第16讲 圆与扇形（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第16讲 圆与扇形 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深入理解圆和扇形的基本概念，包括圆心、半径、直径、弧、圆心角等。 2.熟练掌握圆和扇形的周长与面积计算公式，并能灵活运用这些公式解决复杂的奥数问题。 3.通过对圆与扇形相关图形的组合与分割问题的学习，培养空间想象能力和逻辑思维能力。 4.学会运用转化、类比等数学思想方法，将不规则的圆与扇形图形转化为规则图形来求解，提高解决实际问题的能力。 知识梳理 知识点一、圆的基本概念 1.圆心：圆中心的一点，用字母 表示。圆心确定圆的位置。 2.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母 表示。半径决定圆的大小。 3.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母 表示。在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，且 。 知识点二、圆的周长 1.定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，一般用字母 表示。 2.计算公式： 或 ，其中 是圆周率，是一个无限不循环小数，通常取值 。 知识点三、圆的面积 1.定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母 表示。 2.计算公式：。推导过程是将圆平均分成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形，长方形的长近似于圆周长的一半（），宽近似于半径 ，根据长方形面积公式 ，得到圆的面积公式 。 知识点四、扇形的基本概念 1.弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 3.扇形：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 知识点五、扇形的弧长与面积 1.弧长公式：（ 是圆心角的度数， 是半径）。 2.面积公式： 或 （ 是弧长， 是半径）。 知识点六、圆与扇形的组合图形 1.图形的分割与组合：对于复杂的圆与扇形组合图形，常常需要通过分割、平移、旋转等方法，将其转化为规则的圆、扇形或其他基本图形，再利用相应的公式进行计算。 2.容斥原理：在计算组合图形面积时，如果出现部分图形重叠的情况，需要使用容斥原理，即 ，避免重复计算。 例题讲解 一、图形的分割与组合 【例题1】已知如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 【例题2】如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【例题3】如图，已知阴影部分的面积为30平方厘米，求圆环的面积。 【例题4】下面图形阴影部分的周长是多少厘米？ 【例题5】求下面阴影部分的面积。 【例题6】草地上有一个边长为3米的等边三角形墙堆，墙角处栓着一只小羊，绳长4米。小羊能吃到草的面积是多少平方米？（小羊长度不计） 二、容斥原理 【例题1】如图有一个等腰直角三角形，其一条直角边为20厘米，那么阴影部分的面积是多少？ 【例题2】如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。CE＝6厘米，CB＝8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 考点练习 一、图形的分割与组合 1．求下图阴影部分的面积。 2．求阴影部分的周长。 3．如图，已知等腰直角三角形ABC，直角边为3厘米，圆的半径为1厘米，求阴影部分的面积。 4．求阴影部分的周长。 5．求阴影部分的面积。 6．一个直角三角形的直角边分别为3厘米和4厘米，斜边为5厘米。这个三角形绕先直角顶点A按顺时针方向旋转90度，然后再绕点D顺时针旋转90度。最后点C到达点G，求点C所走过的总路程的长度（π取3.14）。 7．如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分面积。（单位：厘米） 8．草场上有一个长8米、宽6米的关闭着的羊圈，在羊圈外面的一角用长10米的绳子拴着一只羊（见下图）。这只羊能够活动的范围是多少平方米？ 9．如图，一只小狗拴在一个正五边形建筑的一个端点，已知正五边形建筑的边长为4米，绳子长度为10米，请问小狗的最大活动范围是多少？ 10．淘气到超市里为客人买了四瓶啤酒，售货员将4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示），捆两圈至少要用绳子多少厘米？（打结部分不计）（单位：厘米） 11．一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘的中心转动90度后（如图），小圆盘运动过程中扫出的面积是多少平方厘米？ 12．下图是边长为100厘米的正方形，它的内侧有一个半径为20厘米的圆形沿着边长滚动一周圆形滚动不到的地方有多大面积？这个圆的圆心所经过的总路程是多少厘米？ 13．如图，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，DC是BC的，阴影部分的面积是多少？ 14．如图，圆的直径AB＝12厘米，平行四边形ABCD的面积是36平方厘米，∠ABC＝15度，求阴影部分的面积。 15．如图，已知下图中阴影部分面积为200平方厘米，求两圆之间的环形面积。 16．如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积是多少平方米？ 17．如图，已知正方形ABCD边长为5厘米，∠DEC为45°，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 18．如图为一个以AG作直径的半圆；半圆弧上由点B、C、D、E、F平均分成6等段，CG及DF均为直线；已知半圆的面积为474cm2，求阴影区域的面积？ 二、容斥原理 1．如图，半圆的半径是4厘米，图形甲面积比图形乙面积大1.12平方厘米，求BC的长。 2．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA为半径的圆的一部分，，求图中阴影部分的面积。 3．如下图，三角形ABC是直角三角形，阴影①的面积比阴影②的面积小27.48平方厘米，BC的长度是多少厘米？ 4．如图，已知AC＝4厘米，CB＝6厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 圆与扇形 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深入理解圆和扇形的基本概念，包括圆心、半径、直径、弧、圆心角等。 2.熟练掌握圆和扇形的周长与面积计算公式，并能灵活运用这些公式解决复杂的奥数问题。 3.通过对圆与扇形相关图形的组合与分割问题的学习，培养空间想象能力和逻辑思维能力。 4.学会运用转化、类比等数学思想方法，将不规则的圆与扇形图形转化为规则图形来求解，提高解决实际问题的能力。 知识梳理 知识点一、圆的基本概念 1.圆心：圆中心的一点，用字母 表示。圆心确定圆的位置。 2.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母 表示。半径决定圆的大小。 3.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母 表示。在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，且 。 知识点二、圆的周长 1.定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，一般用字母 表示。 2.计算公式： 或 ，其中 是圆周率，是一个无限不循环小数，通常取值 。 知识点三、圆的面积 1.定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母 表示。 2.计算公式：。推导过程是将圆平均分成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形，长方形的长近似于圆周长的一半（），宽近似于半径 ，根据长方形面积公式 ，得到圆的面积公式 。 知识点四、扇形的基本概念 1.弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 3.扇形：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 知识点五、扇形的弧长与面积 1.弧长公式：（ 是圆心角的度数， 是半径）。 2.面积公式： 或 （ 是弧长， 是半径）。 知识点六、圆与扇形的组合图形 1.图形的分割与组合：对于复杂的圆与扇形组合图形，常常需要通过分割、平移、旋转等方法，将其转化为规则的圆、扇形或其他基本图形，再利用相应的公式进行计算。 2.容斥原理：在计算组合图形面积时，如果出现部分图形重叠的情况，需要使用容斥原理，即 ，避免重复计算。 例题讲解 一、图形的分割与组合 【例题1】已知如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 【答案】10.26平方厘米 【分析】图中阴影部分的形状是不规则图形，将阴影部分通过割补，使其变成规则图形。如下图所示： 阴影部分的面积＝扇形的面积（大圆的面积）－三角形的面积。 【详解】3.14×62×－6×6× ＝3.14×36×－36× ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 【例题2】如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】4.71平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分为不规则图形可考虑整体减去空白。AC左边为半圆，右边为扇形CAB，所以图形总面积为半圆面积＋扇形CAB面积，阴影部分面积为半圆面积＋扇形CAB面积－半圆面积＝扇形CAB面积，所以阴影部分面积转化为扇形CAB的面积，旋转轴AB长3厘米为扇形CAB的半径，根据扇形面积公式计算即可 【详解】（平方厘米） 【例题3】如图，已知阴影部分的面积为30平方厘米，求圆环的面积。 【答案】94.2平方厘米 【分析】观察图形可知，圆环面积无法直接根据公式求出，题中给出的信息为阴影部分面积，阴影部分面积利用整体减空白部分来求，即大正方形面积－小正方形面积。设大正方形边长为R，小正方形边长为r，即分别为大圆半径和小圆半径。因为阴影部分面积为30平方厘米可得，根据圆环面积公式＝3.14×30＝94.2（平方厘米） 【详解】3.14×30＝94.2（平方厘米） 【例题4】下面图形阴影部分的周长是多少厘米？ 【答案】25.12厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分周长由大圆周长一半加两个小圆周长的一半构成。两个小圆的直径和为大圆直径，可知两个小圆周长和等于大圆周长。两个小圆周长一半即为大圆周长一半，所以阴影部分周长转化为大圆周长进行计算。 【详解】2×3.14×4＝25.12（厘米） 【例题5】求下面阴影部分的面积。 【答案】10.56平方厘米 【分析】增加一条辅助线，将阴影部分一分为二。圆面积＝πr2，由此求出半径是4厘米圆的面积，再除以4，求出四分之一圆的面积。三角形面积＝底×高÷2，由此求出大正方形中右上三角形的面积。阴影部分面积＝四分之一圆的面积－右上三角形的面积＋底为3厘米、高为4厘米的阴影三角形的面积。 【详解】如图： 3.14×42÷4－4×4÷2＋3×4÷2 ＝3.14×16÷4－8＋6 ＝12.56－8＋6 ＝10.56（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是10.56平方厘米。 【例题6】草地上有一个边长为3米的等边三角形墙堆，墙角处栓着一只小羊，绳长4米。小羊能吃到草的面积是多少平方米？（小羊长度不计） 【答案】平方米 【分析】如图，根据定点绕线，卡点为旋转点。将活动范围分为3个扇形，大扇形圆心角为360°－60°＝300°，扇形半径为4米；两个相同的小扇形圆心角为180°－60°＝120°，扇形半径为4－3＝1米。根据扇形面积公式计算即可。 【详解】360°－60°＝300° 180°－60°＝120° 4－3＝1（米） （平方米） （平方米） （平方米） 二、容斥原理 【例题1】如图有一个等腰直角三角形，其一条直角边为20厘米，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】114平方厘米 【分析】观察图形可知，图中有3个图形重叠而成，也称为图形的容斥。现将重叠后分成的小图形进行编号，如图。 可得，，，所求阴影部分。观察等量关系可得 【详解】3.14×（平方厘米） 3.14×（平方厘米） 20×20÷2＝200（平方厘米） 157＋157－200＝114（平方厘米） 【例题2】如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。CE＝6厘米，CB＝8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】平方厘米 【分析】观察图形可知，图中有3个图形重叠而成，也称为图形的容斥。现将重叠后分成的小图形进行编号，如图。 可得，，，所求阴影部分。观察等量关系可得 【详解】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 考点练习 一、图形的分割与组合 1．求下图阴影部分的面积。 【答案】2.28 【分析】观察图形可知，阴影部分形如叶子状，可将叶子状分开进行计算。如图，阴影部分分为两个相同部分。分割成的小阴影部分面积可由圆面积－空白三角形面积可得。正方形边长2cm即为圆半径和三角形的底和高。 【详解】3.14×＝3.14 2×2÷2＝2 3.14－2＝1.14 1.14×2＝2.28 2．求阴影部分的周长。 【答案】31.4厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分周长由大圆周长一半加三个小圆周长的一半构成。三个小圆的直径和为大圆直径，可知三个小圆周长和等于大圆周长。三个小圆周长一半即为大圆周长一半，所以阴影部分周长转化为大圆周长进行计算。 【详解】10×3.14＝31.4（厘米） 3．如图，已知等腰直角三角形ABC，直角边为3厘米，圆的半径为1厘米，求阴影部分的面积。 【答案】2.93平方厘米 【分析】由三角形的内角和是180度可知，三个扇形的面积等于半径为1厘米的圆面积的一半，阴影部分的面积等于等腰直角三角形ABC的面积减去半径为1厘米的圆面积的一半，据此列式解答即可。 【详解】3×3÷2－3.14×÷2 ＝9÷2－3.14÷2 ＝4.5－1.57 ＝2.93（平方厘米） 4．求阴影部分的周长。 【答案】92.8厘米 【分析】分析阴影部分周长的组成：阴影部分的周长由半圆的弧长、圆心角为30°的扇形的弧长以及一条线段组成。计算半圆的弧长：圆的周长公式为C＝πd（其中C为周长，d为直径），半圆的弧长是圆周长的一半，所以半圆的弧长为πd，已知直径是30厘米，可以据此计算。计算扇形的弧长：因为整个圆的圆心角是360°，扇形的圆心角是30°，所以扇形的弧长是整个圆周长的，圆的周长公式是C＝2πr（r为半径），这里半径是30厘米，可以算出扇形弧长。计算线段长度：线段长度为30厘米。计算阴影部分周长：把上述三部分长度相加。 【详解】半圆的弧长： 3.14×30× ＝94.2× ＝47.1（厘米） 扇形的弧长： 2×3.14×30× ＝6.28×30× ＝188.4× ＝15.7（厘米） 阴影部分周长： 47.1＋15.7＋30 ＝62.8＋30 ＝92.8（厘米） 答：阴影部分的周长为92.8厘米。 5．求阴影部分的面积。 【答案】41.12cm2 【分析】观察图形可知，空白部分是4个半径为（8÷2）cm的圆，可以组成一个圆；4个半径为（8÷2）cm的圆，合起来是3个圆；所以阴影部分的面积＝正方形的面积－4个圆的面积＋4个圆的面积＝正方形的面积＋2个圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】圆的直径、正方形边长：8÷2＝4（cm） 圆的半径：4÷2＝2（cm） 4×4＋3.14×22×2 ＝16＋3.14×4×2 ＝16＋25.12 ＝41.12（cm2） 阴影部分的面积是41.12cm2。 6．一个直角三角形的直角边分别为3厘米和4厘米，斜边为5厘米。这个三角形绕先直角顶点A按顺时针方向旋转90度，然后再绕点D顺时针旋转90度。最后点C到达点G，求点C所走过的总路程的长度（π取3.14）。 【答案】厘米 【分析】如图，根据题意可知，第一次旋转时C点到达E点，旋转半径为AC长3厘米，旋转角度为90°，第二次旋转时点E到达点G，旋转半径为DE长5厘米，旋转角度为90°，所以C点经过的路程为2个圆弧。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） 7．如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】28.26平方厘米 【分析】观察图形，CD扫过的面积阴影部分为不规则图形，考虑整体－空白的算法。在图中画出AC旋转后AE如图所示，可得总面积为扇形CAE面积＋△AFE面积，空白部分面积为△ADC面积＋扇形DAF面积，由题可知△AFE面积＝△ADC面积，所以阴影部分面积为扇形CAE面积－扇形DAF面积 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 78.5－50.24＝28.26（平方厘米） 8．草场上有一个长8米、宽6米的关闭着的羊圈，在羊圈外面的一角用长10米的绳子拴着一只羊（见下图）。这只羊能够活动的范围是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】如图，根据定点绕线，卡点为旋转点。将活动范围分为3个扇形，大扇形圆心角为360°－90°＝270°，扇形半径为10米；下方小扇形圆心角为90°，扇形半径为10－6＝4米；右方小扇形圆心角为90°，扇形半径为10－8＝2米，根据扇形面积公式计算即可。 【详解】360°－90°＝270° （平方米） （平方米） （平方米） （平方米） 9．如图，一只小狗拴在一个正五边形建筑的一个端点，已知正五边形建筑的边长为4米，绳子长度为10米，请问小狗的最大活动范围是多少？ 【答案】270.04平方米 【分析】如图，根据定点绕线，卡点为旋转点。将活动范围分为3组扇形，一组为半径10米的扇形，圆心角为360°－108°＝252°；一组为半径10－4＝6米的两个扇形，圆心角为180°－108°＝72°；一组为半径为6－4＝2米的两个扇形，圆心角为180°－108°＝72°，然后根据扇形面积公式计算即可。 【详解】360°－108°＝252° 10－4＝6（米） 180°－108°＝72° 6－4＝2（米） （平方米） （平方米） （平方米） （平方米） 答：小狗的最大活动范围是270.04平方米。 10．淘气到超市里为客人买了四瓶啤酒，售货员将4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示），捆两圈至少要用绳子多少厘米？（打结部分不计）（单位：厘米） 【答案】42.84厘米 【分析】观察图形，捆绳部分有线段有曲线，现在将曲线和线段分开后如图，曲线部分为4个相同圆，线段部分为4条直径，捆一圈的长度为一个圆的周长＋4条直径的长度。圆周长：3.14×6＝18.84厘米。4条直径：4×6＝24厘米。则捆一圈的长度为：18.84＋24＝42.84厘米 【详解】3.14×6＝18.84（厘米） 4×6＝24（厘米） 18.84＋24＝42.84（厘米） 11．一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘的中心转动90度后（如图），小圆盘运动过程中扫出的面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84平方厘米 【分析】观察图形可知，小圆盘运功过程中扫过的面积由2部分构成，一个扇形环和2个相同的半圆面积。2个相同的半圆面积为小圆面积3.14×＝3.14（平方厘米）。扇环的面积可由大扇形面积－小扇形面积：（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米）。所以小圆扫过的面积为7.065＋3.14＝10.205（平方厘米） 【详解】3.14×＝3.14（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 15.7＋3.14＝18.84（平方厘米） 答：小圆盘运动过程中扫出的面积是18.84平方厘米。 12．下图是边长为100厘米的正方形，它的内侧有一个半径为20厘米的圆形沿着边长滚动一周圆形滚动不到的地方有多大面积？这个圆的圆心所经过的总路程是多少厘米？ 【答案】486平方厘米；240厘米 【分析】如图，根据题意得出小圆圆心运动过程为一个正方形，正方形边长为100－20－20＝60厘米。可得小圆圆心经过的总路程为60×4＝240厘米。小圆无法滚动到的地方如图4个相同的阴影部分加边长20的正方形，阴影部分面积可由小正方形面积－圆面积，20×20－3.14×＝400－314＝86平方厘米；据此计算即可。 【详解】20×20－3.14× ＝400－314 ＝86（平方厘米） 20×20＝400（平方厘米） 400＋86＝486（平方厘米） 60×4＝240（厘米） 13．如图，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，DC是BC的，阴影部分的面积是多少？ 【答案】5.52平方厘米 【分析】三角形ABC的面积是31.2平方厘米，DC是BC的，可得，所以（平方厘米）。阴影部分不规则，可考虑整体减部分，所以连接DO。阴影部分面积＝扇形AOD面积－三角形AOD的面积。（平方厘米）。 要求扇形的面积得先求其圆心角的度数，∠DOC＝180°－60°－60°＝60°，所以∠AOD＝180°－60°＝120°，所以（平方厘米），所以阴影部分面积为（平方厘米） 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 180°－60°－60°＝60° 180°－60°＝120° （平方厘米） （平方厘米） 14．如图，圆的直径AB＝12厘米，平行四边形ABCD的面积是36平方厘米，∠ABC＝15度，求阴影部分的面积。 【答案】17.58平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分为不规则图形，题目中已给出平行四边形ABCD的面积是36平方厘米，可考虑整体减空白部分面积，但是空白部分也为不规则图形，可连接OC将空白部分分为△OBC与扇形AOC。因为∠ABC＝15°，所以∠COB＝180°－15°－15°＝150°，∠AOC＝180°－150°＝30°，所以（平方厘米），△OBC与平行四边形等高，即36÷12＝3厘米，所以△OBC＝3×（12÷2）÷2＝9（平方厘米），所以阴影部分面积＝36－9.42－9＝17.58（平方厘米） 【详解】180°－15°－15°＝150° 180°－150°＝30° （平方厘米） 36÷12＝3 3×（12÷2）÷2＝9（平方厘米） 36－9.42－9＝17.58（平方厘米） 15．如图，已知下图中阴影部分面积为200平方厘米，求两圆之间的环形面积。 【答案】157平方厘米 【分析】观察图形可知，圆环面积无法直接根据公式求出，题中给出的信息为阴影部分面积，阴影部分面积利用整体减空白部分来求，即大正方形面积－小正方形面积。设大正方形边长为2R，小正方形边长为2r，即分别为大圆半径和小圆半径。因为阴影部分面积为200平方厘米可得，得，根据圆环面积公式＝3.14×50＝157（平方厘米） 【详解】200÷ 3.14×50＝157（平方厘米） 16．如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积是多少平方米？ 【答案】157平方米 【分析】观察图形可知，圆环面积无法直接根据公式求出，题中给出的信息为阴影部分面积，阴影部分面积利用整体减空白部分来求。利用△AOB面积－△DOC面积，即＝25，可得＝50，观察图形AO为大圆半径，DO为小圆半径。圆环面积公式，即3.14×50＝157（平方米） 【详解】25×2＝50（平方米） 3.14×50＝157（平方米） 17．如图，已知正方形ABCD边长为5厘米，∠DEC为45°，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】19.625平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分为不规则图形。如图，根据叶子状可以连接AC将阴影部分分割成2部分，左边部分面积可由圆面积（扇形ACD）－△ADC面积进行计算，右边部分可直接根据三角形面积公式以CE为底，AB为高进行计算。然后将两部分面积相加即为阴影部分面积。，通过观察发现。所以 【详解】3.14×＝19.625（平方厘米） 18．如图为一个以AG作直径的半圆；半圆弧上由点B、C、D、E、F平均分成6等段，CG及DF均为直线；已知半圆的面积为474cm2，求阴影区域的面积？ 【答案】158cm2 【分析】根据题意，如图为一个以AG作直径的半圆。半圆弧上由点B、C、D、E、F平均分成6等段，CG及DF均为直线，可知△AOC和△COG等底等高，所以②和③的面积相等，①的面积和⑤的面积相等，阴影部分的面积半圆的面积－③的面积－⑤的面积半圆的面积－②的面积－①的面积半圆的面积半圆的面积，半圆的面积是474cm2，代入式子计算即可。 【详解】如图： ＝316－158 ＝158（cm2） 答：阴影区域的面积是158cm2。 二、容斥原理 1．如图，半圆的半径是4厘米，图形甲面积比图形乙面积大1.12平方厘米，求BC的长。 【答案】6厘米 【分析】观察图形可知，图为一个直角三角形和一个半圆重叠而成，重叠部分（空白部分）面积相等。，，可知与的差为与的差。（平方厘米），因为比大1.12平方厘米，可得（平方厘米） 根据三角形面积公式，知道底边长4×2＝8cm，知道面积即可求高BC，BC＝24×2÷8＝6（厘米） 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 4×2＝8（厘米） 24×2÷8＝6（厘米） 2．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA为半径的圆的一部分，，求图中阴影部分的面积。 【答案】18.24平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分的面积有一部分是重合的，阴影部分的面积＝直径8厘米的半圆面积＋弧AD半径CA的扇形面积－三角形面积。 【详解】3.14×（8÷2）²÷2＋3.14×8²×－8×8÷2 ＝3.14×16÷2＋3.14×64×－32 ＝25.12＋25.12－32 ＝18.24（平方厘米） 3．如下图，三角形ABC是直角三角形，阴影①的面积比阴影②的面积小27.48平方厘米，BC的长度是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】观察图形可知，图为一个直角三角形和一个半圆重叠而成，重叠部分（空白部分）面积相等。，，可知与的差为与的差。（平方厘米），因为比小平方厘米，可得（平方厘米） 根据三角形面积公式，知道底边长12厘米，知道面积即可求高BC，BC＝84×2÷12＝14（厘米） 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 84×2÷12＝14（厘米） 4．如图，已知AC＝4厘米，CB＝6厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】8.41平方厘米 【分析】观察图形可知，图中有3个图形重叠而成，也称为图形的容斥。现将重叠后分成的小图形进行编号，如图。 可得，，，所求阴影部分。观察等量关系可得 【详解】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 6.28＋14.13－12＝8.41（平方厘米） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $