第17讲 对数函数（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第17讲 对数函数 【人教A版】 模块一 对数函数的概念 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【题型1 对数函数的判定】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据对数函数的定义，即可判断. 【解答过程】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【解答过程】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【解答过程】由解得或，又，且，所以 故选：B. 【变式1.3】（2025高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【解题思路】依据对数函数的定义即可判断. 【解答过程】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对数函数解析式求参即可. 【解答过程】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解题思路】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【解答过程】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【变式2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【解题思路】假设函数解析式，代入点可求得的值，将代入解析式即可求得结果. 【解答过程】设且， 过点，，即，解得：，， . 故答案为：. 【变式2.3】（24-25高一上·上海·课前预习）对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 【答案】 【解题思路】结合对数函数的定义即可得出. 【解答过程】设，由题意可得，解得. 所以此对数函数的表达式为. 故答案为：. 模块二 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 【例3】（24-25高一下·浙江·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由对数的真数大于0，即可得到正确答案. 【解答过程】根据对数的真数大于0，可知定义域为， 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【解答过程】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【解答过程】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 【题型4 对数式的大小比较】 【例4】（25-26高一上·云南昆明·期中）已知则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解. 【解答过程】因为， 又因为， ， 所以. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一上·广东深圳·期末）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数函数的性质进行比较即可. 【解答过程】，， ，. 故选：D. 【变式4.2】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助对数函数与指数函数单调性计算即可得． 【解答过程】，，则， ，故. 故选：A. 【变式4.3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的单调性，分别得出，，又，故可以得出大小关系. 【解答过程】由于， 所以，又， ，所以． 故选：C. 【题型5 解对数不等式】 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用对数函数的单调性可得答案. 【解答过程】由已知得， 解得. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集. 【解答过程】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 【变式5.2】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知且． (1)若，解关于的方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或. (2) 【解题思路】（1）利用对数运算将方程进行化简，然后将视作为整体，解方程即可； （2）根据函数单调性的情况，分情况讨论求解实数a的取值范围. 【解答过程】（1）时，， ， 方程，即，化简得， 所以或，解得或. （2）， ①当时，函数在上单调递减， 故，解得：，此时； ②当时，函数在上单调递增， 故，解得：， 综上可得的取值范围为. 【变式5.3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法解方程计算即可； （2）利用对数函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）∵函数的图象过原点， 又 即，解得， 所以的值为2，的值为﹣2． （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， 即不等式的解集为 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 【例6】（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解题思路】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【解答过程】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的定义域，分析该函数的奇偶性及在上的函数值符号，以及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】易知函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，排除D. 又当时，，则，排除C. 又，排除B. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【解题思路】利用，在图象上画出直线，与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数. 【解答过程】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，， 故选：B. 【变式6.3】（24-25高一上·福建泉州·期末）函数且的图象如图所示，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数的知识以及图象来确定正确答案. 【解答过程】由图象可知，在定义域上单调递增，而是增函数， 根据复合函数单调性同增异减可知，， ，所以，， 由图可知当时，， 所以A选项正确. 故选：A. 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间. 【解答过程】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】要使在上单调递增，需要在上也单调递增且在上恒成立.我们将分情况讨论的取值范围. 【解答过程】当时，此时，这是一个一次函数，其斜率，函数在上单调递减，不满足在上单调递增的条件，所以. 当时，对于二次函数，其对称轴为. 要使在上单调递增，则对称轴，即. 同时，要使在上恒成立，即当时，， 解不等式，得到，即.综合起来，. 当时，二次函数的图象开口向下，在上不可能单调递增，所以这种情况不符合要求. 综上，实数的取值范围是. 故选；C. 【变式7.2】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数定义域和复合函数的单调性求解. 【解答过程】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 【变式7.3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助复合函数单调性计算即可得. 【解答过程】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 【题型8 对数型复合函数的应用】 【例8】（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【解答过程】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 【答案】D 【解题思路】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断D. 【解答过程】对于A，要使函数有意义，则，解得或， 所以函数定义域为，故A错误； 对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误； 对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误； 对于D，令，则， 由二次函数性质可知，在区间上单调递减， 由对数函数性质可知，在定义域内单调递增， 所以在区间上单调递减，故D正确. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出函数定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递减区间. （2）按分类求出函数在指定区间上的最大值，再建立不等式求解即得. 【解答过程】（1）函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 【变式8.3】（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求满足的的取值集合. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3). 【解题思路】（1）根据对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义可得出结论； （3）由求出的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）对于函数且， 由解得， 故函数的定义域为. （2）函数为偶函数.理由如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数. （3）依题意， 若，则，解得. 设，， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又在其定义域内单调递增， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为，所以，解得， 所以的取值集合为. 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 【例9】（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【解答过程】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 【变式9.1】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在上是严格增函数． (1)求的值； (2)设，求在上的最小值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值是 (3) 【解题思路】（1）由幂函数定义及其性质求解； （2）判断单调性求值； （3）令，将问题转化为求解. 【解答过程】（1）因为为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. （2） 令，而函数在单调递增， 所以在单调递减，所以函数在单调递减， 又是增函数，根据复合函数单调性可知在单调递减， 所以当时，取得最小值. （3）令，因为，所以， 则不等式即，所以，， 所以， 又的对称轴为， 所以当时，取得最小值， 所以的取值范围是. 【变式9.2】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【解答过程】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. （2）由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 【变式9.3】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，函数为奇函数，为常数． (1)求的值； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)若函数，对于，使得不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【解题思路】（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得的值； （2）运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证； （3）求出的最大值后利用参变分离可求实数的取值范围．. 【解答过程】（1）∵， ∴. ∴，即， 故,解得，检验（舍），∴. （2）由（1）可知， 证明：任取，即有， 即，即， 即有，即， ∴在上为增函数； （3）由（2）可知在上为增函数，故， 由题设有在上恒成立， 故在上恒成立， 设，因为在上均为增函数， 故在上均为增函数，故， 故. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对数函数的定义可得. 【解答过程】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【解答过程】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数式有意义的条件即可求出四个选项中函数的定义域，即可得解. 【解答过程】对于A选项：令，解得或， 则定义域为，故A错误； 对于B选项：令，解得，定义域为，故B正确； 对于C选项：因为，所以，定义域为，故C错误； 对于D选项：令，解得，定义域为，故D错误． 故选：B. 4．（25-26高一上·浙江·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数单调性即可求得的取值范围. 【解答过程】函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增, 所以对称轴，解得 , 当时，，解得, 所以的取值范围是. 故选：C. 5．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用幂函数、对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为幂函数在上为增函数，所以，即， 又因为对数函数在上为增函数，所以， 综上所述，. 故选：D. 6．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）为R上的偶函数，当时，成立，，，c=则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件确定函数在上单调性，利用指数、对数函数单调性可得，再结合偶函数性质比较大小. 【解答过程】由当时，成立，得函数在上单调递减， 由，得；；， 因此，则， 由为R上的偶函数，得， 所以，即. 故选：C. 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解答过程】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 8．（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【答案】C 【解题思路】根据真数大于0，化简计算，即可判断A的正误；根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，化简整理，即可判定D的正误，即可得答案. 【解答过程】选项A：由题意，即， 所以，即，解得，故A正确； 选项B：令， 当时，单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，函数在上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确； 选项C：因为，所以， 则，所以， 则， 所以值域为，故C错误； 选项D：因为定义域为关于原点对称，且， 所以， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）已知且，则函数的图像必经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【解题思路】分，两种情况讨论可求得结论. 【解答过程】当时，函数的图象经过第一、二、四象限； 当时，函数的图象经过第一、二、三象限， 综上可知，函数的图象必经过第一、二象限． 故选：AB. 10．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．的定义域为 C． D．在定义域上单调递减 【答案】BC 【解题思路】先由对数的真数大于0求得函数定义域，由函数的奇偶性的定义得到函数的奇偶性，将自变量代入函数解析式求得函数值，由复合函数的单调性得到函数的单调性. 【解答过程】，则，∴， ∴的定义域为，B选项正确. ，则为奇函数，A选项错误. ，， ∴，C选择正确. 令， ∵在区间上单调递减且，∴在区间上单调递增， ∴在区间上单调递增，D选项错误. 故选：BC. 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解题思路】对于A，根据对数函数的定义域以及单调性，可得答案；对于B，由对数函数的定义域建立不等式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的最值，分情况讨论，可得答案；对于D，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的单调性，分情况讨论建立不等式，可得答案. 【解答过程】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据题意解决一元二次不等式恒成立问题，根据对数函数和二次函数的性质求得结果即可． 【解答过程】由题意可得在上恒成立， 时，不等式为，恒成立； 时，应满足 解得， 综上知，的取值范围是． 故答案为：． 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【解答过程】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】先对分类讨论，当时，根据函数的图象趋势分析予以排除，当时，推理得到，的最大值为，依题意解不等式即得. 【解答过程】由题意可得，只需求得的最大值，再求解不等式即可求得的取值范围. 当时，若时，，故， 这与不等式在上恒成立不符，故舍去； 当时，因函数与函数在上均为增函数， 故函数在上也为增函数， 即当时，的最大值为， 依题意，只需使，即， 因，即得，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)不是 (5)是 【解题思路】（1）由对数函数的定义判断可得； （2）由对数函数的定义判断可得； （3）由对数函数的定义判断可得； （4）由对数函数的定义判断可得； （5）由对数函数的定义判断可得； 【解答过程】（1）原式中真数为，不是对数函数． （2）原式中对数式后加2，不是对数函数． （3）原式中真数为，且系数不为1，故不是对数函数． （4）原式中底数不是常数，而真数是常数，所以不是对数函数． （5）原式中底数是6，真数为，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)为偶函数． 【解题思路】（1）代入点，即得答案. （2）代入，得到的解析式，由奇偶性的定义即可得到答案. 【解答过程】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以． （2）根据（1）可得， 所以， 则． 由解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数． 17．（2025高一上·吉林·专题练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)或 【解题思路】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义判断； （3）将转化为求解. 【解答过程】（1）由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 18．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据基本初等函数定义域，列出一元二次不等式，求出解集即可； （2）根据复合函数单调性，判断二次函数在区间上的单调性和值域，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的问题，判断函数最值之间的关系，根据复合函数单调性求出函数最值，进而列出不等式，求出参数范围. 【解答过程】（1）由题意得，因式分解得，解得或， 即函数定义域为. （2）因为在上单调递增，所以当 在上单调递增时，函数在单调递增且， 因为是对称轴为直线，开口向上的二次函数， 则，解得， 所以的取值范围为. （3）对任意，存在，使得不等式成立，即任意，恒成立， 由， 当时，，则，所以， 可得任意，恒成立，即恒成立， 等价于恒成立； 因为在上单调递增，即在恒成立即可， 即在恒成立， 由对勾函数可知在上单调递减，所以； 可得时在恒成立； 所以的取值范围为. 19．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【解答过程】（1）由题意知，，即，解得： 所以， （2）由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 （3）由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 对数函数 【人教A版】 模块一 对数函数的概念 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【题型1 对数函数的判定】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.3】（2025高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【变式2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则 ． 【变式2.3】（24-25高一上·上海·课前预习）对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 模块二 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 【例3】（24-25高一下·浙江·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型4 对数式的大小比较】 【例4】（25-26高一上·云南昆明·期中）已知则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·广东深圳·期末）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 解对数不等式】 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知且． (1)若，解关于的方程； (2)若，求的取值范围． 【变式5.3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 【例6】（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式6.1】（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式6.3】（24-25高一上·福建泉州·期末）函数且的图象如图所示，则必有（    ） A． B． C． D． 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型8 对数型复合函数的应用】 【例8】（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【变式8.1】（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 【变式8.2】（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 【变式8.3】（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求满足的的取值集合. 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 【例9】（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【变式9.1】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在上是严格增函数． (1)求的值； (2)设，求在上的最小值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【变式9.2】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【变式9.3】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，函数为奇函数，为常数． (1)求的值； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)若函数，对于，使得不等式恒成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）为R上的偶函数，当时，成立，，，c=则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 二、多选题 9．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）已知且，则函数的图像必经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．的定义域为 C． D．在定义域上单调递减 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 14．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（，且）； (5)． 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 17．（2025高一上·吉林·专题练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 18．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $