第16讲 定义新运算（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第16讲 定义新运算 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解定义新运算的概念和基本特征 2.掌握新运算符号的含义及运算规则 3.学会分析新运算表达式的结构和运算顺序 4.能够运用新运算规则解决实际问题 5.培养抽象思维能力和灵活运用知识的能力 6.提高数学阅读理解能力和问题转化能力 知识梳理 知识点一、定义新运算的基本概念 1.定义：用一个全新的符号表示一种特定的运算规则，这种运算规则不是我们通常使用的加、减、乘、除四则运算。 2.特点： （1）有全新的运算符号（如△、○、※、★、□等） （2）有明确的运算规则 （3）运算结果由新定义的规则决定 （4）优先级通常按照从左到右的顺序计算，有括号先算括号内 知识点二、解题基本步骤 1.认真审题：理解新运算符号的含义和运算规则 2.代入计算：将具体数字按照新规则代入运算式 3.遵循顺序：按照新运算的顺序进行计算 4.检验结果：检查运算过程是否符合新运算规则 知识点三、常见新运算类型 1.直接定义型 （1）直接给出运算公式 （2）示例：定义a△b=2a+3b，则3△4=2×3+3×4=6+12=18 2.分步计算型 （1）需要多步运算才能得到结果 （2）示例：定义a※b=a×b-(a+b)，则5※3=5×3-(5+3)=15-8=7 3.规律推导型 （1）通过已知算式推导出运算规则 （2）示例：已知2○3=9，3○4=16，4○5=25，推导出a○b=(a+b)²÷4 4.复合运算型 （1）包含多个新运算符号或与四则运算混合 （2）示例：a△b=a+b-2，a□b=a×b-2，计算(3△4)□5 知识点四、解题技巧总结 1.抓住关键：重点理解新运算符号的定义规则 2.耐心细致：严格按照定义的规则进行计算，不要与常规运算混淆 3.分步计算：复杂的新运算可以分步进行，先算括号内再算括号外 4.寻找规律：对于有规律的新运算，先找出规律再计算 5.反向思维：已知运算结果求未知数时，可采用逆推法 6.注意括号：有括号时要先算括号内的运算 例题讲解 一、直接定义型 【例题1】定义a△b=3a+4b，求2△5的值。 【例题2】定义x○y=5x-2y，求7○3的值。 二、分步计算型 【例题1】定义m○n=m÷n+5(m>n)，求(10○5)○2的值。 【例题2】定义x△y=2x+3y，求(4△3)△2的值。 三、规律推导型 【例题1】已知3△2=7，4△3=11，5△4=15，6△5=19，推导a△b的运算规则，并求8△3的值。 【例题2】已知1※5=6，2※6=8，3※7=10，4※8=12，推导a※b的运算规则，并求5※9的值。 四、复合运算型 【例题1】定义a△b=a+b-3，a□b=a×b+2，计算(4△5)□6的值。 【例题2】定义x○y=2x+y，x※y=x+3y，计算(3○4)※(5○2)的值。 考点练习 一、直接定义型 1.定义m※n=m×n+6，求4※8的值。 2.定义a□b=(a+b)÷2，求10□6的值。 3.定义x★y=2x+y-3，求5★4的值。 4.定义a◇b=a×3-b×2，求9◇4的值。 5.定义m△n=m+n+5，求3△7的值。 6.定义x○y=x÷2+y×3，求8○6的值。 二、分步计算型 1.定义a□b=a×2+b÷2，求4□(6□8)的值。 2.定义x★y=3x-y，求(5★3)★(4★1)的值。 3.定义a◇b=a+b-6，求(7◇3)◇(8◇5)的值。 4.定义m△n= m×n-4，求(3△4)△(2△5)的值。 5.定义x○y=(x+y)×2，求(3○4)○(5○2)的值。 三、规律推导型 1.已知2○3=8，3○4=13，4○5=18，5○6=23，推导a○b的运算规则，并求7○2的值。 2.已知3□4=13，4□5=17，5□6=21，6□7=25，推导a□b的运算规则，并求2□3的值。 3.已知5△3=22，6△4=31，7△5=40，8△6=49，推导a△b的运算规则，并求9△7的值。 4.已知2★4=10，3★5=14，4★6=18，5★7=22，推导a★b的运算规则，并求6★8的值。 5.已知1○5=9，2○4=10，3○3=11，4○2=12，5○1=13，推导a○b的运算规则，并求6○0的值。 6.已知3※2=8，4※3=15，5※4=24，6※5=35，推导a※b的运算规则，并求7※6的值。 四、复合运算型 1.定义m◇n=m×n-5，m△n=m+n+4，计算(2◇3)△(4◇1)的值。 2.定义a★b=3a-2b，a□b=a+b，计算(5★3)□(2★4)的值。 3.定义x○y=x÷y(x>y)，x△y=x×y，计算(10○5)△(8○2)的值。 4.定义m※n=m+n-4，m□n=m×n+1，计算(3※5)□(2※6)的值。 5.定义a△b=2a+b，a○b=a+2b，a□b=a×b，计算(2△3)○(4□1)的值。 6.定义x★y=5x-3y，x◇y=x+y+2，x※y=x×y-5，计算(3★2)◇(4※5)的值。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 定义新运算 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解定义新运算的概念和基本特征 2.掌握新运算符号的含义及运算规则 3.学会分析新运算表达式的结构和运算顺序 4.能够运用新运算规则解决实际问题 5.培养抽象思维能力和灵活运用知识的能力 6.提高数学阅读理解能力和问题转化能力 知识梳理 知识点一、定义新运算的基本概念 1.定义：用一个全新的符号表示一种特定的运算规则，这种运算规则不是我们通常使用的加、减、乘、除四则运算。 2.特点： （1）有全新的运算符号（如△、○、※、★、□等） （2）有明确的运算规则 （3）运算结果由新定义的规则决定 （4）优先级通常按照从左到右的顺序计算，有括号先算括号内 知识点二、解题基本步骤 1.认真审题：理解新运算符号的含义和运算规则 2.代入计算：将具体数字按照新规则代入运算式 3.遵循顺序：按照新运算的顺序进行计算 4.检验结果：检查运算过程是否符合新运算规则 知识点三、常见新运算类型 1.直接定义型 （1）直接给出运算公式 （2）示例：定义a△b=2a+3b，则3△4=2×3+3×4=6+12=18 2.分步计算型 （1）需要多步运算才能得到结果 （2）示例：定义a※b=a×b-(a+b)，则5※3=5×3-(5+3)=15-8=7 3.规律推导型 （1）通过已知算式推导出运算规则 （2）示例：已知2○3=9，3○4=16，4○5=25，推导出a○b=(a+b)²÷4 4.复合运算型 （1）包含多个新运算符号或与四则运算混合 （2）示例：a△b=a+b-2，a□b=a×b-2，计算(3△4)□5 知识点四、解题技巧总结 1.抓住关键：重点理解新运算符号的定义规则 2.耐心细致：严格按照定义的规则进行计算，不要与常规运算混淆 3.分步计算：复杂的新运算可以分步进行，先算括号内再算括号外 4.寻找规律：对于有规律的新运算，先找出规律再计算 5.反向思维：已知运算结果求未知数时，可采用逆推法 6.注意括号：有括号时要先算括号内的运算 例题讲解 一、直接定义型 【例题1】定义a△b=3a+4b，求2△5的值。 【答案】26 【分析】直接应用运算公式a△b=3a+4b，将a=2，b=5代入计算。 【详解】2△5=3×2+4×5=6+20=26 【例题2】定义x○y=5x-2y，求7○3的值。 【答案】29 【分析】直接应用运算公式x○y=5x-2y，将x=7，y=3代入计算。 【详解】7○3=5×7-2×3=35-6=29 二、分步计算型 【例题1】定义m○n=m÷n+5(m>n)，求(10○5)○2的值。 【答案】10 【分析】先计算括号内的10○5，再将结果与2进行○运算。 【详解】10○5=10÷5+5=2+5=7；7○2=7÷2+5=3.5+5=8.5，答案为8.5 【例题2】定义x△y=2x+3y，求(4△3)△2的值。 【答案】40 【分析】先计算括号内的4△3，再将结果与2进行△运算。 【详解】4△3=2×4+3×3=8+9=17；17△2=2×17+3×2=34+6=40 三、规律推导型 【例题1】已知3△2=7，4△3=11，5△4=15，6△5=19，推导a△b的运算规则，并求8△3的值。 【答案】27 【分析】观察规律：3△2=3×2+1=7，4△3=4×3-1=11，5△4=5×3=15，6△5=6×3+1=19，可推导出a△b=2a+b+1 【详解】通过观察发现规律为a△b=2a+b+1，因此8△3=2×8+3+1=20 【例题2】已知1※5=6，2※6=8，3※7=10，4※8=12，推导a※b的运算规则，并求5※9的值。 【答案】14 【分析】观察规律：1※5=1+5=6，2※6=2+6=8，3※7=3+7=10，4※8=4+8=12，可推导出a※b=a+b 【详解】运算规则为a※b=a+b，因此5※9=5+9=14 四、复合运算型 【例题1】定义a△b=a+b-3，a□b=a×b+2，计算(4△5)□6的值。 【答案】56 【分析】先计算括号内的△运算，再计算结果与6的□运算。 【详解】4△5=4+5-3=6；6□6=6×6+2=38 【例题2】定义x○y=2x+y，x※y=x+3y，计算(3○4)※(5○2)的值。 【答案】47 【分析】先分别计算括号内的○运算，再计算结果的※运算。 【详解】3○4=2×3+4=10；5○2=2×5+2=12；10※12=10+3×12=46 考点练习 一、直接定义型 1.定义m※n=m×n+6，求4※8的值。 【答案】38 【分析】直接应用运算公式m※n=m×n+6，将m=4，n=8代入计算。 【详解】4※8=4×8+6=32+6=38 2.定义a□b=(a+b)÷2，求10□6的值。 【答案】8 【分析】直接应用运算公式a□b=(a+b)÷2，将a=10，b=6代入计算。 【详解】10□6=(10+6)÷2=16÷2=8 3.定义x★y=2x+y-3，求5★4的值。 【答案】11 【分析】直接应用运算公式x★y=2x+y-3，将x=5，y=4代入计算。 【详解】5★4=2×5+4-3=10+4-3=11 4.定义a◇b=a×3-b×2，求9◇4的值。 【答案】19 【分析】直接应用运算公式a◇b=a×3-b×2，将a=9，b=4代入计算。 【详解】9◇4=9×3-4×2=27-8=19 5.定义m△n=m+n+5，求3△7的值。 【答案】15 【分析】直接应用运算公式m△n=m+n+5，将m=3，n=7代入计算。 【详解】3△7=3+7+5=15 6.定义x○y=x÷2+y×3，求8○6的值。 【答案】22 【分析】直接应用运算公式x○y=x÷2+y×3，将x=8，y=6代入计算。 【详解】8○6=8÷2+6×3=4+18=22 二、分步计算型 1.定义a□b=a×2+b÷2，求4□(6□8)的值。 【答案】18 【分析】先计算括号内的6□8，再计算4与结果的□运算。 【详解】6□8=6×2+8÷2=12+4=16；4□16=4×2+16÷2=8+8=16 2.定义x★y=3x-y，求(5★3)★(4★1)的值。 【答案】8 【分析】先分别计算括号内的5★3和4★1，再计算两个结果的★运算。 【详解】5★3=3×5-3=15-3=12；4★1=3×4-1=12-1=11；12★11=3×12-11=36-11=25 3.定义a◇b=a+b-6，求(7◇3)◇(8◇5)的值。 【答案】7 【分析】先分别计算括号内的7◇3和8◇5，再计算两个结果的◇运算。 【详解】7◇3=7+3-6=4；8◇5=8+5-6=7；4◇7=4+7-6=5 4.定义m△n= m×n-4，求(3△4)△(2△5)的值。 【答案】80 【分析】先分别计算括号内的3△4和2△5，再计算两个结果的△运算。 【详解】3△4=3×4-4=12-4=8；2△5=2×5-4=10-4=6；8△6=8×6-4=48-4=44 5.定义x○y=(x+y)×2，求(3○4)○(5○2)的值。 【答案】48 【分析】先分别计算括号内的3○4和5○2，再计算两个结果的○运算。 【详解】3○4=(3+4)×2=14；5○2=(5+2)×2=14；14○14=(14+14)×2=56 三、规律推导型 1.已知2○3=8，3○4=13，4○5=18，5○6=23，推导a○b的运算规则，并求7○2的值。 【答案】22 【分析】观察规律：2○3=2×3+2=8，3○4=3×3+4=13，4○5=4×3+6=18，5○6=5×3+8=23，可推导出a○b=3a+2(b-a)=2b+a 【详解】运算规则为a○b=2b+a，因此7○2=2×2+7=11 2.已知3□4=13，4□5=17，5□6=21，6□7=25，推导a□b的运算规则，并求2□3的值。 【答案】10 【分析】观察规律：3□4=3×3+4=13，4□5=4×3+5=17，5□6=5×3+6=21，可推导出a□b=3a+b 【详解】运算规则为a□b=3a+b，因此2□3=3×2+3=9 3.已知5△3=22，6△4=31，7△5=40，8△6=49，推导a△b的运算规则，并求9△7的值。 【答案】58 【分析】观察规律：5△3=5×4+2=22，6△4=6×4+7=31，7△5=7×4+12=40，8△6=8×4+17=49，可推导出a△b=4a+b+2 【详解】运算规则为a△b=4a+b+2，因此9△7=4×9+7+2=45 4.已知2★4=10，3★5=14，4★6=18，5★7=22，推导a★b的运算规则，并求6★8的值。 【答案】26 【分析】观察规律：2★4=2×3+4=10，3★5=3×3+5=14，4★6=4×3+6=18，可推导出a★b=3a+b+1 【详解】运算规则为a★b=3a+b+1，因此6★8=3×6+8+1=27 5.已知1○5=9，2○4=10，3○3=11，4○2=12，5○1=13，推导a○b的运算规则，并求6○0的值。 【答案】14 【分析】观察规律：1○5=1+5+3=9，2○4=2+4+4=10，3○3=3+3+5=11，可推导出a○b=a+b+(a+3) 【详解】运算规则为a○b=2a+b+3，因此6○0=2×6+0+3=15 6.已知3※2=8，4※3=15，5※4=24，6※5=35，推导a※b的运算规则，并求7※6的值。 【答案】48 【分析】观察规律：3※2=3×3-1=8，4※3=4×4-1=15，5※4=5×5-1=24，可推导出a※b=a²-1 【详解】运算规则为a※b=a²-1，因此7※6=7×7-1=48 四、复合运算型 1.定义m◇n=m×n-5，m△n=m+n+4，计算(2◇3)△(4◇1)的值。 【答案】14 【分析】先分别计算括号内的◇运算，再计算结果的△运算。 【详解】2◇3=2×3-5=1；4◇1=4×1-5=-1；1△(-1)=1+(-1)+4=4 2.定义a★b=3a-2b，a□b=a+b，计算(5★3)□(2★4)的值。 【答案】11 【分析】先分别计算括号内的★运算，再计算结果的□运算。 【详解】5★3=3×5-2×3=9；2★4=3×2-2×4=-2；9□(-2)=9+(-2)=7 3.定义x○y=x÷y(x>y)，x△y=x×y，计算(10○5)△(8○2)的值。 【答案】16 【分析】先分别计算括号内的○运算，再计算结果的△运算。 【详解】10○5=10÷5=2；8○2=8÷2=4；2△4=2×4=8 4.定义m※n=m+n-4，m□n=m×n+1，计算(3※5)□(2※6)的值。 【答案】33 【分析】先分别计算括号内的※运算，再计算结果的□运算。 【详解】3※5=3+5-4=4；2※6=2+6-4=4；4□4=4×4+1=17 5.定义a△b=2a+b，a○b=a+2b，a□b=a×b，计算(2△3)○(4□1)的值。 【答案】15 【分析】先计算括号内的△运算和□运算，再计算结果的○运算。 【详解】2△3=2×2+3=7；4□1=4×1=4；7○4=7+2×4=15 6.定义x★y=5x-3y，x◇y=x+y+2，x※y=x×y-5，计算(3★2)◇(4※5)的值。 【答案】19 【分析】先分别计算括号内的★运算和※运算，再计算结果的◇运算。 【详解】3★2=5×3-3×2=9；4※5=4×5-5=15；9◇15=9+15+2=26 第 1 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