专题03 全等三角形（期末真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题03 全等三角形 6大高频考点概览 考点01 添加条件使两个三角形全等 考点02 全等三角形的性质 考点03 简单的全等判定 考点04 需要二次判定全等的问题 考点05 角平分线性质与判定 考点06 全等三角形中的动点问题 地 城 考点01 添加条件使两个三角形全等 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，点E，F在上，，请添加一个 ，使 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知中，，，现有以下这些条件：①；②；③；④．要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 地 城 考点02 全等三角形的性质 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，的面积等于．根据作图痕迹，计算出的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）若，且的周长为20，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．9 D．5或9 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，边 B′C′过点 A 且平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，则∠C′的度数为（ ） A．60° B．45° C．43° D．34° 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，B，D，E，C四点共线，且，若，则 ． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若点在轴上，则点的坐标是 ． 地 城 考点03 简单的全等判定 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 2．（24-25八年级上·福建·期末）如图，点A，B，D在同一条直线上，，，．求证：． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在和中，延长交于点，，，，求证：． 地 城 考点04 需要二次判定全等的问题 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 2、 解答题 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 4．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，以为边向上作，点为边上一点，连接，且，求证：． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． (1)求，两点的坐标； (2)如图，为上一点，连接，过点作交于点，连接．若，求点D的坐标； 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图．于于，延长交的延长线于点，连接． (1)试判断，，的数量关系．并说明理由； (2)若，求的度数． 7．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，点，分别在、上，，，与相交于点，求证：． 地 城 考点05 角平分线的性质与判定 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ） A．30 B．15 C． D． 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，直线、交于点O，于点E，于点F，若，且，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，是的角平分线，，，，则的面积是 ． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，平分交于点于点E，且的周长为，则 ． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 3、 解答题 7．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，已知，，于M，于N，求证：． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 9．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 地 城 考点06 全等三角形中的动点问题 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（    ）时，． A．5 B．7 C．12 D．17 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发，以秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动 秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等． 三、解答题 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形 6大高频考点概览 考点01 添加条件使两个三角形全等 考点02 全等三角形的性质 考点03 简单的全等判定 考点04 需要二次判定全等的问题 考点05 角平分线性质与判定 考点06 全等三角形中的动点问题 地 城 考点01 添加条件使两个三角形全等 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A．由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C．由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A.根据，，，无法判定， 该选项符合题意； B.∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； C. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； D. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．根据条件和图形可得，，再结合每个选项所给条件利用三角形判定定理逐一进行判断即可． 【详解】解：根据条件和图形可得，， A、添加不能判定，故此选项符合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； D、添加可利用定理判定，故此选项不合题意． 故选：A． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，点E，F在上，，请添加一个 ，使 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据已知条件中的一边一角，再添加一组对应角相等即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴再添加，根据“角角边”就能证明． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知中，，，现有以下这些条件：①；②；③；④．要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】此题考查了全等三角形判定和三角形内角和定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：边是的对边， 当，时，再知道或的度数，根据就可确定的形状和大小， ，， 或必须小于， 要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是， 故答案为：①②③． 三、解答题 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 地 城 考点02 全等三角形的性质 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，的面积等于．根据作图痕迹，计算出的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质得到，得到，得到，根据，得到，得到，得到． 本题主要考查了线段垂直平分线，平行四边形，三角形面积．熟练掌握线段垂直平分线性质，平行四边形性质，等高三角形面积比等于底边比，是解决问题的关键． 【详解】由作图知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中心对称图形，对称中心是点O， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）若，且的周长为20，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．9 D．5或9 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质分别求出、，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵，且的周长为20， ∴的周长为， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，边 B′C′过点 A 且平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，则∠C′的度数为（ ） A．60° B．45° C．43° D．34° 【答案】C 【分析】根据△ABC≌△A′B′C′，可得∠C′=∠C，再由三角形的内角和定理可得∠BAD=55°，从而得到∠BAC=2∠BAD=110°，进而得到∠C=43°，即可求解． 【详解】解∶∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C′=∠C， ∵∠CDB′＝98°， ∴∠ADB=98°， ∵∠B＝27°， ∴∠BAD=55°， ∵B′C′过点 A 且平分∠BAC 交 BC 于点 D， ∴∠BAC=2∠BAD=110°， ∴∠C=180°-∠BAD-∠B=43°，即∠C′=43°． 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，B，D，E，C四点共线，且，若，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， B，D，E，C四点共线， ， ， 故答案为：20． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质和点的坐标得出，，即可得出答案． 本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出，， 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 地 城 考点03 简单的全等判定 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意得出，进而根据证明． 【详解】证明：， ，即， 在和中， 2．（24-25八年级上·福建·期末）如图，点A，B，D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．利用平行线的性质求得，再利用证明，即可求证． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， （2）解：由（）得：， ∴， ∵，， ∴． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ， ∴； （2）解：在中， ∵， ， 由（1）可知， 5．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 先由于D，于E，得到，再利用AAS证即可． 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在和中，延长交于点，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题主要考查了利用全等三角形的判定条件来证明两个三角形全等，准确分析条件并判断是解题的关键． 根据等量代换得到，证明，可得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 地 城 考点04 需要二次判定全等的问题 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质以及判定即可得到，则平分，即可判断①；可得，由，得到，同理可，即可判断②；由角平分线以及三角形外角性质得到，，即可判断③；由②可知，，则，，即可判断④． 【详解】解：①如答图，过点作于点， 平分平分，，，， ， ， 点在的平分线上，故①正确； ②， ， ． 在和中，， ∴， ， 同理可证得， ， ， ，②正确； ③平分平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确， 故选：D． 2、 解答题 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，以为边向上作，点为边上一点，连接，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、 等）是解题的关键． 要证明 ，可先证明，得到，再证明（或），从而得出 ． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，，， ， ． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． (1)求，两点的坐标； (2)如图，为上一点，连接，过点作交于点，连接．若，求点D的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、非负数的性质：算术平方根和绝对值，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得：且，则，即可求解； （2）证明和，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴且， ∴， 当时，， ∴； （2）解：如图，作的角平分线交于点G，设交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图．于于，延长交的延长线于点，连接． (1)试判断，，的数量关系．并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质； （1）过作交于，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到； （2）先求出，则，由（1）得，则． 【详解】（1）解：，理由如下： 过作交于，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 7．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，点，分别在、上，，，与相交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 证明，再证明，即可求解． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 地 城 考点05 角平分线的性质与判定 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ） A．30 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上中线， ∴， 故选：C． 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． 延长、交于点F，利用角平分线的定义和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明，从而得到． 【详解】解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，则. ∵， ， 又∵ ∴， ， 又∵，， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，直线、交于点O，于点E，于点F，若，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、同角的补角相等、角平分线的判定与性质． 根据平角的定义和四边形内角和为可得，，根据同角的补角相等可得，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知是的平分线，从而可求的度数. 【详解】解：根据平角的定义可知：， 在四边形中，， 于点，于点， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，是的角平分线，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形面积，如图，过点作于，根据角平分线的性质得，再根据三角形面积公式可得结论．解题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， 即的面积是． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，平分交于点于点E，且的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，得到的周长等于是解题的关键． 根据角平分线的性质可得，再利用“”证明可得，然后求出的周长等于即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， ∵的周长为， ∴． 故答案为． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3、 解答题 7．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，已知，，于M，于N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定证明进而即可得证． 【详解】证明：已知，，如图，连接， 在和中， ， 又于，于， ． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 9．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理， （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证； （）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 【详解】（1）证明：， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)的面积为4 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形内角和，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和即得； （2）过点作，，垂足为分别为F,，根据角平分线性质得到， ，，即得的面积． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ， 的度数为； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， 的面积 ， 故的面积为4． 地 城 考点06 全等三角形中的动点问题 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（    ）时，． A．5 B．7 C．12 D．17 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 要使，需要当时，计算得出． 【详解】解：，且 当时， 在和中， 、 ． 故选：B． 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发，以秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动 秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等． 【答案】0，2，6，8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，，这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 综上所述，当点E运动0，2，6，8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等 故答案为：0，2，6，8． 三、解答题 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)3或8 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）证明，即得出； （2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $