精品解析：重庆市长寿川维中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋期川维中学教育集团联合考试 九年级数学期中试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．答第1至10题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第11至26题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出最符合题意的选项，并在答题卡上将该项涂黑． 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：8的相反数是， 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形：一个图形如果沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键． 3. 点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（  ） A. （2，1） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （﹣2，﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（-1，-2）， 故选B． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 4. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，当时，是一元二次方程，不符合题意； B. 化简为，最高次数是1，不是2次，不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，不是整式方程，不符合题意． 故选：C． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求法，根据抛物线顶点式的顶点坐标为 ，直接求解即可． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为； 故选：D． 6. 如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使三点共线，那么旋转角度的大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线可得，再根据等腰直角三角板的性质得，即可求出旋转角度的大小． 【详解】∵三点共线 ∴ ∵这是一块等腰直角的三角板 ∴ ∴ 故旋转角度的大小为135° 故答案为：D． 【点睛】本题考查了三角板的旋转问题，掌握等腰直角三角板的性质、旋转的性质是解题的关键． 7. 某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个，根据利润=每个的利润×销售量即可列出方程． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个， 根据题意可得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题关键． 8. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑥个图中●的个数为（ ） A. 34 B. 36 C. 40 D. 43 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为．根据已知图形得出图n中点的个数为，据此可得． 【详解】解：因为图①中点的个数为， 图②中点的个数为， 图③中点的个数为， 图④中点的个数为， …… 图n中点的个数为， 所以图⑥中点的个数为， 故选：A． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，分当时，当时两种情况；先确定一次函数经过的象限，再确定二次函数的开口方向，看是否一致即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于，故A符合题意，B、D不符合题； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于，故C不符合题意； 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】①由开口方向、与轴的交点在负半轴，对称轴在轴的右侧，即可判断；②设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为，由对称的性质得，由图得：，即可判断；③由对称轴性质得，由开口方向向上时距离对称轴越远的点对应的函数值较大，即可判断；④由对称轴是直线；可求，由图得：当时，，即可判断；⑤由对称轴是直线，，可得，即可判断． 【详解】解：①抛物线开口向上， ， 与轴的交点在负半轴， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 故①错误，不符合题意； ②设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为， 对称轴是直线， ， 由图得：， ， ， 故②正确，符合题意； ③对称轴是直线， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ④对称轴是直线； ， ， 由图得：当时，， ， ， ， ， 故④正确，符合题意； ⑤对称轴是直线，， ， 当时，， ， ， 故⑤正确，符合题意； 综上所述：正确的序号为②④⑤，共个； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的系数符号特征及其性质进行，掌握二次函数的基本性质及系数符号判断方法是解题的关键． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 关于x的方程的一根为3，则另一根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设这个一元二次方程的另一根为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可求解． 【详解】解：设这个一元二次方程的另一根为， ∵关于的方程的一根为3， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 抛物线的对称轴为直线____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数对称轴公式代入数值进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴把，代入，得， ∴对称轴为直线 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握图形旋转不变性的性质是解题的关键． 先根据直角三角形的性质求出的长，再由旋转的性质得出，，根据勾股定理即可得出结论。 【详解】在Rt△ABC中，，， ， 将△ABC绕点A顺时针旋转得到， ，， 故答案为： 14. 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键． 15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系求出函数式子是解题的关键． 建立平面直角坐标系求出函数式子，再代入数据运算求解即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点， 如图所示： 则通过画图可得知为原点，则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点,可知， ∴，， 由图可得：抛物线顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴此时水面宽度为， ∴比原先的宽度增加了， 故答案为：． 16. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 【答案】 ①. 6200 ②. 9313 【解析】 【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解． 【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200； 根据题意，，，，，则， ∴， ∴， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被10整除， ∴， ∴满足条件的M的最大值为9313， 故答案为：6200，9313． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题每小题8分，19至25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，； （2） ，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，常用的解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法． 用直接开平方法解一元二次方程即可； 用分解因式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 两边直接开平方得：， 可得：或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，． 18. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出，使它与是关于原点O的中心对称： （2）将绕点A逆时针旋转得到． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，中心对称变换， （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 八年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1）88；87；40 （2） 解：八年级学生数学文化知识较好，理由如下： ∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高， ∴八年级学生数学文化知识较好； （3）310人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等： （1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出把年级A组的人数，进而可求出m的值； （2）根据八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高即可得到结论； （3）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级C组的人数为人，而八年级B组有4人，则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分， ∴八年级学生成绩的中位数； ∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多， ∴七年级的众数； 由题意得，， ∴； 故答案为：88；87；40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有310人． 20. 先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0． 【答案】；1． 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再将x2=x+1代入即可． 【详解】解：原式=× =× =， ∵x2﹣x﹣1=0， ∴x2=x+1， ∴==1． 21. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？ 【答案】（1）围成矩形长为30m，宽为25 m时，能使矩形面积为750㎡． （2）不能．理由如下： 由得． ∵， ∴方程没有实数根． ∴不能使所围矩形场地的面积为810m2． 【解析】 【分析】（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解； （2）假使矩形面积为810米，则方程无实数根，所以不能围成矩形场地． 【详解】解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米． 依题意，得，即. 解此方程，得x1=30，x2=50. ∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去． 当x=30时，. 答：当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2． （2）略 【点睛】本题考查：1.一元二次方程的应用（几何问题）；2. 矩形的性质；3.一元二次方程根的判别式. 22. 如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意确定函数关系式，运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，顶点坐标为，设石弹运行的函数关系式为， 将点坐标代入求解即可； （2）分别令和，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得，，顶点坐标为， 设石弹运行的函数关系式为， 把代入得：， 解得 ， 石弹运行的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， （舍去）， 当时，， 解得， （舍去）， 的取值范围是 ． 23. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论． 【详解】（1）根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：，， ∵每件利润不能超过60元， ∴， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 答：当为20时最大，最大值是2400元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 24. 如图，抛物线（≠0）与轴交于A(-4，0)，B（2，0），与轴交于点C（0，2）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积； 【答案】(1)y=﹣x2﹣x+2；(2)S△ADC的最大值为2，此时D（﹣2，2）． 【解析】 【分析】（1）根据A与B坐标设出抛物线解析式，将C坐标代入即可求出； （2）过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，利用待定系数法求出直线AC解析式，设D横坐标为m，则有G横坐标也为m，表示出DH与GH，由DH-GH表示出DG，三角形ADC面积=三角形ADG面积+三角形DGC面积，表示出面积与m的关系式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时m的值，即此时D的坐标即可． 【详解】(1)根据题意设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2）， 把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2； (2)过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示， 设直线AC解析式为y=kx+t，则有 ， 解得：， ∴直线AC解析式为y=x+2， 设点D的横坐标为m，则G横坐标也为m， ∴DH=﹣m2﹣m+2，GH=m+2， ∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m， ∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DG•AH+DG•OH=DG•AO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣（m2+4m）=﹣[（m+2）2﹣4]=﹣（m+2）2+2， 当m=﹣2时，S△ADC取得最大值2，此时yD=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 25. （1）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P． ①求证：． ②连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？并加以证明； （2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】 （1）①证明：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：结论：， 理由：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）①由与都是等腰直角三角形，证明，可得，再利用三角形的内角和定理证明即可； ②在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论； （2）在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：结论： 理由：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期川维中学教育集团联合考试 九年级数学期中试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．答第1至10题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第11至26题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出最符合题意的选项，并在答题卡上将该项涂黑． 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 2. 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（  ） A. （2，1） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （﹣2，﹣1） 4. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使三点共线，那么旋转角度的大小为(　　) A. B. C. D. 7. 某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑥个图中●的个数为（ ） A. 34 B. 36 C. 40 D. 43 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 关于x的方程的一根为3，则另一根为_________． 12. 抛物线的对称轴为直线____________ 13. 如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到，则________． 14. 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________． 15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 16. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题每小题8分，19至25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出，使它与是关于原点O的中心对称： （2）将绕点A逆时针旋转得到． 19. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 八年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0． 21. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？ 22. 如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 23. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 24. 如图，抛物线（≠0）与轴交于A(-4，0)，B（2，0），与轴交于点C（0，2）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积； 25. （1）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P． ①求证：． ②连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？并加以证明； （2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $