8.2立体图像的直观图课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦立体图形的直观图，核心讲解斜二测画法。通过回顾柱体、锥体等空间几何体结构特征，提出“用平面图形表示空间几何体”的问题，搭建从空间到平面的学习支架，自然引入直观图知识。 其亮点在于融入数学史（达芬奇、蒙日对斜二测画法的应用），以“横不变，纵减半，平行、重合不改变”口诀总结规律，例题从平面图形（正六边形）到空间几何体（长方体、圆柱）逐步深入。借助数学眼光感悟数学文化，数学思维构建逻辑步骤，助力学生发展空间观念与几何直观，教师可利用清晰结构和分层例题提升教学效率。

引入新课 前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识。 1 8.2 立体图形的直观图 第八章 立体几何初步 课堂引入 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同，在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。 3 引入新知 立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法． 1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变； 3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变． 投影规律 4 这种画法最初由莱奥纳多·达·芬奇使用在美术上面 详细而全面的使用是法国数学家蒙日在军事地图及军事 工事上的使用，一度被列为军事机密。19世纪初才全世 界公开 那他们究竟是怎么画的？ 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法 小知识             已知图形 直观图 平面图形的直观图 1.在已知图中建一个直角坐标系， 再建一个斜坐标系，使 轴与 轴成或     2.原图中与 轴平行的线段仍然与 轴平行，且长度不变     3.原图中与 轴平行的线段仍然与 轴平行，且长度减半     “横不变，纵减半，平行、重合不改变” 一. 斜二测法 有关结论： (1)角的直观图还是角； (2)原图中相等的角直观图中不一定相等； (3)相等的线段不一定再相等； (4)平行的线段仍平行. (1)在六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于O'，使∠x'Oy'=45°. 例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. 画法： （2）以O' 为中心，在x' 轴上取A'D'=AD，在y' 轴上取M'N'=½MN. 以点N'为中心，画B'C' 平行于x' 轴，并且等于BC；再以M' 为中心，画E'F' 平行于x' 轴并且等于EF. （3）连接A'B',C'D',E'F',F'A'，并擦去辅助线x' 轴和y' 轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'. 思考：用斜二测画法画可以将一个多边形水平放置。如图所示，若是一个圆，我们将其水平放置有什么办法？ 但生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.实际画图时，常使用椭圆模板。 【练习1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论 是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. （1）相等的线段在直观图中仍然相等. （ ） （2）平行的线段在直观图中仍然平行. （ ） （3）一个角的直观图仍是一个角. （ ） （4）相等的角在直观图中仍然相等. （ ） √ √ × × A B C D 直观图 A′ B′ C′ D′ 教材109页 11 教材109页 2. 用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）. （1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形. y x O y x O y x O y x O A C B D A B C A B C D A B C D E y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ A′ B′ C′ D′ E′ 【练习2】用斜二测画法画出水平放置的正三角形的直观图（尺寸自定） y x O A B C y′ x′ O′ A′ B′ C′ 思考 正三角形原图形与直观图的面积具有怎样的数量关系？ 结论： 13 1.一个平面图形用斜二测画法画出的水平放置的直观图是边长为1的正方形，则这个平面图形的面积为______. x' y' O' C' A' B' x y O C A B 练习： 例2 已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图. 3 1 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变. 画法： 1.5 注意：被遮住的线必须用虚线 1.5 1.5 B D C A' B' C' D' A 课堂典例 三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形，高为b，且顶点在底面上的投影是底面中心，画出这个三棱锥的直观图。 M z B C A S y O x B C A S A’ B’ C’ a O 17 ①画空间几何体的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取.为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示. ②斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线段的长度比. 斜二测画法画空间几何体的直观图的剖析 ③坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对称中心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上. ④要先画出底面的直观图，再画出其余各面. 18 【例3】已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图. 解：(1)画轴.如图，画x轴，z轴，使∠xOz=90°. (2)画下底面. 以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA=OB=1cm. 利用椭圆模板画椭圆，使其经过A、B两点. 这个椭圆就是圆柱的下底面. (3)画上底面. 在Oz上截取O'，使OO'=3cm. 过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'. 类似下底面的作法作出圆柱的上底面. (4)成图. 连接AA',BB'，整理得到圆柱的直观图. 19 O 圆锥 O 球 对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线. 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性． O 球 20 【例4】某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图. 解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图. 21 1. 用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图. D y x O z B C A' B' C' D' A B C A' B' C' D' A D 教材111页 x' y' O' z' A B C D E F A' B' C' D' E' F' 2. 用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图. 教材111页 教材111页 3. 一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心. 画出这个组合体的直观图. O O′ 正五棱锥的直观图的画法： x' y' O' z' A B C D E S z' y' x' O' 正三棱柱的直观图的画法： 课堂小结 空间几何体的直观图的作法: 斜二测画法：画多边形. 空间几何体的直观图的特点: 保持平行关系和竖直关系不变． 2. 保持水平长度和竖直长度不变； 3. 纵向长度取其一半． 课堂总结： 结论： 26 2.有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为______cm2. $