精品解析：四川省广元中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

广元中学高2025级高一上期第二次月考 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：李桥 黄心宏 审题人：李林妍 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数是指数函数，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 8. 高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 不等式恒成立 B. 若，，则 C. 若，，满足，则 D. 存在，使得成立 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 与表示同一函数 B. 不等式对一切实数恒成立时，的取值范围是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 11. 对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 方程有三个解 C. 当时，有 D. 函数有最大值为，无最小值 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数 ，则___________. （新课程同步练习册） 13. 函数的定义域是_____ 14. 已知关于x的函数与的图象有2个交点，则的取值范围是 ___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数是上的奇函数，且当时，，求的解析式. 16. 已知函数. （1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； （2）求在区间上的最小值. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 18. 已知函数对任意的，都有，，且当时，. （1）计算： （2）求证：是上的增函数； （3）解不等式. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由： （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元中学高2025级高一上期第二次月考 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：李桥 黄心宏 审题人：李林妍 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】命题，则是. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得，由此可得出结论. 【详解】任取，则，其中，所以，，故， 因此，. 故选：C. 3. 若函数是指数函数，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得. 【详解】由， 因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即得. 【详解】依题意，需使，解得， 即的取值范围为. 故选：B 7. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出函数的图象的示意图，不等式等价于或，结合图象求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图象的示意图如图所示， 由图象知当或时，；当时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 8. 高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题设定义，分，，，和五种情况讨论，即可求解. 【详解】若，则，即，又，此时不等式无解， 若时，则，由，得到， 解得，所以， 若时，则，由，得到， 解得，所以， 若时，则，由，得到， 解得，此时， 当时，，又，而，由，得到， 所以时，不等式无解， 综上所述，或， 故选：D. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 不等式恒成立 B. 若，，则 C. 若，，满足，则 D. 存在，使得成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可判断A选项，利用基本不等式可判断BC选项，举例子判断D选项. 【详解】A选项：当，时，，，所以不成立，故A选项错误； B选项：，，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，故B选项正确； C选项：，，由，得，当且仅当，即时等号成立，故C选项正确； D选项：当时，，所以存在，使得成立，D选项正确； 故选：BCD. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 与表示同一函数 B. 不等式对一切实数恒成立时，的取值范围是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同一函数定义判断A；利用一元二次型不等式恒成立求出范围判断B；利用抽象函数定义域求解判断C；利用不等式的解集求解判断D. 【详解】对于A，函数定义域为，的定义域为R，它们不是同一函数，A错误； 对于B，当时，恒成立；当时，，解得， 因此的取值范围是，B正确； 对于C，的定义域为，在中，，解得， 因此的定义域为，C错误； 对于D，由不等式解集为，得，是方程的二根， 则，即，，D错误. 故选：ACD 11. 对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 方程有三个解 C. 当时，有 D. 函数有最大值为，无最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意求出函数，再对选项逐个判断即可. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则， 对于A，，故A正确； 对于B，当或时，令，解得， 当时，令，解得，方程有三个解，故B正确； 对于C，当或时，令，解得或， 当时，令，解得或， 综上所述，当时，有，故C错误； 对于D，当或时，令，无最小值， 当时，， 综上，函数有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数 ，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. （新课程同步练习册） 13. 函数的定义域是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】由，解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 14. 已知关于x的函数与的图象有2个交点，则的取值范围是 ___________. 【答案】或 【解析】 【分析】先分析并作出两函数的图像，结合图像可得或，从而得解. 【详解】对于函数， 当时，，显然在上单调递增； 当时，，显然在上单调递减； 当时，， 函数，显然的图象开口向下，且与轴交于点，， 作出与的图像如下， 结合图像可知当点在点和点之间时，与的图象有个交点， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，的取值范围是：或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数是上的奇函数，且当时，，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）通过配方法或换元法，将函数自变量从转化为，从而求得解析式. （2）利用奇函数及的性质，分别求出和时的解析式，得到分段函数. 【详解】（1）方法一：配方法 将变形为，故. 方法二：换元法 令，则，代入得， 所以. （2）因为是上的奇函数，所以. 当时，令，则. 又因为，所以. 综上， 16. 已知函数. （1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； （2）求在区间上的最小值. 【答案】（1）； （2） 当时，函数在上的最小值为4； 当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的递增区间，再利用集合的包含关系列式求解. （2）求出函数图象的对称轴，结合二次函数性质求出指定区间上的最小值. 【小问1详解】 函数的单调递增区间为， 由函数在区间上是单调递增，得，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 函数的图象对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增，； 当，即时，函数在上单调递减，； 当时，， 所以当时，函数在上的最小值为4； 当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 则，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 18. 已知函数对任意的，都有，，且当时，. （1）计算： （2）求证：是上的增函数； （3）解不等式. 【答案】（1）3； （2）证明： 设，则，由当时，，于是， 因此， 所以函数是上的增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数等式，赋值计算得解. （2）由已知条件，利用函数单调性的定义推理得证. （3）由（1）的结论，将不等式化为，再利用单调性求解不等式. 【小问1详解】 由对任意的，都有，， 得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，，不等式， 由（2）得，，即，解得， 所以原不等式的解集为. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由： （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数的定义域是， ， 所以函数是奇函数； （2） 函数，，， 令，得，其中，方程无解， 所以定义域内不存在实数，使， 所以不是“局部反比例对称函数”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可判断； （2）根据“局部反比例对称函数”的定义，列方程，转化为一元二次方程是否有实数根的问题，即可求解； （3）首先根据新定义，列方程，再利用换元设，转化为一元二次方程在给定区间有解问题，讨论对称轴和定义域的关系，列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数，， 若函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以，得， 即，其中， 令， 得，， 设，可知函数的对称轴为，开口向上， 当时，由，解得， 当时，由得，得， 综上可知，当时，方程在上有解， 即在上有解， 即是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $