精品解析：广西壮族自治区柳州市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季学期九年级（期中）教学质量监测试题 数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，选错、多选或未选均不得分．） 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键； 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意，故此选项错误； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意，故此选项正确； 故选：D． 2. 将方程化成一般形式后，常数项是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，常数项即为，即可得解，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴一般形式为，常数项为， 故选：C． 3. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的识别，根据二次函数的定义：形如进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数的标准形式为， A：，最高次项为一次，∴不是二次函数，不符合题意； B：，最高次项为二次，∴是二次函数，符合题意； C：，是分式函数，∴不是二次函数，不符合题意； D：，含根号，∴不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 4. 已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系：圆心到直线距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．将圆心到直线距离与半径比较，即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为4，， ∴直线L与的位置关系是相离， 故选：C． 5. 如图，点A，B，C为上的三个点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；分别计算每个选项的判别式，逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、中，，，故，无实数根； B、中，，，故，有两个实数根； C、中，，，故，有两个实数根。 D、中，，，，有两个相等实数根； 故选：A． 7. 将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】抛物线y=x2向左平移1个单位得到, 故选B. 8. 如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（ ） A. 分米 B. 分米 C. 2分米 D. 3分米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故选：C． 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故选：B． 10. 把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，用除以3计算即可． 【详解】解：∵， ∴旋转的角度是的整数倍， ∴旋转的角度至少是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解答本题的关键． 11. 古埃及《林德纸草书》中记载了大量关于比例和增长的计算．某古埃及部落第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，若每年粮食储存量的增长率相同，设该增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该增长率为x，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该增长率为x，依题意得： ， 故选：B． 12. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， 故②正确； ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根， 故③正确； ∵时，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故④正确， 故选：D 【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 14. 抛物线的对称轴是直线____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据顶点式可求得答案． 【详解】解：∵ ∴对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为,顶点坐标为． 15. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，常数项为0即，且有一个根为，因此可构造一个以和为根的一元二次方程。 【详解】解：设一元二次方程为， 由题意，常数项，故方程为， 由于有一个根为，代入方程得，即， 整理得，即， 取，则，因此方程为， 故答案为：． 16. 实验班限制 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则旋转角为_________°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．先结合平移的性质得，根据旋转性质得，运用有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形，得是等边三角形，即，进行作答． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即旋转角为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）若m是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义及其解法． （1）把方程化为，再进一步求解即可． （2）由方程根的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得：，． （2）∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 18. 柳州窑埠古镇计划用长32米的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形的螺蛳粉主题小吃摊位（墙的长度为18米），要求围成的摊位面积为120平方米，求这个矩形摊位垂直于墙的边长为多少米？ 【答案】这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意得， 整理得， 解得，． 当时，平行于墙的边长为米米（不符合实际，舍去）； 当时，平行于墙的边长为米米（符合实际）． 答：这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米． 19. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系． 【答案】（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2） 【解析】 【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，②按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论． 【详解】解：（1）作出线段的垂直平分线，连接； 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）结论：．理由如下： 由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 20. 某直播间销售网红手工糕点，成本为5元/份，销售价格不高于20元/份，每销售1份需向平台支付2元服务费．每日销售量y（份）与销售价格x（元/份）的函数关系为．解答： （1）求日总利润W与销售价格x的函数关系式； （2）当销售价格定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售价格定为13.5元时，日获利最大，最大利润为845元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据日总利润（销售价格成本服务费）销售数量即可得解； （2）根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵ ∴W与x的函数关系式；； 【小问2详解】 解：由（1）得 ∵， ∴当时，日获利最大，最大利润为845元， 答：当销售价格定为13.5元时，日获利最大，最大利润为845元． 21. 如图，四边形内接于，是直径，平分，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径长为4，长为7，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的切线的判定方法，等腰三角形的性质，圆周角定理． （1）连接，先根据角平分线和等腰三角形得到，那么，即可证明； （2）先由圆周角定理得到，在中由勾股定理求解，再证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴. 在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 22. 综合与实践：某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为，高为． 【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值，将会给人带来更美的视觉效果． 【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个新的灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为，它的口径等于高的倍． 【问题解决】 （1）请用含有h的式子表示新灯罩的口径； （2）把原灯罩的垂直截面图抽象为如图2所示的抛物线，并建立平面直角坐标系，抛物线顶点为原点，由题知，，请求出点的坐标，并求出抛物线的解析式； （3）在（1）和（2）的条件下，求新灯罩的模型高度的值． 【答案】（1）灯罩的口径为 （2）， （3）灯罩的高度的值为25 【解析】 【分析】本题考查列代数式，求二次函数的解析式，二次函数的应用． （1）根据“灯罩的高度为，它的口径等于高的倍”，即可求解； （2）设抛物线的解析式为，根据题意得点的坐标，代入，可得，即可得抛物线的解析式； （3）根据题意可得，为上一点，代入计算，即可得新灯罩的模型高度的值． 【小问1详解】 解：根据题意可知，灯罩的口径为. 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为（）. ∵，， ∴， ∴， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：∵灯罩的抛物线形状不变，则. 由题意知，，. ∴. ∴， 代入得， 解得（舍去）或， ∴灯罩的高度h的值为25． 23. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【小问1详解】 解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图： 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级（期中）教学质量监测试题 数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，选错、多选或未选均不得分．） 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化成一般形式后，常数项是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 5. 如图，点A，B，C为上的三个点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（ ） A. 分米 B. 分米 C. 2分米 D. 3分米 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ） A. B. C. D. 11. 古埃及《林德纸草书》中记载了大量关于比例和增长的计算．某古埃及部落第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，若每年粮食储存量的增长率相同，设该增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 14. 抛物线的对称轴是直线____________. 15. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 16. 实验班限制 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则旋转角为_________°． 三、解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）若m是一元二次方程的一个根，求的值． 18. 柳州窑埠古镇计划用长32米的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形的螺蛳粉主题小吃摊位（墙的长度为18米），要求围成的摊位面积为120平方米，求这个矩形摊位垂直于墙的边长为多少米？ 19. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系． 20. 某直播间销售网红手工糕点，成本为5元/份，销售价格不高于20元/份，每销售1份需向平台支付2元服务费．每日销售量y（份）与销售价格x（元/份）的函数关系为．解答： （1）求日总利润W与销售价格x的函数关系式； （2）当销售价格定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？ 21. 如图，四边形内接于，是直径，平分，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径长为4，长为7，求的长． 22. 综合与实践：某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为，高为． 【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值，将会给人带来更美的视觉效果． 【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个新的灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为，它的口径等于高的倍． 【问题解决】 （1）请用含有h的式子表示新灯罩的口径； （2）把原灯罩的垂直截面图抽象为如图2所示的抛物线，并建立平面直角坐标系，抛物线顶点为原点，由题知，，请求出点的坐标，并求出抛物线的解析式； （3）在（1）和（2）的条件下，求新灯罩的模型高度的值． 23. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $