6.2.4 向量的数量积课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量数量积，通过物理中力做功的问题情景导入，引导学生从功的标量本质及决定因素出发，类比推广至向量数量积的概念，构建从具体实例到抽象数学概念的学习支架。 其亮点在于结合物理模型培养数学眼光，通过不同夹角下数量积符号分析及投影向量探究发展数学思维，课堂小结系统梳理性质与公式助力数学语言表达。例题与检测题强化应用，既帮助学生深化理解，也为教师提供结构化教学支持。

人教2019版必修第一册 第六章 平面向量 6.2.4 向量的数量积 1.理解平面向量数量积的概念及几何意义； 2.掌握向量数量积的性质，会用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角； 3.掌握向量数量积的运算律. 二、学习目标（1分钟） 问题情景 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 思考：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ θ s F F 标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。 向量的夹角 O A B O A B O A B 已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则 叫做向量 和 的夹角． O A B 三、点拨精讲(25分钟) 思考：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 平面向量的数量积的定义 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定 夹角 思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 当0°≤θ ＜ 90°时 为正； 当90°＜θ ≤180°时 为负。 当θ =90°时 为零。 数量积符号由cos的符号所决定 （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定. （3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 [ 0°，180°]． 说明： （2） a · b中间的“.” 在向量的运算中不能省略，也不能写 成a×b ． 例1.已知 解： =-10 解：由 得 因为 所以 。 探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？ (3)当向量 与 共线同向时， ； 当向量 与 共线反向时， . (4) θ=90º θ=0º θ=180º ︱cosθ︱≤1 设 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则 特别地 或 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 向量数量积的运算律 例题剖析 4、向量数量积的性质 5. 常用 ︱a︱＝ 求向量的模. 　　　 　常用　　　　　　求向量的夹角. 四、课堂小结(2分钟) 五、当堂检测（10分钟） C B A B C D A1 B1 这种变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量 O M N M1 叫做向量 在向量 上的投影向量 投影向量 O M N M1 探究：如图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为 ， 那么 与 之间有怎样的关系？ 当 为锐角时， 所以， 当 为直角时， 所以， 当 为钝角（如图（3））时， 即 当 时， 所以 当 时， 所以 综上，对任意的 都有 1、在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \f(1,2)AB，则eq \o(AB,\s\up15(→))与eq \o(BC,\s\up15(→))的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　如图，作向量eq \o(AD,\s\up15(→))＝eq \o(BC,\s\up15(→))，则∠BAD是eq \o(AB,\s\up15(→))与eq \o(BC,\s\up15(→))的夹角．在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝eq \f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即eq \o(AB,\s\up15(→))与eq \o(BC,\s\up15(→))的夹角是120°. 2　(1)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝eq \r(2)，则eq \o(BA,\s\up15(→))·eq \o(BC,\s\up15(→))的值为(　　) A．－2 B．2 C．－2eq \r(2) D．2eq \r(2) [解析]　由题意知BC＝eq \r(2)，BA＝2，∴eq \o(BA,\s\up15(→))·eq \o(BC,\s\up15(→))＝|eq \o(BA,\s\up15(→))||eq \o(BC,\s\up15(→))|cos∠ABC＝2×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.故选B. $