第16讲 对数（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第16讲 对数 【人教A版】 模块一 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【题型1 对数的概念】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2.3】（24-25高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 模块二 对数的运算 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型3 对数的运算性质的应用】 【例3】（2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A． B． C． D．2 【变式3.1】（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高一上·北京·开学考试）若，我们记，那么以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 运用换底公式化简计算】 【例4】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·全国·课前预习）求值： (1)； (2). 【变式4.3】（25-26高一上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【题型5 指、对数方程的求解】 【例5】（24-25高一·山东枣庄·课后作业）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【变式5.1】（25-26高一上·全国·单元测试）甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5.2】（2025高一·上海·专题练习）已知方程的两个实根分别为、，求的值. 【变式5.3】（24-25高一上·上海虹口·期中）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【题型6 带附加条件的指、对数问题】 【例6】（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高三上·吉林长春·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示，. （2）已知且，若，求的值. 【变式6.3】（25-26高一上·全国·单元测试）（1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 【题型7 运用换底公式证明恒等式】 【例7】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【变式7.2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【变式7.3】（24-25高一·江苏·课后作业）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明： （1）； （2）（，，）. 模块三 对数的实际应用 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【题型8 对数的实际应用】 【例8】（24-25高一下·四川南充·阶段练习）春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 【变式8.1】（2025·陕西·模拟预测）2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（   ）倍．（参考数据：） A．1.8 B．18 C．63 D．128 【变式8.2】（24-25高一上·江苏苏州·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 【变式8.3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）2024年10月，据某机构调查显示，小学高年级学生的近视率达到了，初中生的近视率达到了，高中学生的近视率达到了.视力的测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录表的数据的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（参考数据：） A．0.7 B．0.8 C．1.0 D．1.2 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 4．（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京·期中）计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．25 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·甘肃·阶段练习）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 8．（2025·宁夏·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（25-26高三上·广西·开学考试）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·山东·期末）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）设实数满足，则 ． 13．（25-26高一上·上海·期中）设，用表示为 ． 14．（24-25高一下·北京·期中）计算 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 16．（25-26高一上·湖南长沙·期中）求下列各式的值： (1)； (2)． 17．（25-26高一上·上海·期中）已知，． (1)当，求的值； (2)当时，用，表示． 18．（25-26高一上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 19．（2025高二·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 对数 【人教A版】 模块一 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【题型1 对数的概念】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【解答过程】由题. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【解答过程】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【解答过程】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求. 【解答过程】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D. 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数式和对数式的互化可得结果. 【解答过程】因为，所以，. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数的定义将指数化为对数. 【解答过程】因为（且），所以. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【解答过程】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 【变式2.3】（24-25高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【解答过程】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为； （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为； （3）根据指数式和对数式的关系，可化为； （4）根据指数式和对数式的关系，可化为. 模块二 对数的运算 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型3 对数的运算性质的应用】 【例3】（2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据对数的运算性质即可求解． 【解答过程】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 【变式3.1】（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解. 【解答过程】由，可得. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用指数式和对数式的互化以及对数的运算性质即可求解. 【解答过程】，则， 即. 故选：C. 【变式3.3】（25-26高一上·北京·开学考试）若，我们记，那么以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数式与指数式的等价转化，利用指数幂的运算公式，结合特殊值法举反例，可得答案. 【解答过程】对于A，设，则， 由，则，即，故A正确； 对于B，设，则，可得，故B正确； 对于C，设，则，即，可得，故C正确； 对于D，设，则，显然不成立，故D错误； 故选：D. 【题型4 运用换底公式化简计算】 【例4】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指数式与对数式的互化可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质化简可得结果. 【解答过程】因为，则，， 所以. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【解答过程】， ，. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一上·全国·课前预习）求值： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【解题思路】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）原式. （2）原式 . 【变式4.3】（25-26高一上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【解题思路】（1）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. （2）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. 【解答过程】（1）原式 ． （2）原式 . 【题型5 指、对数方程的求解】 【例5】（24-25高一·山东枣庄·课后作业）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【解题思路】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【解答过程】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 【变式5.1】（25-26高一上·全国·单元测试）甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】将原方程变形为，根据题意结合韦达定理求出，，进而求解方程即可. 【解答过程】原方程两边同时乘以，可变形为， ∵甲写错了b，得到两根为及，∴， 又∵乙写错了常数c，得到两根为及64，∴， ∴原方程为，即， ∴或，∴或8. 故选：C. 【变式5.2】（2025高一·上海·专题练习）已知方程的两个实根分别为、，求的值. 【答案】 【解题思路】设，可得方程的两根为、，进而结合韦达定理及对数的运算法则求解即可. 【解答过程】设，则方程的两根为、， 由韦达定理得，， 即. 【变式5.3】（24-25高一上·上海虹口·期中）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解题思路】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【解答过程】（1）∵ ∴ ∴； （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3）， 即， =①， 方程两边同乘x得：， 即②， 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求， 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求， 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即， 若是方程①的解，则，即， 则要使方程①有且仅有一个解，则， 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是. 【题型6 带附加条件的指、对数问题】 【例6】（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【解答过程】由题意有，， 所以， 故选：A. 【变式6.1】（25-26高三上·吉林长春·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得或，代入，即可化简求得结果. 【解答过程】由题知，， 则 ，可得或， 所以或， 若，又， 则，所以， 则或（舍去），，； 若，又， 则，所以， 则或（舍去）， 所以， 综上，. 故选：B. 【变式6.2】（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示，. （2）已知且，若，求的值. 【答案】（1），；（2） 【解题思路】（1）根据对数运算性质及换底公式计算可得结果. （2）结合指数幂的运算，由完全平方和公式及立方和公式计算即可. 【解答过程】（1）因为，，所以， . （2）对两边平方得，所以， 所以， 则. 【变式6.3】（25-26高一上·全国·单元测试）（1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）由对数的运算性质结合换底公式计算即可； （2）先根据所给条件求得的值，再代入计算即可. 【解答过程】（1） ； （2） 即， ，即． ，即， 或． 符合题意，舍去， ． 【题型7 运用换底公式证明恒等式】 【例7】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【解答过程】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 【变式7.2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【解答过程】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 【变式7.3】（24-25高一·江苏·课后作业）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明： （1）； （2）（，，）. 【答案】证明见解析 【解题思路】直接利用换底公式化简证明即可 【解答过程】证明：（1）因为a，b均为不等于1的正数， 所以左边右边， 所以； （2）因为a，b均为不等于1的正数，，，， 所以左边右边， 所以（，，）. 模块三 对数的实际应用 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【题型8 对数的实际应用】 【例8】（24-25高一下·四川南充·阶段练习）春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 【答案】A 【解题思路】分别将和代入，利用对数的运算法则，求出对应的值，作差即可得到答案. 【解答过程】静止时，即时，， 时，， 所以， 故选：A. 【变式8.1】（2025·陕西·模拟预测）2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（   ）倍．（参考数据：） A．1.8 B．18 C．63 D．128 【答案】C 【解题思路】根据题意可得，进而求出和时地震的最大振幅，进而求解即可. 【解答过程】由，则，即， 当时，地震最大振幅为， 当时，地震最大振幅为， 则. 故选：C. 【变式8.2】（24-25高一上·江苏苏州·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 【答案】B 【解题思路】先根据所给关系式分别表示出日本东北部海域地震和俄罗斯东南部地震释放的能量，再结合两者能量的倍数关系列出等式，最后通过对数运算求出俄罗斯东南部地震的震级. 【解答过程】设日本东北部海域发生的里氏9级地震释放的能量为， 俄罗斯东南部发生的地震震级为，释放的能量为. 对于日本东北部海域的9级地震有； 对于俄罗斯东南部的地震有. 因为日本东北部海域地震释放的能量是俄罗斯东南部地震的32000倍，即. 两边同时取对数可得，根据对数运算法则，. 又因为， 已知，所以. 将，，代入可得： ， 解得. 俄罗斯东南部地震震级大约是级. 故选：B. 【变式8.3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）2024年10月，据某机构调查显示，小学高年级学生的近视率达到了，初中生的近视率达到了，高中学生的近视率达到了.视力的测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录表的数据的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（参考数据：） A．0.7 B．0.8 C．1.0 D．1.2 【答案】B 【解题思路】根据对数的运算法则以及负分数指数幂求解即可. 【解答过程】因为，所以时，， 则. 故选：B. 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【解答过程】因为对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 所以有. 故选：C. 2．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先指数对数互化，再根据指数幂运算法则将进行变形，再结合已知条件进行计算. 【解答过程】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【解题思路】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【解答过程】由，得， 故， 故选：D. 4．（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【解答过程】由可得：. 则 . 故选：C. 5．（25-26高一上·北京·期中）计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．25 【答案】A 【解题思路】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得解. 【解答过程】 . 故选：A. 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数的运算性质和特殊值法判断即可. 【解答过程】对于A，取，，， ，， 则，故A错误； 对于B，取，，， ，， 则，故B错误； 对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确； 对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误； 故选：C. 7．（25-26高三上·甘肃·阶段练习）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【答案】B 【解题思路】直接代入数据求值即可. 【解答过程】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得. 故选：B. 8．（2025·宁夏·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案. 【解答过程】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【解题思路】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【解答过程】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD. 10．（25-26高三上·广西·开学考试）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据对数的运算依次判断选项即可. 【解答过程】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一上·山东·期末）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【解题思路】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【解答过程】，A选项错误； ，B选项正确； 若，，则，C选项正确； 若，则，所以，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）设实数满足，则 ． 【答案】 【解题思路】根据题意，利用指数式和对数式的互化公式，即可求解. 【解答过程】因为实数满足， 根据指数式与对数式的互化公式，可得. 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海·期中）设，用表示为 ． 【答案】 【解题思路】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】由， 得. 故答案为：. 14．（24-25高一下·北京·期中）计算 ． 【答案】 【解题思路】由对数的运算性质进行求解． 【解答过程】 ， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【解题思路】根据对数与指数的互化，结合指数的运算性质逐一求解； 【解答过程】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 16．（25-26高一上·湖南长沙·期中）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据幂的运算法则求值. （2）根据对数的运算法则求值. 【解答过程】（1）原式 . （2）原式 . 17．（25-26高一上·上海·期中）已知，． (1)当，求的值； (2)当时，用，表示． 【答案】(1); (2). 【解题思路】(1)利用对数的指对数运算性质，即可求解； (2)利用对数换底公式和同底对数的加减运算，即可求解. 【解答过程】（1）因为，， 所以，，且 又因为，所以， 则解得：或（舍去） 故当时， ； （2）由，可得，, 而. 18．（25-26高一上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）借助指数幂运算法则和对数运算法则计算求解即可； （2）结合指数幂的运算法则，借助完全平方公式计算即可求解； （3）先利用指对互化得，，然后借助对数换底公式计算即可求解. 【解答过程】（1） . （2）由，则，即， ，又，则，故， 故. （3）因为，，所以，， 所以. 19．（2025高二·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）、（2）利用对数法则计算出答案即可； （3）利用指数式化为对数式、换底公式进行化简即可. 【解答过程】（1） . （2） . （3）由，得， 由，得， 所以 ． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $