精品解析：黑龙江省黑河市嫩江市高级中学2026-2027学年高一上学期开学考试数学试题

高一学年上学期开学考 数学学科 试卷满分：100分　　考试用时：90分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ）． A. 27 B. 7 C. 15 D. 25 3. 已知，则（ ） A. 4 B. -4 C. 12 D. 2 4. 已知正实数和满足，且．则和的值分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 若时，则的最大值与最小值分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 将多项式最终分解为（ ）个因式相乘． A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 7. 中，，是斜边上的高，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组式子中，因式分解不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在梯形纸片中，，．将这张纸片折叠一次，使点与点重合．设折痕所在直线为，点沿直线翻折至与点重合的过程中，形成的轨迹的长度不能是下列中的（ ） A. B. C. D. 11. 如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点.下列选项正确的是（ ） A. B. 抛物线与轴的另一个交点在0与-1之间 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________. 13. 已知，则_______． 14. 已知，，则的值为_______． 四、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 16. 知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有： ①整体观察；②整体设元；③整体代入；④整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． （3）计算：_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一学年上学期开学考 数学学科 试卷满分：100分　　考试用时：90分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂运算求解. 【详解】对A：原式，所以A选项错误； 对B：原式，所以B选项错误； 对C：原式，所以C选项错误； 对D：显然，所以原式，所以D选项正确. 故选：D 2. 若，则的值为（ ）． A. 27 B. 7 C. 15 D. 25 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以. 3. 已知，则（ ） A. 4 B. -4 C. 12 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】将两边平方得：, 即, 将代入得：, 移项得：, 等式两边同除得：. 4. 已知正实数和满足，且．则和的值分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】先利用完全平方公式求出，的值，再分别代入立方差，立方和公式计算得到结果. 【详解】由完全平方公式可得 ， 将，代入，得，解得. 因为为正实数，故，由完全平方公式 ， 因此. 根据立方差公式， 代入已知值得 .根据立方和公式， 代入已知值得 . 5. 若时，则的最大值与最小值分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】通过换元将含根式的函数转化为二次函数，利用二次函数在闭区间上的最值性质求解． 【详解】令，由可得，且， 代入原函数得，，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为， 将代入函数，得； 开口向下的二次函数在闭区间上的最小值在端点处取得， 分别代入端点： 当时，； 当时，； 比较得， 因此当时，函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为. 6. 将多项式最终分解为（ ）个因式相乘． A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】对提公因式得：, 对括号里的四次多项式变形为关于的二次式：, 将这个式子再分解：, 继续分解平方差公式：, 所以最终分解结果：,共5个因式相乘. 7. 中，，是斜边上的高，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明与相似，利用相似三角形对应边成比例求解的长度. 【详解】在中，，是斜边上的高，因此 由直角三角形两锐角互余可得：，， 故，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得. 由相似三角形对应边成比例，得，即， 因线段长度为正，故. 8. 已知函数在上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，判断其图象的开口方向、对称轴及增减性，根据给定区间上的最值确定m的取值范围. 【详解】首先对函数配方得：， 由此可知该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 即函数的最小值为2，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大， 若区间上函数能取到最小值2，则区间必须包含对称轴，故； 当时，代入得，根据二次函数的对称性，点关于对称轴的对称点为，即当时； 若区间上函数最大值为3，则区间右端点不能超过2， 否则当时函数值大于3，不符合最大值为3的要求，故， 综上，的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组式子中，因式分解不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，结合十字相乘法、完全平方公式、提公因式法、立方差公式，逐项判断因式分解是否正确即可. 【详解】选项A：对用十字相乘法，常数项10拆为，二者和为一次项系数， 故分解为，该选项因式分解正确，不符合题意; 选项B：左边是完全平方式，正确分解为， 右边，与左边不相等，该选项因式分解错误，符合题意; 选项C：左边的公因式为，提公因式后应为， 右边，与左边不相等，该选项因式分解错误，符合题意; 选项D：立方差公式为，选项右边为，该选项因式分解错误，符合题意. 10. 在梯形纸片中，，．将这张纸片折叠一次，使点与点重合．设折痕所在直线为，点沿直线翻折至与点重合的过程中，形成的轨迹的长度不能是下列中的（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先分析出梯形的底角是，然后根据折叠性质找出折痕，结合图分析出折叠的轨迹是半圆圆弧. 【详解】 由题可知，该梯形是等腰梯形，取中点，连接，设其交点为， 则，且，则四边形是平行四边形， 故，于是，是等边三角形，则， 注意到，则平行四边形是菱形， 由菱形和折叠的性质，垂直平分，则所在的直线为折痕， 点沿着折痕翻折，和重合的过程中，相当于以为圆心，为半径走过半个圆的周长， 而，则走过的路径为， 即轨迹长度的范围不超过，BD不符合题意. 11. 如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点.下列选项正确的是（ ） A. B. 抛物线与轴的另一个交点在0与-1之间 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象，因为直线经过点，点在点的右侧，所以当时，，可求出的范围，判断选项正确；根据二次函数的图象与的交点关于对称轴对称，可判断另一个交点的位置，从而可判断选项；根据对称轴为，可得结合图象时的图象关系，建立不等式，可得的范围，从而可判断选项;根据的取值范围及可判断选项 【详解】∵抛物线开口向下，∴， ∵，∴； ∵直线经过点，点在点的右侧， ∴，∴，故A正确； ∵抛物线的对称轴是直线， 且与轴交点在点的右侧， ∴与轴另一个交点在点的左侧，故B错误； 由图象可知，当时，， ∴，∴，∴，∴，故C正确； ∵，，，∴，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________. 【答案】④ 【解析】 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 13. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知的的表达式推导得到的降次关系，再对所求多项式因式分解后代入计算即可. 【详解】由已知，移项得， 将等式两边平方，得， 展开并整理得， 对所求多项式进行变形：， 将代入上式，得： 原式. 14. 已知，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知条件先分母有理化，再利用完全平方公式将所求式子变形代入即可 【详解】，， 则. 四、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可； （2）分7为底边长，7为腰长两种情况讨论，先通过一元二次方程解的个数或者根为7确定的值，再根据三角形任意两边之和大于第三边判定的取值是否能使三角形存在，即可求解 【小问1详解】 因为是关于的一元二次方程的两实数根． 所以， 又因为，所以， 所以，即，解得或， 当时，，不符合题意，故舍去， 所以，经验证满足； 【小问2详解】 ①当7为底边长时，方程有两个相等的实数根， 所以，解得， 所以方程为，解得， 又因为，所以不能构成三角形； ②当7为腰长时，设，代入方程得， 解得或， 当时，方程为，解得， 又，所以不能构成三角形； 当时，方程为，解得， 此时能构成三角形，的周长为. 综上，的周长为. 16. 知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有： ①整体观察；②整体设元；③整体代入；④整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． （3）计算：_______． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意类比可设，即可求解； （2）①由题意将代入化简即可求解，②将代入化简即可求解； （3）令，从而代入化简即可求解. 【小问1详解】 将“”看成一个整体，令， 原式. 【小问2详解】 ①因为，则有. ②因为，则 . 【小问3详解】 令， 则，， ， 则有 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $