精品解析：上海市闵行区“六校联合教研”2025-2026学年高二上学期期中质量调研数学试卷

闵行区“六校联合教研”2025-2026学年高二上学期期中质量调研数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________ 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1. “点在平面上”用集合符号表示是_____ 2. 若两条不同直线，没有公共点，则，所有可能的位置关系是______. 3. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的_________条件． 4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为__． 5. 如图，是水平放置的的直观图，，则的面积是________． 6. 线段的长度等于它在平面上投影长的2倍，则所在直线与平面所成角的大小为_____. 7. 如图，已知平面，则图中互相垂直的平面有______对. 8. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 9. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______ 10. 已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为__________． 11. 如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为_______. 12. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是______. 二.选择题(本大题共有4题， 13-14每题4分， 15-16每题5分， 满分18分) 13. 已知直线l和平面α相交，则它们所成角的范围是（　　） A B. C. D. 14. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ） A. A，C，，四点共面 B. ，M，O三点共线 C. 平面 D. 与BD异面 16. 如图，棱长为2正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法中：①动点轨迹的长度为；②三棱锥体积的最小值为；③与不可能垂直；④当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为；其中正确的有（     ） A. ① ②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 三.解答题(本题共5道题，14+14+14+18+18，满分78分) 17. 如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求： （1）半球的半径； （2）半球表面积和体积． 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 19. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥；已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． （1）计算该模型的体积； （2）现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 20. 已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面，并求平面到平面距离． 21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行区“六校联合教研”2025-2026学年高二上学期期中质量调研数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________ 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1. “点在平面上”用集合符号表示是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的语言书写即可. 【详解】“点在平面上”用集合符号表示： . 故答案为：. 2. 若两条不同直线，没有公共点，则，所有可能的位置关系是______. 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】根据空间中两直线的位置关系即可得出结论. 【详解】当，在同一平面内时，若两条不同直线，没有公共点,此时两直线平行； 当，不在同一平面内时，两直线无公共点，即两直线异面. 故答案为：平行或异面 3. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的_________条件． 【答案】充要 【解析】 【分析】利用充要条件的判定方法，结合直线与平面平行的定义即可判断． 【详解】由直线平面，易知直线与平面没有公共点，故直线与平面内的任意 直线都没有公共点，故充分性成立； 又由直线与平面内的任意直线都没有公共点，即直线与平面没有任何公共点， 则直线平面，故必要性成立， 故“直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的充要条件． 故答案：充要． 4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，作出异面直线与所成的角，再求出三角形某个内角即得. 【详解】在正方体中，连接， 正方体的对角面是矩形，则， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 而，即是正三角形，则， 所以异面直线与所成的角为. 故答案为： 5. 如图，是水平放置的的直观图，，则的面积是________． 【答案】4 【解析】 【分析】作出的实物图，即可计算出的面积． 【详解】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示： 可知，，且， 因此，的面积为． 故答案为：4． 6. 线段的长度等于它在平面上投影长的2倍，则所在直线与平面所成角的大小为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用锐角三角函数结合线面角的定义求解即可. 【详解】设线段的长度为，其在平面内的射影的长度为. 由题意，. 在直角三角形中，， 因此，线段所在直线与平面所成的角为. 故答案为：. 7. 如图，已知平面，则图中互相垂直的平面有______对. 【答案】3 【解析】 【分析】结合线面垂直的判定定理，根据面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】平面平面平面， 平面平面，平面平面，又平面，. 又平面,平面. 又平面平面平面. 故互相垂直的平面有3对. 故答案为：3 8. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解. 【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 9. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______ 【答案】 【解析】 【分析】过作交于，连接，由线面垂直的性质结合勾股定理可得，则，再根据二面角的定义可知即为二面角的平面角，求即可. 【详解】如图过作交于，连接， 因为底面，底面，所以，，， 因为底面是正方形，， 所以由勾股定理可得，即， 又，，所以，所以， 因为平面平面，所以即为二面角的平面角， 因为，由勾股定理可得，，， 设，则，所以由得， 解得， 所以， 在中由余弦定理可得， 因为，所以， 即二面角大小为， 故答案为： 10. 已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积计算即可. 【详解】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 11. 如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可. 【详解】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得. 故答案为： 12. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是______. 【答案】 【解析】 【分析】将所有直线分为正方体的棱，面对角线，体对角线三类，然后讨论不同情况的时候的异面直线的夹角的余弦值即可. 【详解】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为； 体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是. 二.选择题(本大题共有4题， 13-14每题4分， 15-16每题5分， 满分18分) 13. 已知直线l和平面α相交，则它们所成角的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据直线与平面所成角的定义可得. 【详解】因为直线l和平面α相交但不垂直时，直线与直线在平面内的射影所成的角称为直线与平面所成角.如图： 所以角的范围为； 当直线l与平面垂直时，所成角为. 所以直线l和平面α相交时，直线与平面所成角的范围为. 故选：B. 14. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，则都有 ，又，则使得， ∴，又，∴，故C正确； 对于D：若，，则或或或与相交但不垂直，故D错误. 故选：C 15. 在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ） A. A，C，，四点共面 B. ，M，O三点共线 C. 平面 D. 与BD异面 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可. 【详解】对于A选项，且，所以共面，故A正确； 对于B选项，直线平面，所以平面， 因为直线，又平面，所以平面， 因为为中点，平面，所以平面， 底面为正方形，所以为中点，平面，所以底面， 又平面，平面， 所以平面与平面相交，且在交线上，即三点共线，故B正确； 对于选项C，平面平面，平面，但直线， 所以平面，故C错误； 对于选项D，直线平面，直线平面，， 所以直线与为异面直线，故D正确. 故选：C 16. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法中：①动点轨迹的长度为；②三棱锥体积的最小值为；③与不可能垂直；④当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为；其中正确的有（     ） A. ① ②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对①：由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面，进而得到的轨迹为线段，对②：根据棱锥体积公式分析即可，对③：举反例即可；对④：利用勾股定理求出外接球半径即可． 【详解】对①，如图，令中点为，中点为，连接， 又正方体中，为棱的中点，可得， 所以易得平面，平面， 又，且平面，所以平面平面， 又平面，且平面， 平面，又为正方形内一个动点（包括边界）， 平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段，由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项①正确； 对②，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图， ，易得在处时最小， 此时，所以体积最小值为，故选项②正确； 对③，当为线段中点时，由，可得， 又中点为，中点为，， 而，，故选项③不正确； 对④，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时， 所以在底面三角形的射影为底面外心，，，所以底面三角形为直角三角形， 所以在底面三角形的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为， 由，可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项④正确； 故选：C． 三.解答题(本题共5道题，14+14+14+18+18，满分78分) 17. 如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求： （1）半球的半径； （2）半球的表面积和体积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用球的截面小圆性质结合已知求出半球半径即可. （2）利用球的表面积公式和球的体积公式求解表面积与体积即可. 【小问1详解】 由题意得正方体的棱长为， 则在半球上的正方体4个顶点所在小圆半径为， 而半球球心到此截面小圆距离为， 因此半球半径. 【小问2详解】 由球的表面积公式得半球的表面积， 由球的体积公式得体积. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理进行证明； 【小问1详解】 如图，连，，， 平面平面，平面 【小问2详解】 平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 19. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥；已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． （1）计算该模型的体积； （2）现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）计算出圆柱和圆锥的体积，然后将圆柱的体积减去圆锥的体积可得出几何体的体积； （2）计算出每个几何体的表面积，结合题意可得出涂个这样的模型所花的费用. 【小问1详解】 设圆锥的高为，由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为，则， 设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，， 所以圆柱体积， 圆锥的体积， 故该几何体的体积为. 【小问2详解】 圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. 一个模型的表面积， 所以总费用为（元）. 20. 已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析，平面到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定定理证得平面，再由面面垂直的判定证明结论. （2）根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据点面、面面的距离的定义求得平面到平面的距离. 【小问1详解】 由平面，平面，则，而， 由，平面，则平面， 由平面，则平面平面； 【小问2详解】 依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面， 由（1）知平面，则平面，， 所以平面，平面， 由平面，平面，平面平面， 所以，又点为的中点，则是的中点， 所以平面到平面的距离为. 21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案； （3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出. 【小问1详解】 因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； 【小问3详解】 当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $