八年级数学上学期第二次月考·培优卷（湘教版2024，举一反三，测试范围：第1章 因式分解～第4章 三角形）

八年级数学上学期第二次月考·培优卷 【湘教版2024】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 因式分解~第4章 三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河北·期中）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小为倍 D．不变 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·天津·期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 6．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）化简：________． A．3 B． C． D．7 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 12．（24-25八年级上·广东广州·期末）从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． 13．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算：，若，则 ． 14．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给第一位同学，他完成第一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算，规则是每人只能看到前一人传过来的式子．在接力中，自己负责的式子出现错误的两位同学是 ． 15．如图，在中，最大内角，平分，于点E，若，则 ． 16．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2)． 18．（6分）（2025·河南郑州·模拟预测）（1）化简：； （2）解方程：． 19．（8分）为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 20．（8分）（24-25八年级下·四川达州·期中）【阅读材料】 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 【解决问题】 (1)分解因式利用公式法：； (2)求多项式的最大值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 21．（10分）（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）我们知道一个数的倒数是．学习了无理数后，我们要会求一个无理数的倒数． 例： 若，则 若，则 请你根据上述解答过程，解决如下问题： (1)填空：若，则___________；若，则___________． (2)计算： (3)比较与的大小，并说明理由． 22．（10分）（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 23．（12分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 24．（12分）（25-26八年级上·四川绵阳·期中）在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第二次月考·培优卷 【湘教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河北·期中）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小为倍 D．不变 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 将，都扩大3倍后，代入分式化简，与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：∵ 和都扩大3倍， ∴ 新分式为， ∴ 分式的值扩大3倍， 故选：B． 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 3．（25-26八年级上·天津·期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度和与较长线段的长度的大小关系，即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 4．若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【详解】解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 5．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线和面积的关系，解题的关键是：根据中线的性质逐步得出，，即可得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：D． 6．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）化简：________． A．3 B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意得，，则，据此即可化简二次根式． 【详解】解：由题意得，，则， ， 故选：A． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用． 利用平方差公式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， 则 ∴ ， 故选：A． 8．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，结合全等三角形的角度性质，推导的度数． 【详解】解：设小正方形的边长为，如图， ∵，，， ∴（）． ∴ ∴ ∴ 故答案为：A． 9．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵ 是等边三角形，是等腰三角形，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∴ 的周长． ∵ ， ∴的周长为． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：的公因式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式． 12．（24-25八年级上·广东广州·期末）从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给第一位同学，他完成第一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算，规则是每人只能看到前一人传过来的式子．在接力中，自己负责的式子出现错误的两位同学是 ． 【答案】小丽，小红 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，第一步小明的计算正确，第二步小丽的计算结果应该为，第三步小红按照小丽的计算结果所计算的结果为，第四步小亮按照小红的计算结果所计算的结果正确． 【详解】解： ， ∴观察解题过程可知小丽和小红的解题过程错误， 故答案为：小丽，小红． 15．如图，在中，最大内角，平分，于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和运算，与高有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再结合，得出，又因为平分，得出，最后由三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为： 16．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接，延长与交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到， 再次利用等腰三角形的性质得到：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解方法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）直接运用平方差公式即可解答； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（2025·河南郑州·模拟预测）（1）化简：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，熟练掌握解分式方程的步骤和分式的混合运算法则是解题的关键， （1）先算括号里的，最后进行分式的乘除运算即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程即可，注意检验． 【详解】（1）原式 ． （2）， 方程两边都乘，得， 去括号得：， 解得． 经检验，是原方程的根． 19．（8分）为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 【答案】(1)35天 (2)210000元 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该项工程的规定时间是天，根据“甲的工作量乙的工作量”列出分式方程，解方程即可； （2）求出甲、乙队合作完成所需的天数，再根据施工费用施工时间每天施工的费用列式计算即可． 【详解】（1）解：设该项工程的规定时间是天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该项工程的规定时间是35天； （2）解：甲、乙队合作完成所需的天数为：（天， 则该工程施工总费用（元， 答：该工程施工总费用是210000元． 20．（8分）（24-25八年级下·四川达州·期中）【阅读材料】 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 【解决问题】 (1)分解因式利用公式法：； (2)求多项式的最大值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后原式，因为，则，即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴ 多项式的最大值是； （3）解：， 即， ， ， ，，， ∴的周长为． 21．（10分）（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）我们知道一个数的倒数是．学习了无理数后，我们要会求一个无理数的倒数． 例： 若，则 若，则 请你根据上述解答过程，解决如下问题： (1)填空：若，则___________；若，则___________． (2)计算： (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)19 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，数字类规律，解题的关键是理解题意，找出规律，准确计算． （1）利用分母有理化的方法求解即可； （2）根据题中所给的等式，得，进行计算即可得； （3）根据,可得，即可得． 【详解】（1）解：若，则； 若，则； 故答案为：，； （2）解：原式= ； （3）解：，理由如下： 由题意得，，， ∵ ∴， ∴． 22．（10分）（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 23．（12分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，得到，推出是等边三角形，得到，平角求出，三角形的内角和定理推出，即可得证； （2）过点作，垂足为，旋转得到，等积法求出，进而得到是的角平分线，平行加上角平分线的定义，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：是旋转得到的图形， ，， 是等边三角形． ． ， ， ． ， ． （2）证明：过点作，垂足为． ， ， ． 是旋转得到的图形， ，． ． ． ． 是的角平分线， ． ， 是等腰三角形， ． 24．（12分）（25-26八年级上·四川绵阳·期中）在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论依然成立，说明见解析 【分析】本题考查了互余，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，，进而证明出，得到即可； （2）同（1）理可证，得到即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：（1）中的结论依然成立，说明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知． 在和中， ， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $