精品解析：吉林长春市二道区东北师范大学附属实验学校（经开）2026-2027学年上学期九年级学情自测数学试题

东北师范大学附属实验学校（经开）2026—2027学年度第一学期九年级数学学科 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，则点M的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 众多选手在参加“中国诗词大会第四季”的比赛过程中，有7个选手的得分如下：126，110，132，91，92，86，91，这组数据的中位数和众数分别是 A. 91，92 B. 92，86 C. 92，91 D. 91，104 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( ) A. B. C. 或 D. 7. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知点和点均在反比例函数是常数，的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 无法确定的正负 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 10. 计算：______． 11. 已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点(-6，2)，那么此一次函数的表达式为_____________． 12. 如图，在中，．于点，．是斜边的中点，则______． 13. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 14. 如图，在中，两条中线、相交于点O，已知的面积是3，则的面积是________． 三、解答题（共78分） 15. 计算 （1） （2） （3） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； （2）直接写出点的坐标为________，的长为________． 17. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 18. 如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． （1）求证：； （2）若，，，则直接写出CD的长为________． 19. 为了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表： 调查结果统计表 组别 分组（元） 频数 请根据以上图表，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是________，________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）该校共有人，请估计每月零花钱的数额在范围的人数． 20. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 21. 世界上大部分国家都使用摄氏温度（），但仍有一些国家和地区使用华氏温度（°F）.两种计量之间有如下对应： 摄氏温度（） 0 10 20 30 40 50 华氏温度（） 32 50 68 86 104 122 （1）在平面直角坐标系中描出相应的点． （2）观察这些点发现，这些点是否在一条直线上，如果在一条直线上，求这条直线所对应的函数表达式． （3）求华氏0度时所对应的摄氏温度． （4）华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果有；请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由． 22. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 如图，在中，点D、E分别是与的中点．根据画出的图形， 可以猜想： ，且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明 （1）结合图（1），请写出完整证明过程． 结论应用： 如图（2）在四边形中，、点P是对角线的中点，M是中点，N是中点． （2）求证：； 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象记作G（其中m为常数，且m≠0），点M坐标为，点N坐标为（3，1）． （1）当图象过点N时，求m的值． （2）在（1）的条件下． ①在给定的平面直角坐标系内画出图象G． ②当时，求函数值y的最大值和最小值． （3）当图象G与线段MN只有一个交点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学附属实验学校（经开）2026—2027学年度第一学期九年级数学学科 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，则点M的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限点的横纵坐标符号规律解题． 【详解】解：平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标特征为：横坐标小于，纵坐标大于， ∵，，故只有选项B符合题意． 2. 如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 3. 众多选手在参加“中国诗词大会第四季”的比赛过程中，有7个选手的得分如下：126，110，132，91，92，86，91，这组数据的中位数和众数分别是 A. 91，92 B. 92，86 C. 92，91 D. 91，104 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、中位数的定义求解即可 【详解】这组数据按顺序排列为：86，91，91，92，110，126，132， 故众数为：91， 中位数为：92. 故选C. 【点睛】此题考查众数、中位数，难度不大 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则以及相关运算逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 5. 如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( ) A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可． 【详解】解：∵直线和与x轴分别交于点，点， ∴解集为， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大． 7. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 8. 已知点和点均在反比例函数是常数，的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 无法确定的正负 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数图象的性质．根据题意得到，则，进一步分析即可即可得到答案． 【详解】解：∵点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上， ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】将原式中每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：． 11. 已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点(-6，2)，那么此一次函数的表达式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设此一次函数的解析式为y=kx+b，根据互相平行的两条直线的斜率相等可得k=-1，把（-6，2）代入y=kx+b可求出b的值，即可得答案． 【详解】设此一次函数的解析式为y=kx+b， ∵此一次函数的图象与直线y=-x+1平行， ∴k=-1， ∵此一次函数过点(-6，2)， ∴2=-（-6）+b， 解得：b=-4， ∴此一次函数的解析式为y=-x-4， 故答案为：y=-x-4 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求一次函数解析式，熟记互相平行的两条直线的斜率相等是解题关键． 12. 如图，在中，．于点，．是斜边的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，等边对等角，根据角的倍数和和差关系求出的度数，进而求出的度数，斜边上的中线，得到，得到，再根据角的和差关系，进行计算即可． 【详解】解：∵，，是斜边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 14. 如图，在中，两条中线、相交于点O，已知的面积是3，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵在中，两条中线、相交于点O， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是3， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 三、解答题（共78分） 15. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）原方程无实数解 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 两边同乘去分母得， 展开得， 整理得， ∵， ∴整式方程无实数解， 综上所述，原方程无实数解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； （2）直接写出点的坐标为________，的长为________． 【答案】（1）如图所示即为所求 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）原点为位似中心放大2倍，坐标同乘2；再利用网格中的水平、竖直线段，借助勾股定理求出两点间线段长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵ 以原点为位似中心，放大为原来的倍，在第二象限， ∴ 对应点坐标为原坐标乘． ∵， ，． 根据勾股定理得 ． 17. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 【小问1详解】 解：设 则： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 18. 如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． （1）求证：； （2）若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】（1）证明：， ． ， 又， ． 又， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解： ， ， ，，， ． ． ． 19. 为了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表： 调查结果统计表 组别 分组（元） 频数 请根据以上图表，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是________，________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）该校共有人，请估计每月零花钱的数额在范围的人数． 【答案】（1）、、； （2）补全频数直方图如下： （3）人 【解析】 【分析】（1）根据C组频数及其所占百分比可得总人数，总人数减去其他各组人数即可求得B组人数，再用A组人数除以总人数可得的值； （2）根据以上所求结果即可补全直方图； （3）总人数乘以样本中B、C组人数之和所占比例即可求解． 【小问1详解】 这次调查的样本容量是， 则，，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 估计每月零花钱的数额在范围的人数为人． 20. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 21. 世界上大部分国家都使用摄氏温度（），但仍有一些国家和地区使用华氏温度（°F）.两种计量之间有如下对应： 摄氏温度（） 0 10 20 30 40 50 华氏温度（） 32 50 68 86 104 122 （1）在平面直角坐标系中描出相应的点． （2）观察这些点发现，这些点是否在一条直线上，如果在一条直线上，求这条直线所对应的函数表达式． （3）求华氏0度时所对应的摄氏温度． （4）华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果有；请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由． 【答案】 （1）如图. （2）； （3）；（4）有，华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值相等时，摄氏温度为 【解析】 【分析】（1）根据表中数据描点即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）令，求出x的值即可； （4）令，解方程即可． 【详解】解：（1）略 （2）这些点在一条直线上. 设这条直线所对应的函数表达式为. 将、代入， 得，解得. ∴这条直线所对应的函数表达式为； （3）令，得.解得 （4）有相等的可能， 令.解得. 所以华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值相等时，摄氏温度为. 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键． 22. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 如图，在中，点D、E分别是与的中点．根据画出的图形， 可以猜想： ，且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明 （1）结合图（1），请写出完整证明过程． 结论应用： 如图（2）在四边形中，、点P是对角线的中点，M是中点，N是中点． （2）求证：； 【答案】（1）证明：延长至点，使，连接， ∵点分别是的边与的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴且； （2）证明：、为、中点， ， 、为、中点， ， 又， ， ； 【解析】 【分析】（1）延长至点，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由（1）中结论得到及，再由进而得到，由此即可证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象记作G（其中m为常数，且m≠0），点M坐标为，点N坐标为（3，1）． （1）当图象过点N时，求m的值． （2）在（1）的条件下． ①在给定的平面直角坐标系内画出图象G． ②当时，求函数值y的最大值和最小值． （3）当图象G与线段MN只有一个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）①见解析；②函数y的最大值是8，最小值是－5； （3）m的取值范围为：或或． 【解析】 【分析】（1）把N（3，1）代入即可求出m； （2）①根据可得函数y的解析式，然后根据函数解析式画出函数图象即可； ②根据函数图象得出答案即可； （3）分情况讨论：①当m＞0，函数与线段MN有交点时，②当m＜0，函数与线段MN有交点时，③当m＜0，函数与线段MN没有交点时，分别函数图象与线段MN有无交点得出m的不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：把N（3，1）代入得：， 解得：； 【小问2详解】 ①∵， ∴函数， 图象G如图： ②由函数图象可知，当时，函数y的最大值是8，最小值是－5； 【小问3详解】 分情况讨论： ①当m＞0时，函数不可能与线段MN有交点， 则需满足函数与线段MN有交点， ∴； ②当m＜0，且函数与线段MN有交点时， 把x＝－2代入得：， 则， 解得：， ∵此时函数与线段MN没有交点， 把x＝3代入得：， 则， 解得：， ∴函数与线段MN有交点，函数与线段MN没有交点时，； ③当m＜0，且函数与线段MN没有交点时， 把x＝－2代入得：， 则， 解得：， 此时函数与线段MN有交点， 把x＝3代入得：， 则， 解得：， ∴函数与线段MN没有交点，函数与线段MN有交点时，； 综上所述，当图象G与线段MN只有一个交点时，m的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特点，画一次函数图象，根据函数图象求函数值的取值范围以及一次函数图象的交点问题，熟练掌握数形结合思想的应用是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $