精品解析：河南省南阳市2025-2026学年高三上学期11月期中数学试卷

2025年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠､不破损. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则A的子集的个数有（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 已知复数z满足，为虚数单位，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量若向量在向量上投影向量为，则（ ） A. -1 B. C. 1 D. 5. 已知不等式的解集是，设，则函数的大致图象不可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知数列通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 8. 教材中给出习题“已知函数且a≠1），讨论函数f（x）的单调性”，对上述问题的解决过程，我们获取了复合函数单调性“同增异减”的判断原则，据此可以快速解决复合函数的相关问题.已知函数，则该函数在上的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，公差为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 没有最小值 D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象上始终有两个增区间和一个减区间 B. 若为的极小值点，则的取值范围为 C. 若为的极大值点，则的取值范围为 D. 若，则过点且与曲线相切的直线有且只有两条 11. 已知函数在上恒有，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 成等差数列 B. 成等比数列 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最大值是__________． 13. 若是定义在上的偶函数，且满足为奇函数，则__________. 14. 设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图①为一个圆锥形酒杯，圆锥的顶角（即过圆锥的轴的平面截圆锥所得等腰三角形的顶角）为，向酒杯中注水． （1）写出注入杯中水量V（单位：mL）关于水面高度h（单位：cm）的函数关系式； （2）图②图象是否能反映第（1）问中的函数关系？说明理由． 16. 已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且，， （1）求的值； （2）求取值范围. 17. “生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数是数列的“生成函数”，且. （1）求； （2）求. 18. 已知函数），若的图象过三点，其中点为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围. 19. 已知函数 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若函数恰好有两个不同的极值点，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠､不破损. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则A的子集的个数有（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式化简集合A，然后利用子集个数的结论判断即可. 【详解】集合， 则集合的子集的个数有个. 故选：B. 2. 已知复数z满足，为虚数单位，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由方程得，再利用复数的乘法和除法运算公式，化简求解. 【详解】由题知，故复数的虚部为. 故选：C. 3. 若，则恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，即得的取值范围，根据充分不必要条件定义即可确定正确选项. 【详解】因为当时，，当且仅当时等号成立， 则恒成立等价于， 结合各选项知恒成立的一个充分不必要条件为. 故选：D 4. 已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A -1 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义列式计算即得. 【详解】因为向量， 则向量在向量上的投影向量为：， 故有，解得 故选：C. 5. 已知不等式的解集是，设，则函数的大致图象不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集求得，由此对进行分类讨论，从而确定正确答案. 【详解】由题知是两个实数根，可得， 解得，所以. 当时，，故A符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上， 由，解得或， 所以，的零点为0和，且，故B符合题意，而C不符合； 当时，二次函数的图象开口向下， 的零点为0和，且，故D符合题意. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】化简已知条件，求得、，进而求得. 【详解】，① ，② ①+②得，，则； ①-②得，，则. 所以. 故选：D 7. 已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法分析数列，由此求得正确答案. 【详解】由题可知，数列各项依次为：， 当时，， 当时，， 所以成立的的最小值为35. 故选：A. 8. 教材中给出习题“已知函数且a≠1），讨论函数f（x）的单调性”，对上述问题的解决过程，我们获取了复合函数单调性“同增异减”的判断原则，据此可以快速解决复合函数的相关问题.已知函数，则该函数在上的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取对数构造新函数，利用导数求单调区间. 【详解】根据题目信息，不妨令，则的减区间即为所求， 又，解得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列前项和，公差为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 没有最小值 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，由此求得，结合最值以及裂项求和法确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意有，解得，所以，故AB正确； 又最小值为，故C错误， 由于， 所以， 故D错误， 故选：AB. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象上始终有两个增区间和一个减区间 B. 若为的极小值点，则的取值范围为 C. 若为的极大值点，则的取值范围为 D. 若，则过点且与曲线相切的直线有且只有两条 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：举出反例即可得；对B：求导后令导数为，结合极小值点定义即可得；对C：分与进行讨论即可得；对D：借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】对A：当时，，则单调递增，故A错误； 对B：又，令， 解得，由为的极小值点， 则，解得，故B正确； 对C：当时，，当时，， 故的取值范围为，故C正确； 对D：当时，，设切点， 则切线斜率， 切线方程为， 由切线过点，代入切线方程得， 即，解得或， 故有三条直线与曲线相切，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数在上恒有，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 成等差数列 B. 成等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B：借助和差化积公式可得，结合范围可得，再结合等差数列与等比数列定义即可得；对C：由的值计算即可得；对D：借助诱导公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】和差化积公式推导： ， 则； ， 则 对A、B：由题， 因为，可得， 所以，所以，故， 解得，故A正确，B错误； 对C： ，故C正确； 又因为 ， 故，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，根据求解即可． 【详解】根据题意， 所以，（当且仅当，即时取等号）， 即最大值为． 故答案为：． 13. 若是定义在上的偶函数，且满足为奇函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件判断出是周期函数，根据周期性和奇偶性求得正确答案. 【详解】令，由为奇函数，得， 即，于是，又为偶函数， ， 用替换，得， ，即4为的周期. 根据，令，得，令，得， 又为偶函数，且， ，于是可得：. 又余2， . 故答案为： 14. 设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，不满足条件；当时，转化不等式构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性及最值，根据图象列出唯一整数解的约束条件，解不等式组即可. 【详解】当时，，舍去； 当时，令，得， 设，得，令得，， 当时，；当时，， 所以函数的极小值点为，不存在极大值点.此时不等式有无穷多解，舍去； 当时，得， 数形结合只需：，解得； 综上. 故答案为： 【点睛】解题关键是转化不等式并构造辅助函数. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图①为一个圆锥形酒杯，圆锥的顶角（即过圆锥的轴的平面截圆锥所得等腰三角形的顶角）为，向酒杯中注水． （1）写出注入杯中的水量V（单位：mL）关于水面高度h（单位：cm）的函数关系式； （2）图②的图象是否能反映第（1）问中的函数关系？说明理由． 【答案】（1）； （2）符合，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算即可； （2）利用导数研究函数图象的变化趋势即可. 【小问1详解】 如图所示，由题意可知：该酒杯的纵截面为等腰三角形， 又顶角，所以， 设水面半径为，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以定义域内单调递增， 令，即定义域内单调递增， 故增加的越来越快，即图象②可以反映这一函数关系. 其实杯子下窄上宽，高度每增加一厘米显然容量增加变大. 16. 已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且，， （1）求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出，再利用正弦定理求出； （2）根据等面积法求出，方法一：利用均值不等式求出，进而得到的取值范围； 方法二：利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围. 【小问1详解】 由题意，由余弦定理得， 又，则， 又由正弦定理：，解得. 【小问2详解】 由（1）得，则， ， 则， 方法一：由， 解得（当且仅当时取等号）， 又因为，故， 从而得. 方法二：在中，由正弦定理得， 即， 则 ， 又，则， ， 即， . 17. “生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数是数列的“生成函数”，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“生成函数”的定义，利用退一作差法求得. （2）利用错位相减求和法求得 【小问1详解】 因为且， 所以①， 当可得， 当时②， ①-②得， 显然当时上式也成立， 所以. 【小问2详解】 由题得， ， 则（1）-（2）得： ， 所以. 18. 已知函数），若的图象过三点，其中点为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据图像最高点求出，由周期求出，然后再把代入解析式可求出，最后根据图像的伸缩变化即可求解； （2）根据诱导公式把不等式转化为，令，不等式转化为，对于解法一，利用分离参数转化为函数最值即可求解；对于解法二，令，问题转化为求，利用二次函数分类讨论区间与对称轴的关系即可求解. 【小问1详解】 由题意得，得， 又，则， 所以. 由，得，由图知在上单调递增， 所以， 又，只可能，所以， 所以， 将图象上横坐标变为原来的倍， 得到，再向右平移个单位长度， 得到，即. 【小问2详解】 由（1）知， 所以不等式可化为： ， 即对任意的恒成立， 令，则，且， 原不等式转化为恒成立， 解法一： 即对恒成立， 当时，易知不等式恒成立； 当时，，即对恒成立， 因为在上单调递减，故， 所以的取值范围为. 解法二： 设函数， 当时，对称轴在上单调递增， 要使，只需，解得； 当时，由于，故恒成立； 当时，对称轴，只需，解得； 综上所述，. 19. 已知函数 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若函数恰好有两个不同的极值点，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）在时，根据导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式求得切线方程； （2）先判断函数为上的偶函数，再利用求导推得在上单调递增，利用函数的单调性和奇偶性即可求解抽象不等式； （3）由存在两个不同的极值点，可得存在两个不同的变号零点，设 ，求导得，再设，通过求导判断在上单调递减，从而借助于特值比较判断的单调性和极值情况，作出其图象，数形结合即可求得参数范围. 【小问1详解】 当时，由，得， 则； 从而有，故切线方程为：. 【小问2详解】 函数的定义域为， 由，可得函数为偶函数， 当时，，令， 则，且， 则函数 在 上单调递增，故 ，即， 即函数在上单调递增，因函数为偶函数， 则即，可得， 即，整理可得，解得， 故不等式的解集是. 【小问3详解】 由题， 由存在两个不同的极值点，可得存在两个不同的变号零点， 所以， 令，则， 令，得， 则在上单调递减，注意到， 当时，，则即在上单调递增； 当时，，则即在上单调递减， ，又， 且当时，，即在上恒有， 于是可作出的大致函数图象（如图所示）， 显然当时，存在两个不同的变号零点，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $