精品解析：四川省成都市蓉城联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025~2026学年度上期高中2024级期中考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，这四个数的平均数为1，则，，，这四个数的平均数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 3. 东风快递，使命必达，某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.18 C. 0.26 D. 0.98 4. 点在内(含边界)，且，事件E，F是互斥事件，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（ ） A. 与相互独立且 B. 与不相互独立且 C. 与相互独立且 D. 与不相互独立且 6. 将边长为的正方形沿对角线翻折成直二面角，异面直线与所成角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱锥中，侧棱，，现从正三棱锥的所有棱中任取两条棱，则取出的两条棱垂直的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知8个数据：1，2，2，3，4，4，4，4，则（ ） A. 该组数据的极差为3 B. 该组数据的众数为4 C. 该组数据的中位数为3 D. 该组数据的第75百分位数（也称为第三四分位数或上四分位数）为4 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 与为对立事件是与为互斥事件的充分不必要条件 B. 不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 C. 不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 D. 从集合中任取一个数记为，从集合中任取一个数记为，则的概率为 11. 在平行六面体中，，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校有青年教师60人，中年教师40人，老年教师20人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为的样本，若青年教师抽了6人，则样本容量_____. 13. 这5个数据181，182，183，184，185方差为_____. 14. 在四棱锥中，底面为矩形，，，底面，，点为棱的中点，，平面与直线交于点，则点到直线的距离为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某教师在课堂上将学生分成3小组，独立探究“空间中n个平面最多可以把空间分成多少部分”，若第一小组探究成功的概率为，第二小组探究成功的概率为，第一、第二、第三这3个小组全都探究成功的概率为，第一、第二、第三这3个小组是否探究成功相互没有影响. （1）求第三小组探究成功的概率； （2）求第一、第二、第三这3个小组恰有1个小组探究成功的概率. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为棱，的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 17. 某同学在研究性学习中，对某区2000名高一年级学生期末调研考试的数学成绩用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，分为6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求值，并估计该区高一年级学生期末调研考试的数学成绩不低于90分的学生人数； （2）估计本次考试全区数学成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）现用按比例分配分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取5人，再从中选取3人，求这3人中至少有1人成绩在内的概率. 18. 在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，为的中点. （1）求证：底面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19. 在斜三棱柱中，为棱的中点. （1）若与交于点，作图并证明：平面； （2）在中，，. ①若平面，，求二面角余弦值； ②若，，求四面体的外接球的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上期高中2024级期中考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，这四个数的平均数为1，则，，，这四个数的平均数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】解：， ， 故选：A. 2. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】因为，所以， 解得：，，即， 故选：C. 3. 东风快递，使命必达，某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.18 C. 0.26 D. 0.98 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件结合对立事件求解即可. 【详解】目标未被击中的概率为：， 所以目标被击中的概率为. 故选：D. 4. 点在内(含边界)，且，事件E，F是互斥事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面得到，再由互斥事件和事件的概率公式即可求解. 【详解】解：由四点共面的推论可知，，， ， 故选：B. 5. 已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（ ） A. 与相互独立且 B. 与不相互独立且 C. 与相互独立且 D. 与不相互独立且 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知判断是否成立，结合概率的性质求，即可得. 【详解】由题设，，， 所以事件与事件相互独立； 由概率的性质，有. 故选：C 6. 将边长为的正方形沿对角线翻折成直二面角，异面直线与所成角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别取、、的中点、、，可得异面直线与所成的角为或其补角，通过证明，推得为二面角的平面角，求得，即可求出的三边长，进而可求得，即可得解. 【详解】如下图所示，分别取、、的中点、、，连接、、、、， 则，，所以，异面直线与所成的角为或其补角， 由题意可得，， ，为的中点，则，同理可得， 所以，二面角的平面角为，则， ，，则，， 同理可得，所以，， 为的中点，则，所以，， 则为等边三角形，所以，. 即异面直线与所成的角为，则. 故选：B 7. 在正三棱锥中，侧棱，，现从正三棱锥的所有棱中任取两条棱，则取出的两条棱垂直的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出总的基本事件有15个，然后根据线段长度和正三棱锥的性质确定有6个基本事件满足题意，进而可求得概率. 【详解】正三棱锥中共有6条棱，从正三棱锥的所有棱中任取两条棱， 则基本事件有个， 因为， 根据勾股定理可得出 . 进而可以得到平面，因为平面，所以； 同理可得. 所以取出的两条棱垂直的共有6种情况，所以概率为， 故选：D. 8. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型求解概率即可. 【详解】所有基本事件有个， 和从3，6中选共有4个，和从1，4中选1个，从2，5中选1个，共有8个， 所求概率. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知8个数据：1，2，2，3，4，4，4，4，则（ ） A. 该组数据的极差为3 B. 该组数据的众数为4 C. 该组数据的中位数为3 D. 该组数据的第75百分位数（也称为第三四分位数或上四分位数）为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】由极差、众数、中位数和百分位数的计算公式即可求解. 【详解】对于AB：极差，众数为，故A、B正确； 对于C：中位数为，故C错误； 对于D：，所以该组数据的第75百分位数为第6个和第7个数据的平均数，即，故D正确； 故选：ABD. 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 与为对立事件是与为互斥事件的充分不必要条件 B. 不透明袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 C. 不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 D. 从集合中任取一个数记为，从集合中任取一个数记为，则的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对立事件和互斥事件的概念可判断A，由古典概型概率计算公式可判断BCD. 【详解】对于A，对立事件为不同时发生，但有一个必发生，互斥事件为不同时发生的事件，故A正确； 对于B，不放回地依次随机摸出2个球，共有个基本事件，两次都是红球含2个基本事件，故概率为，故B错误； 选项C：放回地依次随机摸出2个球，共有个基本事件，两次都是红球含个基本事件，故概率为，故C正确； 选项D：所有的基本事件有9个，满足题意的有，，，共3个，概率为，故D正确； 故选：ACD. 11. 在平行六面体中，，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可判断A，由向量法可判断B，如图，设为棱中点，为棱中点，连接，连接交于点，确定四棱锥是棱长为1的正四棱锥，由线面角的定义可判断C，由等体积法可判断D. 【详解】因为，，，， 所以 可得， 所以，故A正确； 选项B：因为， 所以， 所以，， 设异面直线与所成角为，则，故B正确； 如图，设为棱中点，为棱中点，连接， 连接交于点，连接， 因为，，，， 所以，四边形为正方形， 所以，又，， 所以,又，且, 所以，又为中点，则, 得到四棱锥是棱长为1的正四棱锥， 由正棱锥的性质可知平面， 则是直线与平面所成角， 可得，故C错误； 设点到平面的距离为， 由，得， 解得，即点到平面的距离为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校有青年教师60人，中年教师40人，老年教师20人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为的样本，若青年教师抽了6人，则样本容量_____. 【答案】12 【解析】 【分析】由分层抽样比相同即可求解. 【详解】由题意，得. 故答案为：12 13. 这5个数据181，182，183，184，185的方差为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据方差公式计算即得. 【详解】平均数， 方差 . 故答案为：2. 14. 在四棱锥中，底面为矩形，，，底面，，点为棱的中点，，平面与直线交于点，则点到直线的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，可得，结合可得，再利用点到直线的距离公式即可解出答案. 【详解】如图，建立以为坐标原点，直线，，所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系. 则, 所以， 所以,， 设平面的法向量， 则， 令，则平面的一个法向量. 设，则， 所以， 又，即，， ， 设在上的投影向量为，则， 则点到直线的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某教师在课堂上将学生分成3小组，独立探究“空间中n个平面最多可以把空间分成多少部分”，若第一小组探究成功的概率为，第二小组探究成功的概率为，第一、第二、第三这3个小组全都探究成功的概率为，第一、第二、第三这3个小组是否探究成功相互没有影响. （1）求第三小组探究成功的概率； （2）求第一、第二、第三这3个小组恰有1个小组探究成功的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解事件“第三小组探究成功”得概率即可； （2）记事件“第一、第二、第三这3个小组恰有1个小组探究成功”，根据独立事件的乘法公式与互斥事件加法公式求解即可得所求概率. 【小问1详解】 记事件“第一小组探究成功”，事件“第二小组探究成功”，事件“第三小组探究成功”， 由题意，事件A，B，C相互独立， ，， ， ， ， 故第三小组探究成功的概率为； 【小问2详解】 记事件“第一、第二、第三这3个小组恰有1个小组探究成功”， 则， ，，相互独立，，B，相互独立，，，C相互独立，事件，，彼此互斥， ， 故第一、第二、第三这3个小组恰有1个小组探究成功的概率为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为棱，的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，则可写出与的坐标，由，则可得结论； （2）求出平面的法向量，由点到平面的距离公式解出答案. 【小问1详解】 证明：如图，建立以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，， 因为， 所以，则. 小问2详解】 设平面一个法向量为， ，， ， 令，则，， 所以平面的一个法向量， 又， 点到平面的距离. 17. 某同学在研究性学习中，对某区2000名高一年级学生期末调研考试的数学成绩用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，分为6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计该区高一年级学生期末调研考试的数学成绩不低于90分的学生人数； （2）估计本次考试全区数学成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取5人，再从中选取3人，求这3人中至少有1人成绩在内的概率. 【答案】（1）0.0125，1300人 （2）中位数100，平均数98 （3）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，先求得，进而可求解； （2）由中位数和平均数的计算方法即可求解； （3）由古典概型概率计算公式和对立事件概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， ， ， ， 故估计该区高一年级学生期末调研考试的数学成绩不低于90分的学生人数为1300人； 【小问2详解】 前三个小矩形的面积之和为， 前四个小矩形的面积之和为，所以中位数位于之间， 中位数的估计值为：， 平均数的估计值为：； 【小问3详解】 原始成绩在和的频率之比为， 在内抽取2人，记为a，b， 在内抽取3人，记为A，B，C， 从中选取3人，所有的基本事件为：，，，，，，，，，，共10个， 记事件“这3人中至少有1人成绩在内”， 则其对立事件包含的基本事件为，共1个， ， 这3人中至少有1人成绩在内的概率为. 18. 在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，为的中点. （1）求证：底面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由和平面平面，结合面面垂直性质定理即可求证； （2）建系，求得平面法向量和直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）设，，由二面角的向量法代入计算即可. 小问1详解】 证明： 为等边三角形，且为中点， ， 平面平面，平面平面， 平面， 平面； 【小问2详解】 ，，， 四边形为矩形， ， 如图，建立以AQ，QB，QP所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则 取， 设直线与平面所成角为， ， ， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 假设存在点满足题意， 设，， ， 设平面的一个法向量为， 则 取， ， 或（舍）， 故当时，在棱上存在点使得二面角的余弦值为. 19. 在斜三棱柱中，为棱的中点. （1）若与交于点，作图并证明：平面； （2）在中，，. ①若平面，，求二面角的余弦值； ②若，，求四面体的外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线证明，结合线面平行判定定理即可得结论； （2）①建立空间直角坐标系，利用空间向量计算平面与平面的法向量，由法向量的夹角余弦值确定二面角的余弦值即可；②设，利用空间距离可得点的坐标，再根据四面体外接球球心与线面关系确定外接球半径从而得结论. 【小问1详解】 证明：如图连接， 在中， ，， ， 又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，CA，CB所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ①由题意，， 设平面的法向量为， ，， ，取， 设平面的法向量为， ，， ，取， ， 二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为； ②设，由题意得， 解得，，， ， 记四面体的外接球球心为点， 则点在平面内的射影点为， 设， 由，得， 解得， 记四面体的外接球半径为， 则， 故四面体的外接球的表面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $