专题03 二次函数的图象与一元二次方程 九类题型（专项训练）数学青岛版九年级下册

专题03 二次函数的图象与一元二次方程 （原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 2 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 2 题型四、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 2 题型五、求x轴与抛物线的截线长 4 题型六、图象法确定一元二次方程的近似根 4 题型七、图象法解一元二次不等式 5 题型八、利用不等式求自变量或函数值的范围 6 题型九、根据交点确定不等式的解集 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1．抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是 ． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的横坐标为 ． 5．如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 6．抛物线与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 7．抛物线 与y轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．抛物线与轴的交点坐标是 ． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为 ． 10．抛物线的顶点坐标是 ，与y轴交点坐标是 ． 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 11．若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．已知正比例函数与二次函数的图象的交点的横坐标为3，则的值为（  ） A． B． C．1 D．3 13．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 15．已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为 ． 题型四、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 16．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 17．二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（   ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 18．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 19．根据下列表格对应值：可求得关于的方程的解是 ． x 0 0.5 1 2 1 2 20．二次函数的部分图象如图，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的另一交点为 ；方程的根为 ． 题型五、求x轴与抛物线的截线长 21．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 23．如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ． 24．已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ． 25．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ． 题型六、图象法确定一元二次方程的近似根 26．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 27．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 28．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 29．如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 30．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 题型七、图象法解一元二次不等式 31．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 32．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 33．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 34．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 题型八、利用不等式求自变量或函数值的范围 36．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 37．已知，是二次函数的图象上的两点，若，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 38．对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 40．已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 题型九、根据交点确定不等式的解集 41．已知二次函数的图象如图所示．当时，自变量的取值范围是（   ）    A． B． C． D．或 42．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 43．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 44．如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为 ． 45．已知函数的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是 ． 1．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025·四川·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号） 10．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值． (2)当点在线段上时，求的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数的图象与一元二次方程 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 3 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 4 题型四、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 5 题型五、求x轴与抛物线的截线长 8 题型六、图象法确定一元二次方程的近似根 10 题型七、图象法解一元二次不等式 12 题型八、利用不等式求自变量或函数值的范围 14 题型九、根据交点确定不等式的解集 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1．抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由抛物线对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是， 故选：． 2．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， 把代入得， ，可得， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标， ∴方程的根是，． 故选：B． 3．抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两个交点之间的距离为4， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为，即：， 把代入，得：，解得； 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的横坐标为 ． 【答案】1或 【解析】解：当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点的横坐标为1或． 5．如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是 【答案】 【解析】解：当时，，解得，， ∴ ∵将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，…， ∴，， … ∴，， 即，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为： 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 6．抛物线与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：对于，当， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：D． 7．抛物线 与y轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：抛物线中， 当时，． ∴抛物线与y轴交点的坐标是． 故选：C． 8．抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【解析】解：当， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【解析】解：令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 10．抛物线的顶点坐标是 ，与y轴交点坐标是 ． 【答案】 【解析】解：二次函数的顶点式，其顶点坐标为． 在抛物线中，， 所以顶点坐标是， 令，代入抛物线解析式得： ， 所以与轴交点坐标是． 故答案为：，． 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 11．若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵点 ，，在抛物线上， ∴ ∴ 故选C 12．已知正比例函数与二次函数的图象的交点的横坐标为3，则的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【解析】解：将代入二次函数，得：， ， 将代入正比例函数，得：， 解得：， 故选：C． 13．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 14．若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵函数的图象经过点， ∴， 故选：A． 15．已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为 ． 【答案】0或 【解析】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 题型四、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 16．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】解：由二次函数的图象得抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D 17．二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（   ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】A 【解析】解：关于的方程的根的情况，可以看作是二次函数的图像与直线交点情况，如图所示：    即二次函数的图像与直线有两个交点， 关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 18．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：； 故选：B． 19．根据下列表格对应值：可求得关于的方程的解是 ． x 0 0.5 1 2 1 2 【答案】或 【解析】解：∵当时，；当时，， ∴关于x的方程的解是：或， 故答案为：或． 20．二次函数的部分图象如图，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的另一交点为 ；方程的根为 ． 【答案】 ， 【解析】解：∵对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴与轴的另一交点为， ∵当时，， ∴方程的一个根为， ∵对称轴为直线， ∴方程的另一个根为， 故答案为：；，． 题型五、求x轴与抛物线的截线长 21．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 22．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【解析】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 23．如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ． 【答案】 【解析】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 24．已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ． 【答案】 【解析】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 25．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ． 【答案】 4 【解析】解：∵中，，顶点坐标为， ∴抛物线解析式为，则， 令，则， 解得： ∴, 故答案为：，． 题型六、图象法确定一元二次方程的近似根 26．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 27．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：令， 当时，， 当时，， 当时，的图像与轴有一个交点， 方程有一个解的范围是． 故选：C． 28．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∵函数的对称轴为直线， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 29．如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【答案】3 【解析】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 30．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【答案】或 【解析】解：∵，， ∴根据函数的连续性可得在之间，存在一个数，使得， ∵和的函数值相等， ∴对称轴为：， ∴根据对称性可得：在之间，也存在一个数，使得， ∴一元二次方程的解的范围是或， 故答案为：或． 题型七、图象法解一元二次不等式 31．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴直线与抛物线交于点，两点， 图象如图所示， 当时，， ∴的解集是， 故选：D． 32．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 33．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 34．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或 【解析】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 题型八、利用不等式求自变量或函数值的范围 36．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】解：二次函数为实数的图象与x轴有交点， ∴， ∴或， ∴或， ∵点是该函数图象与轴的一个交点，且，且二次函数的开口向下， ∴，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，或． 故选：C． 37．已知，是二次函数的图象上的两点，若，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵二次函数图象的对称轴为，且， ∴二次函数的图象开口向下． ∵，且， ∴，且． ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 38．对于任意的未知数都满足，其中为常数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 函数的图象开口向上， 不等式恒成立的条件是， ． 解得． 故选：A． 39．已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图， 由直线得，当时，，当时，， ∵抛物线与直线在之间有个公共点， ∴， 解得：， 故选：． 40．已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】解：∵图象过点，对称轴为直线，且， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， 由二次函数图象性质可知， 当函数值时， 自变量x的取值范围是． 故选：D． 题型九、根据交点确定不等式的解集 41．已知二次函数的图象如图所示．当时，自变量的取值范围是（   ）    A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】解：由图象可得，当时，自变量的取值范围是， 故选：A． 42．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】解：二次函数图象位于x轴下方时，所对应的x的取值范围为． 故选：D． 43．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， 上式表示二次函数的图象位于一次函数的图象下方， 观察图象知，， 即不等式的解集为， 故选：C． 44．如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为 ． 【答案】或 【解析】解：由图象可得，当时，抛物线的函数图像在直线的函数图像的上方，所以自变量的取值范围为或． 故答案为：或． 45．已知函数的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵函数的对称轴为，抛物线和x轴的一个交点坐标为， ∴根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点的坐标为， ∴根据函数图象可得，若，则x的取值范围是． 故答案为：． 1．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴当时，， ∵当时，， ∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ∴，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当时，，且当时，， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， ∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴当时，的符号不确定，即的符号不确定， ∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D． 2．（2025·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：开口向下，， 对称轴在轴的右侧，、异号，则， 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴，所以①正确； 当时，，即， 即，所以②不正确； 因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点在和之间， 则时，， 即，所以③正确； 因为对称轴为直线，则，而， 则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值； 当时，， 则， 即，所以⑤错误． 故①③④正确，共3个． 故选：C． 3．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【解析】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①错误； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2025·四川·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 8．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：∵抛物线过点和（）， ∴设抛物线为， ∴， ∴，， ∵且， ∴，， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，结论②错误； 由题意，第一种情况，若， ∵对称轴直线， ∴对称点的横坐标为， ∴两点间的横向距离为， ∵， ∴，即， 第二种情况，若， ，故结论③错误； 当时，方程的根为和， 即， ∵， ∴不等式的解集为，结论④正确． 综上，正确结论为①④，共2个， 故选：B． 9．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 10．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值． (2)当点在线段上时，求的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个． 【答案】(1)， (2) (3)2，0，4，无数 【解析】（1）解：对于二次函数，当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点， ∴， 解得： ∴，； （2）解：∵，， ∴二次函数解析式为， ∵直线与轴垂直， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴当时，取得最大值为； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点， ∵， 设直线表达式为：， 代入点， 则， 解得：， ∴直线表达式为， ∴， ∴，， ∵， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 即， 同理可得， ∴当时，， 整理得：， ∴或， 对于，； 对于，， ∴当时，对应的t值有2个； 当时，，方程无解， ∴对应的t值有0个； 当时， 整理得：， ∴或， 对于方程，， 对于方程，， ∴当时，对应的t值有4个； 当时， ∵，， ∴始终成立， ∴当且时，始终成立， ∴当时，对应的t值有无数个， 故答案为：2，0，4，无数． 1 / 14 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