：如图，反比例函数的图象经过点，若一次函数的图象经过该反比例函数图象上的点． (1)求反比例函数解析式 (2)求一次函数图象与x轴的交点C坐标 (3)点P为反比例函数图像上一点，的面积为3，求点P坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2)点C的坐标为 (3)点或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象及性质是解题的关键； （1）利用待定系数法可进行求解； （2）由（1）可得反比例函数解析式为，然后把点代入得m的值，进而求出一次函数解析式，最后问题可求解； （3）设点，然后可知的高为，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）可知：反比例函数解析式为， ∴，即 ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， 令，则有，解得：， ∴点C的坐标为； （3）解：设点，由（2）可知：， ∴， 解得：或， ∴点或． 21．（本题8分）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 22．（本题8分）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的长． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值，把点的坐标代入即可求得的值，从而求得反比例和一次函数的解析式； （2）利用两个函数的解析式求得、的坐标，进一步即可求得的长度； （3）通过三角形面积公式即可求解． 本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，反比例函数、一次函数图像上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∴， ∴反比例函数为， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数为． （2） ∵过作轴，交过点的一次函数的图象于点， ∴当时；， ∴，， ∴． （3） ∵， ∴， ∴． 23．（本题8分）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 【答案】(1)建立的平面直角坐标系见详解， (2)米 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键． （1）以的中点为平面直角坐标系的原点所在线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系；因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入即可求解； （2）根据题（1）的结果，令求出的两个值，从而可得水面上升2米后的水面宽度； （3）将代入，得出的值，进而减去货船的高度，即可求解． 【详解】（1）解：以的中点为平面直角坐标系的原点所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下： 根据所建立的平面直角坐标系可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 因此设抛物线的函数表达式为， 将代入得：， 解得：， 则所求的抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意，令得， 解得：， 则水面上升2米后的水面宽度为：（米）， （3）解：由题意，当时，， ∵一艘货船的高为米， ∴水面在正常水位的基础上最多能上升（米）． 24．（本题10分）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … (1) ， ； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质 ． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ． 【答案】(1)2， (2)①图象见详解；②当时，y随x的增大而减小 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得电流与电阻R、之间关系为，然后根据表格可代入进行求解即可； （2）①根据题中所给表格可描点、连线作出函数图象即可；②根据函数图象可进行求解； （3）由题意可先画出（）的图象，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴电流与电阻R、之间关系为， ∴当时，则，解得：，即； 当时，则，即； 故答案为2，； （2）解：①所作函数图象如下： ②由图象可知：函数（）的一条性质为当时，y随x的增大而减小； 故答案为当时，y随x的增大而减小； （3）解：由题意可先画出（）的图象，如图所示： ∴由图象可知：当时，的解集为； 故答案为． 25．（本题10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数xy的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … m 0 0 0 … 其中，______． (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根： ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)答案不唯一，如：函数关于轴对称；随增大而增大； (4)①3，3；②2；③ 【详解】（1）解：当时，， 故答察为：； （2）解：通过描点绘出函数图象如下： （3）解：答案不唯一，如：函数关于轴对称；随增大而增大； （4）解：①函数图象与轴有3个交点；所以对应的方程有3个根， 故答案为：3，3； ②方程，可以理解为：与的函数图象有几个交点．从图上看，有2个交点，即有2个实数根， 故答案为：2； ③关于的方程有4个实数根时，由②知：． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 对函数的再探索·能力提升（参考答案） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C A D B D C C B C 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10. ①③④ ② 11. 12. 13. 14. ①④⑤ 15. 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分） 【解析】解：由列表为： （2分） 描点、作图为： 如图所示，函数的图象开口方向向上，对称轴为直线，即轴．（6分） 17．（本题6分） 【解析】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴，解得， 即k的取值范围是；（3分） （2）解：∵反比例函数图象经过第一象限的两点，，且， ∴，解得， 又∵， ∴a的取值范围是．（6分） 18．（本题6分） 【解析】（1）解：将代入得 ， 解得， ∴；（2分） （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A坐标为， ∴点B坐标为， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， ∴，（4分） 把代入得， 解得或； 把代入得， 整理得：， ， 方程无解； ∴点P坐标为或．（6分） 19．（本题6分） 【解析】（1）解：①当时，，是一组对称点， ∴对称轴为直线， 解得； ②点关于直线的对称点的坐标为， ∵， ∴， ∵，抛物线开口向上， ， 解得；（3分） （2）解：∵函数的最小值为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值为．（6分） 20．（本题7分） 【解析】（1）解：把点代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为；（1分） （2）解：由（1）可知：反比例函数解析式为， ∴，即 ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， 令，则有，解得：， ∴点C的坐标为；（4分） （3）解：设点，由（2）可知：， ∴， 解得：或， ∴点或．（7分） 21．（本题8分） 【解析】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为（3分） （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室．（5分） （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效．（8分） 22．（本题8分） 【解析】（1）∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∴， ∴反比例函数为， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数为．（3分） （2） ∵过作轴，交过点的一次函数的图象于点， ∴当时；， ∴，， ∴．（6分） （3） ∵， ∴， ∴．（8分） 23．（本题8分） 【解析】（1）解：以的中点为平面直角坐标系的原点所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下： 根据所建立的平面直角坐标系可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 因此设抛物线的函数表达式为， 将代入得：， 解得：， 则所求的抛物线的函数表达式为；（3分） （2）解：由题意，令得， 解得：， 则水面上升2米后的水面宽度为：（米），（6分） （3）解：由题意，当时，， ∵一艘货船的高为米， ∴水面在正常水位的基础上最多能上升（米）．（8分） 24．（本题10分） 【解析】（1）解：由题意得：，， ∴电流与电阻R、之间关系为， ∴当时，则，解得：，即； 当时，则，即； 故答案为2，；（4分） （2）解：①所作函数图象如下： ②由图象可知：函数（）的一条性质为当时，y随x的增大而减小； 故答案为当时，y随x的增大而减小；（7分） （3）解：由题意可先画出（）的图象，如图所示： ∴由图象可知：当时，的解集为； 故答案为．（10分） 25．（本题10分） 【解析】（1）解：当时，， 故答察为：；（2分） （2）解：通过描点绘出函数图象如下： （5分） （3）解：答案不唯一，如：函数关于轴对称；随增大而增大；（7分） （4）解：①函数图象与轴有3个交点；所以对应的方程有3个根， 故答案为：3，3； ②方程，可以理解为：与的函数图象有几个交点．从图上看，有2个交点，即有2个实数根， 故答案为：2； ③关于的方程有4个实数根时，由②知：． 故答案为：．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 对函数的再探索·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题3分）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 2．（本题3分）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 4．（本题3分）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（本题3分）已知，则函数和的图象大致是（    ） A．B．C． D． 6．（本题3分）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（本题3分）已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 8．（本题3分）如果都在二次函数（）的图像上，且．则m的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 9．（本题3分）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．（本题3分）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 11．（本题3分）将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的解析式为 ． 12．（本题3分）若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 13．（本题3分）如图所示的是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为 ． 14．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有 ． 15．（本题3分）如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）画出函数的图象并说明开口方向、对称轴． 17．（本题6分）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 18．（本题6分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有一动点P，使的面积为9，求点P的坐标． 19．（本题6分）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)若该函数图象经过点，，且． ①当时，求的值． ②当时，，求的取值范围． (2)若该函数的最小值为，求的最小值． 20．（本题7分）已知：如图，反比例函数的图象经过点，若一次函数的图象经过该反比例函数图象上的点． (1)求反比例函数解析式 (2)求一次函数图象与x轴的交点C坐标 (3)点P为反比例函数图像上一点，的面积为3，求点P坐标． 21．（本题8分）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 22．（本题8分）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的长． (3)求的面积． 23．（本题8分）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 24．（本题10分）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … (1) ， ； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质 ． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ． 25．（本题10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数xy的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … m 0 0 0 … 其中，______． (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根： ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $