第16讲 数字趣谈（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第16讲 数字趣谈 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.尝试使用探索法和分类统计法解决自然数列计数问题 2.掌握枚举计数、数论综合、乘法原理和位值原理等基本方法 3.能够运用所学知识解决数字排列、页码计算、倍数问题等实际应用题目 知识梳理 知识点一、知识概述 在日常生活中，0-9是我们最常见的数字，由这些数字构成的自然数列中存在很多有趣的计数问题。解决这类问题通常采用尝试探索法和分类统计法，通过有序思考和逻辑分析，找到问题的解决方案。 知识点二、枚举计数 枚举计数是解决数字问题的基础方法，通过有序列举或分类统计，确保不重复、不遗漏地找出所有符合条件的结果。 1. 倍数问题 （1）基础型：在指定范围内找出某个数的倍数。 （2）进阶型：较大范围的倍数计数，可通过计算范围两端的倍数数量差求解。 （3）方法： ①计算较小数÷倍数=商...余数，得到较小数以内的倍数个数 ②计算较大数÷倍数=商...余数，得到较大数以内的倍数个数 ③两者相减得到指定范围内的倍数个数 2. 数字拆分问题：将一个数拆分成几个不同自然数的和，需按一定顺序枚举。 3. 页码计算问题 （1）计算页码所用数码个数： ①一位数（1-9）：共9页，每页1个数码，共9×1=9个 ②两位数（10-99）：共90页，每页2个数码，共90×2=180个 ③三位数（100-999）：共900页，每页3个数码，共900×3=2700个 ④依次类推，将各段数码个数相加 （2）已知数码个数求页码： ①先确定页码位数范围 ②减去前面数位所用数码个数，得到剩余数码 ③用剩余数码除以当前数位所需数码个数，得到页数 ④加上前面数位的最大页码，得到总页数 4. 数字出现次数问题：计算某个数字在特定范围内出现的次数，需按数位分类统计。 知识点三、计数和数论的综合题 结合数论知识解决计数问题，主要涉及整除特性和周期规律。 1. 整除问题的计数方法 （1）基础方法：找出数列中能被某个数整除的数的个数 （2）周期规律：连续自然数除以同一个数，余数呈现周期性变化（周期为除数） （3）计算步骤： ①确定数列范围和除数 ②计算数列长度÷周期，得到商和余数 ③根据余数判断各类余数的个数 知识点四、计数问题中的乘法原理 1. 基本原理 （1）加法原理：分类计数，类类独立 （2）乘法原理：分步计数，步步相关 （3）核心思想：完成一个任务需要N步，每步分别有A、B、C...种方法，则总方法数为A×B×C×... 2. 应用场景 （1）路线问题：从A地到B地有多种路线，从B地到C地有多种路线，求从A到C的总路线数。 （2）数字排列问题： ①组成四位数：分四步确定千位、百位、十位、个位数字 ②组成特定类型数：优先考虑特殊位置（如末位） 知识点五、数论中位值原理的应用 位值原理是用代数思想解决数字问题的基础，体现了数字位置与数值的对应关系。 1. 位值原理的表示方法 （1）全部展开：如1234=1×1000+2×100+3×10+4×1 （2）灵活展开：根据题意需要展开，如1234=12×100+34×1 2. 应用实例 （1）两位数问题：设两位数为ab（a为十位数字，b为个位数字），则数值为10a+b （2）三位数问题：设三位数为abc，则数值为100a+10b+c （3）解题步骤： ①根据题意设出数字表达式 ②根据位值原理列出方程 ③解方程求出数字 ④验证结果是否符合题意 例题讲解 一、枚举计数 【例题1】在20和50之间有多少个数是4的倍数？ 【例题2】将12拆分成两个不同的自然数之和，有多少种不同的拆分方法？ 【例题3】一本书共有120页，计算编写这本书的页码一共用了多少个数码？ 【例题4】在1~50中，数字"3"出现了多少次？ 二、计数和数论的综合题 【例题1】在1~100中，能被3整除的数有多少个？ 【例题2】在1~50中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？ 【例题3】有一列数：2、5、3、7、2、5、3、7、…，第30个数是几？ 【例题4】2023年6月1日是星期四，那么2023年8月1日是星期几？ 三、计数问题中的乘法原理 【例题1】从A地到B地，有3条公路和2条铁路可以直接到达，从A地到B地共有多少种不同的走法？ 【例题2】从A地到B地有3条路，从B地到C地有4条路，从A地经过B地到C地共有多少种不同的走法？ 【例题3】从1楼到2楼有3部电梯和2个楼梯，从2楼到3楼有2部电梯和3个楼梯，从1楼到3楼共有多少种不同的走法？ 【例题4】用数字1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 四、数论中位值原理的应用 【例题1】一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，这个两位数可能是多少？ 【例题2】一个三位数，百位数字是1，十位数字是a，个位数字是b，这个三位数可以表示为什么？ 考点练习 一、枚举计数 1.在100和500之间有多少个数是7的倍数？ 2.将15拆分成三个不同的自然数之和，且每个数都大于2，有多少种不同的拆分方法？ 3.一本书在编页码时共用了192个数码，这本书共有多少页？ 4.在1~120中，数字"1"出现了多少次？ 二、计数和数论的综合题 1.在20~150中，能同时被2和5整除的数有多少个？ 2.有一列数：1、2、3、…、50，从中任取一个数，这个数除以4余1的可能性是多少？ 3.有一列数：1、1、2、3、5、8、13、…，按此规律排列，第15个数是奇数还是偶数？ 4.有一列数：1、2、3、4、5、6、1、2、3、4、5、6、…，前40个数的和是多少？ 三、计数问题中的乘法原理 1.书架上有5本不同的故事书和4本不同的科技书，小明想从中选一本书，共有多少种不同的选法？ 2.小红有3件不同的上衣和4条不同的裤子，她共有多少种不同的穿法？ 3.如图，从学校到图书馆有2条路，从图书馆到博物馆有3条路，从博物馆到科技馆有2条路，从学校经过图书馆、博物馆到科技馆共有多少种不同的走法？ 4.用数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 四、数论中位值原理的应用 1.一个两位数，十位数字与个位数字的和是9，交换十位与个位数字后得到的新数比原数大27，求原数。 2.一个两位数，个位数字比十位数字大4，如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到的新数与原数的和是154，求原数。 3.一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，如果把这个两位数的十位数字与个位数字都扩大到原来的2倍，得到的新数是多少？ 4.一个三位数，三个数位上的数字之和是15，百位数字比十位数字大5，个位数字是十位数字的3倍，求这个三位数。 5.一个三位数，各位数字之和是12，百位数字是个位数字的2倍，这样的三位数有多少个？ 6.一个三位数，将它的个位数字与百位数字交换位置后得到一个新数，新数与原数的差一定是99的倍数，为什么？ 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 数字趣谈 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.尝试使用探索法和分类统计法解决自然数列计数问题 2.掌握枚举计数、数论综合、乘法原理和位值原理等基本方法 3.能够运用所学知识解决数字排列、页码计算、倍数问题等实际应用题目 知识梳理 知识点一、知识概述 在日常生活中，0-9是我们最常见的数字，由这些数字构成的自然数列中存在很多有趣的计数问题。解决这类问题通常采用尝试探索法和分类统计法，通过有序思考和逻辑分析，找到问题的解决方案。 知识点二、枚举计数 枚举计数是解决数字问题的基础方法，通过有序列举或分类统计，确保不重复、不遗漏地找出所有符合条件的结果。 1. 倍数问题 （1）基础型：在指定范围内找出某个数的倍数。 （2）进阶型：较大范围的倍数计数，可通过计算范围两端的倍数数量差求解。 （3）方法： ①计算较小数÷倍数=商...余数，得到较小数以内的倍数个数 ②计算较大数÷倍数=商...余数，得到较大数以内的倍数个数 ③两者相减得到指定范围内的倍数个数 2. 数字拆分问题：将一个数拆分成几个不同自然数的和，需按一定顺序枚举。 3. 页码计算问题 （1）计算页码所用数码个数： ①一位数（1-9）：共9页，每页1个数码，共9×1=9个 ②两位数（10-99）：共90页，每页2个数码，共90×2=180个 ③三位数（100-999）：共900页，每页3个数码，共900×3=2700个 ④依次类推，将各段数码个数相加 （2）已知数码个数求页码： ①先确定页码位数范围 ②减去前面数位所用数码个数，得到剩余数码 ③用剩余数码除以当前数位所需数码个数，得到页数 ④加上前面数位的最大页码，得到总页数 4. 数字出现次数问题：计算某个数字在特定范围内出现的次数，需按数位分类统计。 知识点三、计数和数论的综合题 结合数论知识解决计数问题，主要涉及整除特性和周期规律。 1. 整除问题的计数方法 （1）基础方法：找出数列中能被某个数整除的数的个数 （2）周期规律：连续自然数除以同一个数，余数呈现周期性变化（周期为除数） （3）计算步骤： ①确定数列范围和除数 ②计算数列长度÷周期，得到商和余数 ③根据余数判断各类余数的个数 知识点四、计数问题中的乘法原理 1. 基本原理 （1）加法原理：分类计数，类类独立 （2）乘法原理：分步计数，步步相关 （3）核心思想：完成一个任务需要N步，每步分别有A、B、C...种方法，则总方法数为A×B×C×... 2. 应用场景 （1）路线问题：从A地到B地有多种路线，从B地到C地有多种路线，求从A到C的总路线数。 （2）数字排列问题： ①组成四位数：分四步确定千位、百位、十位、个位数字 ②组成特定类型数：优先考虑特殊位置（如末位） 知识点五、数论中位值原理的应用 位值原理是用代数思想解决数字问题的基础，体现了数字位置与数值的对应关系。 1. 位值原理的表示方法 （1）全部展开：如1234=1×1000+2×100+3×10+4×1 （2）灵活展开：根据题意需要展开，如1234=12×100+34×1 2. 应用实例 （1）两位数问题：设两位数为ab（a为十位数字，b为个位数字），则数值为10a+b （2）三位数问题：设三位数为abc，则数值为100a+10b+c （3）解题步骤： ①根据题意设出数字表达式 ②根据位值原理列出方程 ③解方程求出数字 ④验证结果是否符合题意 例题讲解 一、枚举计数 【例题1】在20和50之间有多少个数是4的倍数？ 【答案】7个 【分析】先找出20到50之间最小的4的倍数和最大的4的倍数，再计算个数。 【详解】20到50之间4的倍数有：24（4×6）、28（4×7）、32（4×8）、36（4×9）、40（4×10）、44（4×11）、48（4×12），共7个数。 【例题2】将12拆分成两个不同的自然数之和，有多少种不同的拆分方法？ 【答案】5种 【分析】按一定顺序枚举，确保不重复、不遗漏。 【详解】12可以拆分为：1+11、2+10、3+9、4+8、5+7，共5种不同的拆分方法（6+6因两个数相同，不符合要求）。 【例题3】一本书共有120页，计算编写这本书的页码一共用了多少个数码？ 【答案】252个 【分析】分段计算：一位数页码、两位数页码和三位数页码分别计算。 【详解】1-9页：9页×1=9个数码；10-99页：90页×2=180个数码；100-120页：21页×3=63个数码。总计：9+180+63=252个数码。 【例题4】在1~50中，数字"3"出现了多少次？ 【答案】15次 【分析】按数位分类统计：个位上的"3"和十位上的"3"。 【详解】个位上的"3"：3、13、23、33、43，共5次；十位上的"3"：30-39，共10次；总计：5+10=15次。 二、计数和数论的综合题 【例题1】在1~100中，能被3整除的数有多少个？ 【答案】33个 【分析】利用整除特性，找出数列中能被3整除的数的个数。 【详解】100÷3=33……1，所以在1~100中，能被3整除的数有33个。 【例题2】在1~50中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？ 【答案】13个 【分析】先计算能被2、3、5整除的数的个数，再用总数减去。 【详解】能被2整除：25个，能被3整除：16个，能被5整除：10个；能被2和3整除：8个，能被2和5整除：5个，能被3和5整除：3个；能被2、3和5整除：1个；根据容斥原理，能被2、3、5中至少一个整除的数有25+16+10-8-5-3+1=36个；所以不能被任何一个整除的数有50-37=13个。 【例题3】有一列数：2、5、3、7、2、5、3、7、…，第30个数是几？ 【答案】5 【分析】找出数列的周期规律，再计算第30个数。 【详解】数列以"2、5、3、7"为周期，周期长度为4；30÷4=7……2，所以第30个数是周期中的第2个数，即5。 【例题4】2023年6月1日是星期四，那么2023年8月1日是星期几？ 【答案】星期二 【分析】计算从6月1日到8月1日的总天数，再根据周期规律推算。 【详解】6月有30天，7月有31天，从6月1日到8月1日共有30+31=61天；61÷7=8……5，星期四往后推5天是星期二。 三、计数问题中的乘法原理 【例题1】从A地到B地，有3条公路和2条铁路可以直接到达，从A地到B地共有多少种不同的走法？ 【答案】5种 【分析】应用加法原理，分类计数，类类独立。 【详解】公路有3种走法，铁路有2种走法，总走法数为3+2=5种。 【例题2】从A地到B地有3条路，从B地到C地有4条路，从A地经过B地到C地共有多少种不同的走法？ 【答案】12种 【分析】应用乘法原理，分步计数，步步相关。 【详解】从A到B有3种走法，从B到C有4种走法，总走法数为3×4=12种。 【例题3】从1楼到2楼有3部电梯和2个楼梯，从2楼到3楼有2部电梯和3个楼梯，从1楼到3楼共有多少种不同的走法？ 【答案】25种 【分析】先计算从1楼到2楼和从2楼到3楼的走法数，再应用乘法原理。 【详解】从1楼到2楼：3+2=5种走法；从2楼到3楼：2+3=5种走法；总走法数为5×5=25种。 【例题4】用数字1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 【答案】12个 【分析】应用乘法原理，分步确定十位和个位数字。 【详解】十位数字有4种选择，个位数字有3种选择（不能与十位重复），总个数为4×3=12个。 四、数论中位值原理的应用 【例题1】一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，这个两位数可能是多少？ 【答案】21、42、63、84 【分析】设出两位数的表达式，根据题意列出关系式。 【详解】设两位数为ab（a为十位数字，b为个位数字），则a=2b；b可以是1、2、3、4（a必须是一位数），所以这个两位数可能是21、42、63、84。 【例题2】一个三位数，百位数字是1，十位数字是a，个位数字是b，这个三位数可以表示为什么？ 【答案】100+10a+b 【分析】根据位值原理表示三位数。 【详解】百位数字是1，表示1×100；十位数字是a，表示a×10；个位数字是b，表示b×1；所以这个三位数=1×100+a×10+b×1=100+10a+b。 考点练习 一、枚举计数 1.在100和500之间有多少个数是7的倍数？ 【答案】57个 【分析】使用公式计算：较大数÷倍数-较小数÷倍数，注意是否包含边界值。 【详解】100÷7=14……2，所以100之后第一个7的倍数是7×15=105；500÷7=71……3，所以500之前最后一个7的倍数是7×71=497。共有71-15+1=57个数。 2.将15拆分成三个不同的自然数之和，且每个数都大于2，有多少种不同的拆分方法？ 【答案】3种 【分析】按从小到大的顺序枚举，确保三个数不同且都大于2。 【详解】符合条件的拆分有：3+4+8、3+5+7、4+5+6，共3种不同的拆分方法。 3.一本书在编页码时共用了192个数码，这本书共有多少页？ 【答案】100页 【分析】先确定页码位数范围，再计算剩余数码可组成的页数。 【详解】1-9页用9个数码，剩余192-9=183个数码；两位数页码每页用2个数码，90页共用180个数码，剩余183-180=3个数码；这3个数码刚好组成1页三位数页码，所以总页数为9+90+1=100页。 4.在1~120中，数字"1"出现了多少次？ 【答案】53次 【分析】按数位分类统计：个位、十位和百位上的"1"。 【详解】个位上的"1"：1、11、21、…、111，共12次；十位上的"1"：10-19、110-119，共20次；百位上的"1"：100-120，共21次；总计：12+20+21=53次。 二、计数和数论的综合题 1.在20~150中，能同时被2和5整除的数有多少个？ 【答案】14个 【分析】能同时被2和5整除的数就是能被10整除的数。 【详解】20到150之间能被10整除的数是20、30、…、150，共有(150-20)÷10+1=14个。 2.有一列数：1、2、3、…、50，从中任取一个数，这个数除以4余1的可能性是多少？ 【答案】13/50 【分析】计算除以4余1的数的个数，再除以总数。 【详解】在1~50中，除以4余1的数是1、5、9、…、49，共有(49-1)÷4+1=13个；所以可能性是13/50。 3.有一列数：1、1、2、3、5、8、13、…，按此规律排列，第15个数是奇数还是偶数？ 【答案】偶数 【分析】找出数列中奇偶数的周期规律。 【详解】数列中奇偶数的规律是：奇、奇、偶、奇、奇、偶、…，周期长度为3；15÷3=5，所以第15个数是周期中的第3个数，即偶数。 4.有一列数：1、2、3、4、5、6、1、2、3、4、5、6、…，前40个数的和是多少？ 【答案】136 【分析】找出数列的周期规律，计算完整周期的和与剩余数的和。 【详解】数列以"1、2、3、4、5、6"为周期，周期长度为6，每个周期的和是21；40÷6=6……4，共有6个完整周期和4个剩余数；总和为6×21+(1+2+3+4)=126+10=136。 三、计数问题中的乘法原理 1.书架上有5本不同的故事书和4本不同的科技书，小明想从中选一本书，共有多少种不同的选法？ 【答案】9种 【分析】应用加法原理，分类计数，类类独立。 【详解】选故事书有5种选法，选科技书有4种选法，总选法数为5+4=9种。 2.小红有3件不同的上衣和4条不同的裤子，她共有多少种不同的穿法？ 【答案】12种 【分析】应用乘法原理，分步计数，步步相关。 【详解】选上衣有3种选法，选裤子有4种选法，总穿法数为3×4=12种。 3.如图，从学校到图书馆有2条路，从图书馆到博物馆有3条路，从博物馆到科技馆有2条路，从学校经过图书馆、博物馆到科技馆共有多少种不同的走法？ 【答案】12种 【分析】应用乘法原理，分步计算各段路线数的乘积。 【详解】学校到图书馆：2种；图书馆到博物馆：3种；博物馆到科技馆：2种；总走法数为2×3×2=12种。 4.用数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【答案】18个 【分析】注意首位不能为0，优先考虑特殊位置。 【详解】百位数字有3种选择（1、2、3），十位数字有3种选择（剩余3个数字），个位数字有2种选择（剩余2个数字），总个数为3×3×2=18个。 四、数论中位值原理的应用 1.一个两位数，十位数字与个位数字的和是9，交换十位与个位数字后得到的新数比原数大27，求原数。 【答案】36 【分析】设出两位数的表达式，根据题意列出方程。 【详解】设原数为ab，a+b=9；新数为ba=10b+a；根据题意：(10b+a)-(10a+b)=27，化简得9b-9a=27，即b-a=3；联立a+b=9和b-a=3，解得a=3，b=6，所以原数是36。 2.一个两位数，个位数字比十位数字大4，如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到的新数与原数的和是154，求原数。 【答案】59 【分析】设出两位数的表达式，根据题意列出方程。 【详解】设原数为ab，b=a+4；原数=10a+b，新数=10b+a；根据题意：(10a+b)+(10b+a)=154，化简得11a+11b=154，即a+b=14；联立b=a+4和a+b=14，解得a=5，b=9，所以原数是59。 3.一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，如果把这个两位数的十位数字与个位数字都扩大到原来的2倍，得到的新数是多少？ 【答案】20a+2b 【分析】根据位值原理表示原数和新数。 【详解】原数=10a+b；新数的十位数字是2a，个位数字是2b，所以新数=10×(2a)+2b=20a+2b。 4.一个三位数，三个数位上的数字之和是15，百位数字比十位数字大5，个位数字是十位数字的3倍，求这个三位数。 【答案】726 【分析】设出三位数的表达式，根据题意列出方程。 【详解】设三位数为abc，a+b+c=15，a=b+5，c=3b；代入得(b+5)+b+3b=15，解得b=2；所以a=7，c=6，这个三位数是726。 5.一个三位数，各位数字之和是12，百位数字是个位数字的2倍，这样的三位数有多少个？ 【答案】4个 【分析】设出三位数的表达式，根据题意找出符合条件的数字。 【详解】设三位数为abc，a+b+c=12，a=2c；a可以是2、4、6、8（a是百位数字，且是偶数）；当a=2时，c=1，b=9；当a=4时，c=2，b=6；当a=6时，c=3，b=3；当a=8时，c=4，b=0；所以这样的三位数有4个：291、462、633、804。 6.一个三位数，将它的个位数字与百位数字交换位置后得到一个新数，新数与原数的差一定是99的倍数，为什么？ 【答案】见详解 【分析】设出三位数的表达式，计算新数与原数的差。 【详解】设原数为abc=100a+10b+c；新数为cba=100c+10b+a；新数-原数=99c-99a=99(c-a)，所以新数与原数的差一定是99的倍数。 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $