精品解析：河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期11月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，即，所以， 且，则. 故选：A 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将给定等式化成正切并求出正切值，再用二倍角正切公式计算即得. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：D 3. 若函数在处取得极大值，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，由题意得，求出的值并验证即可得解． 【详解】将原函数求导得：， 因函数在处取得极大值，则，解得. 当时，. 令，得或；令，得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 满足题意. 故选：A． 4. 2018年清华大学冬令营开营仪式文艺晚会中，要将这五个不同节目编排成节目单，如果节目不能排在开始和结尾，两个节目要相邻，则节目单上不同的排序方式有种 A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】 分或排在第一个，或排在最后一个，以及、不排在开始和结尾，三种情况，分别求出排法，即可求出结果. 【详解】由题意， 若或排在第一个，则有种排法； 若或排在最后一个，则有种排法； 若、不排在开始和结尾，则有种排法； 综上，节目单上不同的排序方式共有种. 故选C 【点睛】本题主要考查排列问题，根据特殊元素优先考虑的策略，即可处理，属于常考题型. 5. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数与二次函数的性质，结合复合函数的单调性判别，建立不等式，利用充分条件与必要条件的定义，可得答案. 【详解】若函数在上单调递增，则，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 定义：给定一个正整数，如果两个整数满足能够被整除，就称整数对模同余，记作.若，，则的一组值可能为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理可得题设中的代数式即为，再结合二项式定理逐项计算后可得正确的选项. 【详解】依题意得能够被5整除. 而 ， 所以能够被5整除. 对于A，，，则，不能被5整除，A不正确. 对于B，，，则，显然不能被5整除，B不正确. 对于C，，，则 ， 不能被5整除，C不正确. 对于D，，，则 ，能被5整除， 故选：D. 7. 对于数列，定义，称新数列为数列的一阶差分数列；定义，称新数列为数列的二阶差分数列．若（为常数，），则称数列是二阶等差数列．已知是二阶等差数列，，，，则（ ） A. 2528 B. 5056 C. 3578 D. 7156 【答案】C 【解析】 【分析】此题是等差数列的新定义题型，根据题型分析可得，的一阶差分数列为公差为的等差数列，利用等差数列通项公式，求出的通项，再利用累加法求出的通项，最后求和即可. 【详解】由题意可知，，则，故，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 故，即， 由累加法可得，当时，． 所以， 故选:C． 【点睛】 8. 已知函数，若对于任意的实数x，都有成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对进行分类讨论，利用分离常数法、导数与切线等知识来求得的取值范围. 【详解】当时，，即， 所以，，当时等号成立，所以； 当时，成立； 当时，，即， 所以， 设， 所以曲线在处的切线为， 要使时成立，则需，即． 综上所述，． 故选：B 【点睛】求解不等式恒成立问题，如果不等式含有参数，可以考虑利用分离参数法来进行求解，也可以考虑转化法来进行求解，将问题转化为两个容易求解的函数，然后结合导数等知识来求得参数的取值范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件的含义判断A；根据条件概率公式求出的值，判断B；根据对立事件的概率计算，判断C；根据并事件的概率计算，判断D. 【详解】对于A，甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生，即事件与会同时发生，不互斥，A错误； 对于B，由题意知共有事件个数，事件与的个数均为个， 故，, 则，，即，B正确， 对于C，，C正确； 对于D，，D错误， 故选：BC 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可知A正确；根据分别为的系数，结合组合数的性质可知BC正误；求导后，令即可确定D正确. 【详解】对于A，令，则，A正确； 对于B，是的系数，，B正确； 对于C，是的系数，，C错误； 对于D，对等式两边求导得：； 令，则，，D正确. 故选：ABD. 11. （多选题）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契在他写的算盘全数中提出的，所以它常被称作斐波那契数列该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前n项和为，则下列结论正确的有（ ） A. 不一定是偶数 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，先由特殊值进行归纳、猜想，可得答案；对于B，由题意，根据求和定义和数列特点，直接求和；对于C，先求前面几个式子成立，可得规律，解得答案；对于D，由题意，根据裂项相消的原理，可得答案. 【详解】对于A选项，为奇数，， 为偶数，则为奇数，为奇数，为偶数，…， 以此类推，观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的，故A不正确； 对于B选项，又， ，故B正确； 对于C 选项，， ， 以此类推，故C正确； 对于D选项， ， 所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】首先分析出存在有两项，然后分别求出这两项系数，相加即可. 【详解】根据题意,的项在的展开式中有两项， 分别为：和，即和， 则的系数为：. 故答案为：. 13. 若过点可作函数的三条切线，则m的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于a的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得，令，利用导数求出的单调性和极值，由与有三个不同的交点，即可得到m的取值范围. 【详解】设切点为，而， 切线的斜率，故切线方程为， 切线过点， ，即， 过可作曲线的三条切线， 关于a的方程有三个不同的根， 令，则，解得或， 当时，当时，当时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 关于a的方程有三个不同的根，等价于与的图象有三个不同的交点， ，即，故m的取值范围为. 故答案为：. 14. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当__________时，取得最大值. 【答案】13或14 【解析】 【分析】先得到，利用解不等式即可. 【详解】由题意得，且， 则，即 故又，所以或， 故当或时，取得最大值. 故答案为：13或14. 15. 已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且． （1）求数列和数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接得到的通项公式，由作差得到，从而求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 依题意可得， ∵①， 当时，②， ， ，， ∵， ∴， 且在①式中令或（舍去），∴， 综上可得，． 【小问2详解】 由（1）可得， ∴ ． 16. 已知等比数列的前n项和为，公比，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式及数列的前n项和的定义即可求解； （2）根据（1）的结论及对数的运算，利用数列求和中的错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由，，得,消去，得，即，解得或， 因为，所以，于是， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 则， ， 由，得 ，即， 所以数列的前n项和为． 17. 购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示 . （1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人，记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为，求的分布列和数学期望； （3）统计最近个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下： 月份 销售量（万辆） 试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆？ 附：对于一组样本数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）1.7； （2），的分布列为 ，； （3）2. 【解析】 【分析】（1）平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和； （2）易得，由二项分布列的期望公式计算； （3）利用所给公式计算出回归直线即可解决. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为 ，所以方差的估计 值为 ； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的 频率为，则，所以的分布列为 ，数学期望； 【小问3详解】 将 2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为 1，2，3，4，5， 记 ，，，，，，由 散 点 图可知， 5组样本数据呈线性相关关系，因为，，， ，则，， 所以回归直线方程为，当时，，预计该品 牌汽车在年月份的销售量约为2万辆. 【点睛】本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，本题是一道中档题. 18. 设函数f(x)＝axex+x2+2x+1． （1）当a＝1时，求函数f(x)在[－2，1]上的最值； （2）若函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，求实数a的最大值． 【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）－2． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，判断函数的单调性，然后求解闭区间上的最值即可． （2）由已知得在，上恒成立，推出在，上恒成立，构造函数，求解函数的最值，然后推出的最值即可． 【详解】（1）因为，所以 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 则在，上的最小值为， 又（1），，（1）， 则函数在，上的最大值为， 综上： 在，上的最小值为，最大值为； （2）由已知得在，上恒成立， 因为，所以在，上恒成立，即在，上恒成立， 因为函数在，上单调递增， 所以当时，函数取得最小值为，所以， 故实数的最大值为． 19. 已知函数． （1）若，求函数的图像在处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间； （3）若，已知函数有两个相异零点，求证：． 【答案】（1） （2）时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 证明：由题知，， 因为函数有两个相异零点，且 所以且，，即， 所以，方程有两个不相等的实数根， 令，则， 故当时，，时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以，要使方程有两个不相等的实数根，则. 不妨令，则 所以，， 要证，只需证，即证： 因为， 所以，只需证， 只需证，即 故令， 故只需证，成立， 令 则， 在恒成立， 所以，在上单调递增， 因为， 所以在恒成立， 所以，在上单调递增， 所以，，即，成立， 所以，成立. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （3）由题知，方程有两个不相等的实数根，进而得，再不妨令，进而将问题转化为证明，故令，进一步转化为证明，成立，再构造函数证明不等式即可. 【小问1详解】 解：当时，函数，， 所以，， 所以函数的图像在处的切线方程为，即. 所以，函数的图像在处的切线方程为 【小问2详解】 解：当时，，定义域为， 所以，， 所以，时，在上恒成立，故在上单调递增， 当时，令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 【点睛】本题第三问解题的关键在于根据题意，将问题转化为证明，进而令，再构造函数证明成立即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期11月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在处取得极大值，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 2018年清华大学冬令营开营仪式文艺晚会中，要将这五个不同节目编排成节目单，如果节目不能排在开始和结尾，两个节目要相邻，则节目单上不同的排序方式有种 A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 5. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 定义：给定一个正整数，如果两个整数满足能够被整除，就称整数对模同余，记作.若，，则的一组值可能为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 对于数列，定义，称新数列为数列的一阶差分数列；定义，称新数列为数列的二阶差分数列．若（为常数，），则称数列是二阶等差数列．已知是二阶等差数列，，，，则（ ） A. 2528 B. 5056 C. 3578 D. 7156 8. 已知函数，若对于任意的实数x，都有成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. （多选题）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契在他写的算盘全数中提出的，所以它常被称作斐波那契数列该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前n项和为，则下列结论正确的有（ ） A. 不一定是偶数 B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 13. 若过点可作函数的三条切线，则m的取值范围为________ 14. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当__________时，取得最大值. 15. 已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且． （1）求数列和数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知等比数列的前n项和为，公比，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示 . （1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人，记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为，求的分布列和数学期望； （3）统计最近个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下： 月份 销售量（万辆） 试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆？ 附：对于一组样本数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 18. 设函数f(x)＝axex+x2+2x+1． （1）当a＝1时，求函数f(x)在[－2，1]上的最值； （2）若函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，求实数a的最大值． 19. 已知函数． （1）若，求函数的图像在处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间； （3）若，已知函数有两个相异零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $