专题4.1等式与方程(题型专练58题）2025-2026学年苏科版数学七年级上册

专题4.1等式与方程题型专练 【五大题型共计58题】 题型梳理 【题型一 判断各式是否是方程】.............................1 【提醒二 等式的性质】.....................................6 【题型三 列方程】.........................................15 【题型四 判断是否是方程的解】.............................21 【题型五 已知方程的解，求参数】............................29 【题型一 判断各式是否是方程】 1．下列叙述中，正确的是（   ） A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式 C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程 【答案】B 【分析】根据方程的概念结合选项选出正确答案即可． 【详解】解：A、方程是含有未知数的等式，错误； B、方程是含有未知数的等式，故选项正确； C、并不是只有含有字母x，y的等式才叫方程，错误； D、含有未知数的等式叫做方程，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的概念，掌握各知识点的定义是解答本题的关键． 2．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 3．根据下面所给条件，能列出方程的是（    ） A．一个数的是6 B．x与1的差的 C．甲数的2倍与乙数的 D．a与b的和的60% 【答案】A 【分析】根据题意列出方程或代数式，即可求解． 【详解】A. 一个数的是6，设这个数为x，则有 ，是方程，故符合题意； B. x与1的差的，根据题意列式为： ，不是方程，故不符合题意； C. 甲数的2倍与乙数的，设甲数为x，乙数为y，根据题意可得：2x，y，不是方程，故不符合题意； D. a与b的和的60％，根据题意列式为： ，不是方程，故不符合题意， 故选A. 【点睛】本题考查了方程的定义，解题的关键是理解方程的定义，含有未知数的等式是方程． 4．下列各式是方程的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） A．（1）（2）（4）（5）（8） B．（1）（2）（5）（7）（8） C．（1）（4）（5）（7）（8） D．8个都是 【答案】C 【分析】本题主要考查方程的定义，掌握方程的定义是解题的关键．根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：（1），符合方程的定义，故本小题符合题意； （2），不含有未知数，不是方程，故本小题符合题意； （3），不是等式，故本小题不符合题意； （4），符合方程的定义，故本小题符合题意； （5），符合方程的定义，故本小题符合题意； （6），不是等式，故本小题不符合题意； （7），符合方程的定义，故本小题符合题意； （8），符合方程的定义，故本小题符合题意． 是方程的有（1）（4）（5）（7）（8）， 故选：C． 5.下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据方程的定义，判断所给式子是否为含有未知数的等式，从而确定方程的个数．本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 【详解】解：方程是含有未知数的等式 ①，是含有未知数的等式，是方程 ②，不是等式，不是方程 ③，是含有未知数的等式，是方程 ④，是含有未知数的等式，是方程 ⑤，不是等式，不是方程 ⑥，是含有未知数的等式，是方程 ⑦，是含有未知数的等式，是方程 ⑧，是含有未知数的等式，是方程 ①③④⑥⑦⑧是方程，共个 故选：． 6． 的等式叫做方程． 【答案】含未知数 【分析】直接根据方程的定义写出答案即可． 【详解】解：含未知数的等式叫做方程． 故答案是：含未知数． 【点睛】本题主要考查了方程的定义，含未知数的等式叫做方程． 7．下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 8．在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 【答案】 、、； 、． 【分析】本题考查了等式和方程，用等号表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；解决本题的关键是根据等式和方程的定义进行判断． 【详解】解：用等号表示相等关系的式了叫等式， 等式有：、、； 含有未知数的等式是方程， 方程有：、． 故答案为：、、； 、． 9．下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知： ①，不是一元一次方程，不符合题意； ②，是一元一次方程，符合题意； ③，是一元一次方程，符合题意； ④，不是一元一次方程，不符合题意； 故答案为：②③． 10．下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)是方程，未知数是x (2)是方程，未知数是y (3)不是方程 (4)是方程，未知数是a (5)是方程，未知数是m (6)是方程，未知数是x、y 【分析】本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程定义是关键． 根据方程的定义解答，即含未知数的等式叫做方程． 【详解】（1）解：是方程，未知数是x； （2）解：4是方程，未知数是y； （3）解：因为不是等式，所以不是方程； （4）解：是方程，未知数是a； （5）解：是方程，未知数是m； （6）解：是方程，未知数是x、y． 11．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【提醒二 等式的性质】 12．在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压、导体的电阻之间有以下关系：．去分母，得，那么其变形的依据是（    ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，等式性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘同一个数（或式子），或除以同一个不为 0 的数（或式子），等式仍成立． 根据等式的性质，对原式进行分析即可． 【详解】解：将等式，去分母得，实质上是在等式的两边同时乘，用到的是等式的基本性质． 故选：B． 13．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 14．已知（，），下列等式中变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决本题的关键是利用等式的基本性质把进行变形，根据变形的结果进行比较判断正误即可． 【详解】解：A选项：，根据等式的性质，把等式两边同时乘以，可得：，故A选项错误； B选项：，根据等式的性质可得：，把两边同时除以，可得：，故B选项错误； C选项：，根据等式的性质，把等式两边同时乘以，可得：，故C选项正确； D选项：，根据等式的性质可得：，把两边同时除以，可得：，故D选项错误． 故选：C． 15．在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质，从图中可知，1个球的质量相当于2个正方体的质量，那么3个球的质量相当于6个正方体的质量；图中天平的右端已有2个正方体，再添加4个正方体，天平能保持平衡；否则天平不能保持平衡． 【详解】 解：A．天平右端原有2个正方体，再添加6个正方体，则右端有个正方体，天平不能保持平衡，故A符合题意； B．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故B不符合题意； C．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故C不符合题意； D．天平右端原有2个正方体，再添加4个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故D不符合题意． 故选：A． 16．求的值．可以采用下面的方法：令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，所以，仿照上面的推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，灵活运用等式的性质进行变形是解题的关键． 令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以5．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，从而求得S即可解答． 【详解】解：令， 由等式的基本性质二，等式两边都乘以5可得： ， 由等式的基本性质一，将两个等式相减得： ，即， ∴． 故选：D． 17．根据等式的性质填空： (1)如果，那么________； (2)如果，那么________； (3)如果，那么________； (4)如果，那么． 【答案】(1)1 (2) (3)5 (4)2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除同一个数，除数不为0）等式仍然成立是解题的关键． （1）根据等式两边同时加同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时加1，所以． （2）根据等式两边同时减同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时减2，所以． （3）根据等式两边同时乘同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时乘5，所以． （4）根据等式两边同时除以同一个不为的数等式仍然成立，已知，在等式两边同时除以3，所以． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：5； （4）解：∵， ∴， 故答案为：2； 18．（1）如果，那么，根据的是 ； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是 ． 【答案】 等式的基本性质1 【分析】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质． （1）根据等式的性质1求解即可； （2）根据等式的性质2求解即可． 【详解】解：（1）如果，那么，根据的是等式的基本性质1； 故答案为：等式的基本性质1； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是， ∴． 故答案为：． 19．利用等式的基本性质解一元一次方程． 方程两边同时减去 ，得 ． 方程两边同时 ，得 ． 【答案】 8 5 除以 【分析】本题考查等式的性质，解题关键是明确等式的性质的内容，会用等式的性质解方程．根据等式的性质即可解答． 【详解】解：解方程：， 第一步：根据等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式，方程两边都减去8，得到． 第二步：根据等式的基本性质：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式，方程两边都除以，得到． 故答案为：8；5；除以；． 20．下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①如果，那么当时，，故①不正确； ②如果，那么，故②正确； ③如果那么，故③正确； ④如果，那么，故④正确． 故答案为：②③④． 21’．将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 【答案】 【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题． 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得， 得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B， 故答案为：A，B． 22．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）等式两边同减去5即可； （2）等式两边同除以3即可； （3）等式两边同乘以即可； （4）等式两边同加上即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 23．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 【答案】(1)二 (2)没考虑的情况 (3)等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质判定即可； （2）根据等式的性质判定即可； （3）根据等式的性质判定即可． 【详解】（1）解：等式变形产生错误的步骤是第二步， 故答案为：二； （2）解：在第二步中，等式两边同时除以，没有考虑的情况，当时，根据等式的性质2，这不合理， ∴错误原因：没考虑的情况； （3）解：运用等式的性质时，等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可）． 24．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 【题型三 列方程】 25．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【分析】此题考查了列方程，逐一分析各选项的等量关系，判断是否与方程相符． 【详解】A．总费用为元，付30元找回6元，方程为，不符合题意； B．黑兔数量x是白兔的3倍多6只，方程为，不符合题意； C．科技书比故事书多6本，方程为，不符合题意； D．舞蹈小组人数是书法小组的3倍少6人，方程为，符合题意． 故选：D． 26．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 27．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 28．一个长方形的周长为32cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm就变成了一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的长为xcm，得到长方形的宽，结合题意列方程，即可得到答案． 【详解】∵长方形的长为xcm ∴长方形的宽为：cm 根据题意得： 故选：B． 29．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 30．如图，圆的面积为2008，五边形的面积为2024，两个图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（      ） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】B 【分析】本题考查方程的应用，根据图形可知：，然后整理，即可得到的值． 【详解】解：由图可得，， 化简，得：， 故选：B． 31．设某数为a，则“某数的2倍与3的和是7”用方程可表示为 ; 【答案】 【分析】根据题意，列出方程即可． 【详解】某数的2倍与3的和是7， 设某数为a， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是明确题意找出等量关系． 32．已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的定义、等式的性质，正确运用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 33．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ． 【答案】 宽为 【分析】此题考查了列方程．设宽为，则长为，根据周长为50列方程即可． 【详解】解：设宽为，则长为， ， 故答案为：宽为；． 34．一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； … 根据观察得到的规律，写出其解是的方程：__________． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程及其解的规律推导特定方程，解题的关键是找出解的数值与方程中第一个分式的分母、第二个分式的分子中常数项的对应关系． 设方程的解为，观察已知方程：当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为；当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为；当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为，由此得规律：解为的方程是；将代入规律式，即可得到对应方程． 【详解】解：设方程的解为， 由已知规律：解为时，方程第一个分式的分母为，第二个分式的分子为，右边恒为1， 故方程形式为． 当时，，， 代入得方程：． 故答案为：． 35．根据条件“某数的3倍比它的一半大5”列出方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了列方程，根据题意，找出等量关系“某数的3倍减去它的一半等于5”，即可列出方程，找出等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：“某数的3倍比它的一半大5”，列出方程为． 36．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列等式，找到对应的等量关系是关键． （1）根据题意列出相应的等式即可； （2）根据题意和图示列出相应的等式即可； （3）根据图示列出相应的等式即可． 【详解】（1）解：根据题意列出等式为：； （2）解：根据题意列出等式为：； （3）解：根据长方形面积和图示，列出的等式为． 37．根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列方程，找到等量关系是本题关键． （1）根据全校人数女生人数，女生人数—男生人数＝80建立等量关系即可； （2）根据扩大部分面积为5x，通过原来面积加上扩大部分面积等于现在总面积可建立等量关系． 【详解】（1）设这所学校的学生数为，那么女生数为， 男生数为． 根据“女生比男生多80人”， 列得方程． （2）设正方形绿地的边长为m， 扩大部分面积为：5x 那么扩大后的绿地面积为． 根据“扩大后的绿地面积是”． 列得方程． 【题型四 判断是否是方程的解】 38．有一个方程的解为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程，计算出方程左右两边的值，看是否相等即可． 【详解】解：A、把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程中，左边，右边，方程左右两边不相等，故不是方程的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程中，左边右边，故是方程的解，故此选项不符合题意； 故选：D． 39． 下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将分别代入方程，逐项计算判断，即可解答． 【详解】解：A． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； B． 当时，， ∴是的解，符合题意； C． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； D． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； 故选B． 40．关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化简为关于的一元一次方程，代入各值计算对应的解，对比选项即可判断错误解． 【详解】原方程可化简为，解得（）． 当时，，与一致，正确． 当时，，但表中，矛盾，错误． 当时，，与一致，正确． 当时，，与一致，正确． 综上，错误的解为选项B． 故选B． 41．若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解，正整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键，由为正整数，推出，那么，那么可得到的取值，从而得出答案． 【详解】解： 为正整数， ， 正整数满足方程， ， ， 当时，，解得，符合题意； 那么满足这个方程的解只有一组， 故选：A ． 42．填表： x 0 1 当_______时，，所以方程的解是_______． 【答案】填表见详解 ； 【分析】本题考查了“代数式求值”“方程的定义”的知识点，正确计算出求值结果，并理解方程的定义是解题关键． 先根据表中x的取值，分别代入两个代数式中，求出对应的值并填表，再观察表中当两个代数式的值相同时，表中对应的x的取值，根据方程的定义，这个x的取值即为方程的解． 【详解】解：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 故填表如下： x 0 1 1 3 0 由表可知，当时，，即方程的解为． 故答案为： ；． 43．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有 ．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 44．代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 45．如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程无解问题，掌握方程无解的条件是解题的关键． 根据方程无解，可得系数为零，常数不为零，据此求解即可． 【详解】解：当时，方程的左边，方程的右边， ∴关于x的方程无解． 故答案为：． 46．括号里的值，哪个是方程的解？把它圈出来． （1）（，） （2）（，） （3）（，） （4）（，） （5）（，） （6）（，） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了主程的解的定义，使方程左右两边的值相等的未知数的值是方程的解，解决本题的关键是分别把括号里的值代入方程，如果方程左右两边的结果相等，则这个的值是方程的解，反之则不是． 【详解】解把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解． 把方程的解圈起来如下： 47．检验括号中的数是否为方程的解． (1)（，）； (2)（，）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是根据方程的解的定义； （1）使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解，把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边=右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解，即可解答． （2）把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边=右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解，即可解答 【详解】（1）解：当时，左边，左边右边，故不是方程的解， 当时，左边，左边右边，故是方程的解； （2）当时，左边，左边右边，故是方程的解， 当时，左边，左边右边，故不是方程的解． 48．利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 【答案】(1)是原方程的解 (2)是原方程的解 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程，方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质，给等式的两边同时减即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）先根据等式的性质，给方程两边同时加可得，至此，再给方程两边同时乘以即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边都减8，得． 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边， 左边右边． 所以是原方程的解； （2）解：两边都加上4，得． 即， 两边同乘以，得， 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边，左边＝右边． 所以是原方程的解． 【题型五 已知方程的解，求参数】 49．笑笑在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是，则被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将方程的解代入原方程，通过计算即可求出被污染的常数． 【详解】解：∵ 方程的解为， ∴ 代入方程得：， ∴， ∴， ∴， 故被污染的常数是3． 故选：C． 50．如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】本题考查根据方程的解的情况，求参数的值，根据方程无解，得到未知数的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：C． 51．已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件和已知字母的值求代数式的值，正确理解条件是解题的关键．首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且， 解得：，， 则 故选：D． 52．如果a、b是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是（   ） A．1 B．2 C．16 D．31 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再由无论为何值时，都成立得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程，无论为何值时，它的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 53．小明同学在解关于的一元一次方程时，得到方程的解是，由此可知方程中的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程的解求参数，将方程的解代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：关于的一元一次方程的解是， ， 解得； 故答案为：． 54．方程与有相同的解，则的值为( ) 【答案】4 【分析】本题考查了解方程和方程的解，方程与有相同的解，则这两个方程中x的值相同，所以根据等式的基本性质，求出方程中x的值，再把x的值代入方程中，再根据等式的基本性质即可求出M的值． 【详解】解： 把代入，得到 ∴， 故答案为：4． 55．整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值：则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，由，则，再根据由表格中的数据即可解答，掌握等式的性质成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知，关于的方程的解是， 故答案为：． 56．已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入关于的方程得到含有，，的等式，根据题意可得恒成立，列出关于，的一元一次方程，解方程求出，，然后代入进行计算即可. 【详解】解：把代入关于的方程 得： ， ， ， ， ， ∵无论为何值，它的解总是 ∴无论为何值，恒成立， ， 解得：， ， 故答案为：． 57．已知是关于的方程的解，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)0 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值． （1）将代入关于x的方程，得到a和b的数量关系并代入计算即可； （2）由（1）得，将其代入计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得， ∴ ． 58．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于a，b，c的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）∵a，b互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1等式与方程题型专练 【五大题型共计58题】 题型梳理 【题型一 判断各式是否是方程】.............................1 【提醒二 等式的性质】.....................................6 【题型三 列方程】.........................................15 【题型四 判断是否是方程的解】.............................21 【题型五 已知方程的解，求参数】............................29 【题型一 判断各式是否是方程】 1．下列叙述中，正确的是（   ） A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式 C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程 2．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 3．根据下面所给条件，能列出方程的是（    ） A．一个数的是6 B．x与1的差的 C．甲数的2倍与乙数的 D．a与b的和的60% 4．下列各式是方程的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） A．（1）（2）（4）（5）（8） B．（1）（2）（5）（7）（8） C．（1）（4）（5）（7）（8） D．8个都是 5.下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6． 的等式叫做方程． ‘7．下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 8．在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 9．下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 10．下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 11．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【提醒二 等式的性质】 12．在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压、导体的电阻之间有以下关系：．去分母，得，那么其变形的依据是（    ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．乘法交换律 D．乘法结合律 13．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 14．已知（，），下列等式中变形正确的是（    ） A． B． C． D． 15．在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（　　） A． B． C． D． 16．求的值．可以采用下面的方法：令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，所以，仿照上面的推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 17．根据等式的性质填空： (1)如果，那么________； (2)如果，那么________； (3)如果，那么________； (4)如果，那么． 18．（1）如果，那么，根据的是 ； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是 ． 19．利用等式的基本性质解一元一次方程． 方程两边同时减去 ，得 ． 方程两边同时 ，得 ． 20．下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 21’．将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 22．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 23．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 24．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【题型三 列方程】 25．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 26．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 27．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 28．一个长方形的周长为32cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm就变成了一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程（   ）． A． B． C． D． 29．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 30．如图，圆的面积为2008，五边形的面积为2024，两个图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（      ） A．17 B．16 C．15 D．14 31．设某数为a，则“某数的2倍与3的和是7”用方程可表示为 ; 32．已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 33．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ． 34．一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； … 根据观察得到的规律，写出其解是的方程：__________． 35．根据条件“某数的3倍比它的一半大5”列出方程． 36．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 37．根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【题型四 判断是否是方程的解】 38．有一个方程的解为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 39． 下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 40．关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 41．若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 42．填表： x 0 1 当_______时，，所以方程的解是_______． 43．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有 ．（填序号） 44．代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 45．如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是 ． 46．括号里的值，哪个是方程的解？把它圈出来． （1）（，） （2）（，） （3）（，） （4）（，） （5）（，） （6）（，） 47．检验括号中的数是否为方程的解． (1)（，）； (2)（，）． 48．利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 【题型五 已知方程的解，求参数】 49．笑笑在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是，则被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 51．已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 52．如果a、b是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是（   ） A．1 B．2 C．16 D．31 53．小明同学在解关于的一元一次方程时，得到方程的解是，由此可知方程中的值是 ． 54．方程与有相同的解，则的值为( ) 55．整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值：则关于的方程的解是 ． 56．已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ． 57．已知是关于的方程的解，求下列各式的值． (1)； (2)． 58．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $