精品解析：浙江省浙里特色联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025学年第一学期浙里特色联盟期中联考 高二数学学科试题 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算及复数的虚部定义即可求解. 【详解】， 所以， 所以， 所以虚部是1. 故选：B. 2. 若圆的一条直径的两个端点坐标是，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得的中点坐标和，得出所求圆的圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】由圆的一条直径的两个端点坐标是， 可得的中点坐标为，即圆心坐标为， 又由，所以圆的半径为， 所以以为直径的圆的方程为. 故选：A. 3. 已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设正三棱台的高为，结合棱台的体积公式，列出方程，即可求解. 【详解】设正三棱台的高为， 因为上下底面边长分别为2和4，可得上下底面面积分别为， 又因为正三棱台的体积为， 可得，解得， 所以正三棱台的高为. 故选：C. 4. 已知直线的倾斜角满足条件sin＋cos＝，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两边平方，并求出，进一步求出，然后求出得到. 【详解】由题意， ，由， 则，所以. 于是， 联立. 故选：C. 5. 已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故选：D 6. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合点差法化简即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，， 则， 由直线过与的中点，则， 由，相减得， 即， ∴， 又，∴，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B 7. 若直线与圆相切于点，则的值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由切点在直线上，圆心与切点的连线与切线垂直列式求解即可. 【详解】切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 8. 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线，的倾斜角分别为，，，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆中参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率. 【详解】由题意知，，，直线， 设直线，的倾斜角分别为，， 由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，， 则，. ， ，当且仅当，即时取等号， 又得最大值为， ，即，整理得，故椭圆的离心率是. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D. 以，，为顶点的三角形是等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由空间中点的对称性可判断；对于B，在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量，即可判断；对于C，由空间基底的定义可判断；对于D，由两点间的距离公式求出三边的长，即可判断. 【详解】对于A，由空间中点的对称性可知，点关于轴对称的点的坐标为，故A正确； 对于B，在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量，故B错误； 对于C，因为是空间的一组基底，所以不共面，即其中任何一个向量都不能用另外两个向量线性表示，易得中任何一个向量也不能用另外两个向量线性表示， （若设，满足，则有，该方程无解），故C正确； 对于D，由题意可得， ，， 显然，且，则为等腰直角三角形，故D错误. 故选：AC. 10. 已知椭圆的方程是，P为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8 B. 存在点，使得的面积为2 C. 椭圆上存在4个不同的点，使得 D. 内切圆半径的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据椭圆的定义求解即可；对B，根据椭圆的性质判断即可；对C，根据可得的轨迹，再分析与椭圆的交点个数即可；对D，根据的面积表达式分析即可. 【详解】对A，由椭圆，所以 则过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故A正确； 对B，根据椭圆性质的面积最大值为，所以不存在点，使得的面积为2，故B错误； 对C，根据可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点， 因为，所以圆与椭圆有四个交点，即椭圆上存在4个不同的点，使得，故C正确； 对D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上（下）顶点， ，则，解得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知圆，圆，P，Q分别是圆与圆上点，下列说法正确的是（ ） A. 若圆与圆外切，则 B. 当时，则两圆公共弦所在直线方程为 C. 当时，若直线的斜率存在，则斜率的最大值为 D. 当时，过点作圆两条切线，切点分别为A，B，则存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出两圆的圆心距，根据外切，可得，求出r值，即可判断A的正误；当时，可得圆方程，与方程联立，可得公共弦方程，即可判断B的正误；当时，可得圆方程，根据图象，分析可得PQ为两圆的内公切线时，斜率最大，根据垂直关系，可得，求出所需长度，根据正切公式，斜率公式等，分析计算，可判断C的正误；当时，得圆方程，进而可得，若，根据图象分析，可得四边形为正方形，所以，分析即可判断D的正误. 【详解】选项A：若两圆外切，则，解得，故A正确； 选项B：当时，，即， 联立，可得， 所以公共弦所在直线方程为，故B错误； 选项C：当时，， ，所以两圆相离， 因为直线的斜率存在， 分析可得，当PQ为两圆的内公切线时，斜率最大，作出两圆图象，如下图所示， 设PQ和CD为两条内公切线，设交于点A， 因为圆的圆心为，且， 所以切线CD的方程为x=1，且， 因为CD为公切线，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，故C正确. 选项D：当时，， 因为P在上运动，所以，即， 若时，由， 可得四边形为正方形， 所以，符合题意， 所以存在点，使得，故D正确. 故选：ACD 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.） 12. 在空间直角坐标系中，若，，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积求出，再由空间向量模计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以，， 故答案为： 13. 已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为_____. 【答案】19 【解析】 【分析】根据平均数与方差的性质计算即可. 【详解】因为数据的平均数为4，方差为2， 所以的平均数为，方差为， 所以平均数与方差的和为19. 故答案为：19. 14. 设函数和.已知当时，恒有，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，令，变形得，令，利用数形结合法画出图象，分析图象，列式即可求解. 【详解】因为，即， 变形得， 令，① ，② ①式变形得， 即为以为圆心，2为半径的轴上方的半圆， ②式表示斜率为，在轴上的截距为的平行直线系， 如图所示，当直线，即与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或， 又因为，即， 所以，此时， 由图可知，要使在上恒成立， 则直线必在半圆的切线上方或重合， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【小问1详解】 ，， ，， 由余弦定理得， 又，. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 16. 已知偶函数的定义域为，值域为 （1）求实数的值； （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，求实数m，n的值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由函数为偶函数，得到，列出方程，即可求解； （2）由（1）得，根据题意转化为在区间上恒成立，令，得到，设，结合二次函数的性质，即可求解； （3）由（1）得，得到在单调递增，得到，且，转化为为的两个根，即可求解. 【小问1详解】 解：因为为偶函数，所以，则， 即，所以. 【小问2详解】 解：由（1）可知，函数， 则不等式，即，则， 因为不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 令，因为，可得， 设，可得函数在上单调递减， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由（1）知，函数，可得函数在单调递增， 因为是偶函数，且定义域为，值域， 可得图象关于轴对称，且在递增，所以，且， 所以为的两个根，即为的两个根， 解得，所以，. 17. 在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍. （1）求动点的轨迹方程； （2）点在动点的轨迹上，求的最大值； （3）若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，整理即可得到动点的轨迹方程；. （2）由可以看成点与点的斜率，设，结合直线与相切，求得，即可得到答案； （3）设直线过点的方程为，利用圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，进而得到直线方程. 【小问1详解】 因为动点与点的距离是它与点的距离的倍， 可得，整理得， 所以动点的轨迹方程. 【小问2详解】 由（1）知圆，可圆心坐标为，半径为， 因为可以看成点与点的斜率， 则过点，斜率为的直线方程为，即， 当过点的直线与圆相切时，斜率取最值， 直线与圆相切时，可得圆心到直线的距离， 解得，所以得最大值为1. 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为， 此时直线与圆没有公共点，所以直线的斜率一定存在， 可设直线过点的方程为， 即， 由圆的弦长公式可得，解得， 即圆心到直线的距离，则，解得或， 则直线方程为，即， 所以直线方程为或. 18. 如图，在三棱柱中，，，四边形是正方形，且. （1）求证：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，根据线面垂直的判定定理及性质定理即可证明； （2）由（1）可知，外接球球心为的中点，结合球的表面积公式求解即可； （3）利用线面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 因为四边形是正方形，所以，， 因为，，，由余弦定理可得， 由，可得， ，， ，面， 面，而面， ， 又，，平面， 平面. 【小问2详解】 由（1）可知，外接球的球心为的中点， ，，. 【小问3详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，， 设平面的法向量 则，所以， 令则， 所以平面的法向量 设与平面所成角 . 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 椭圆的左、右焦点为、，离心率为，点为椭圆上任意的点且面积的最大值为，直线与椭圆交于不同的两点、. （1）求椭圆的方程； （2）若以线段为直径的圆经过点. ①求证：直线过定点，并求出的坐标； ②求三角形面积的最大值. 【答案】（1）； （2）①证明见解析，；②. 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积与椭圆性质，及离心率公式与基本关系式计算即可； （2）①利用直线与椭圆联立方程，结合韦达定理与向量数量积即可求解； ②利用点到直线的距离，与弦长公式、三角形面积公式，结合换元法与函数最值，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，①， 又 ，且面积的最大值为， 所以当点为椭圆的上顶点时，面积最大值， 即，所以②， 又根据椭圆性质，③， 联立①②③，解得，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①设点，，因为以线段为直径的圆经过点， 所以， 若轴，则且，， 此时，不合题意； 设直线的方程为，联立， 可得，则， 由韦达定理可得，， ，， 所以 ， 解得或， 因为直线不过点，则，所以， 所以直线的方程为，所以直线过定点. ②由①得直线的方程为，所以点到直线的距离为， ， 所以， 令，则， 因为时，故当时，取最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期浙里特色联盟期中联考 高二数学学科试题 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. D. 2. 若圆的一条直径的两个端点坐标是，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4. 已知直线的倾斜角满足条件sin＋cos＝，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与圆相切于点，则的值为（ ） A -4 B. -2 C. 2 D. 4 8. 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D. 以，，为顶点的三角形是等边三角形 10. 已知椭圆方程是，P为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8 B. 存在点，使得的面积为2 C. 椭圆上存在4个不同的点，使得 D. 内切圆半径最大值为 11. 已知圆，圆，P，Q分别是圆与圆上的点，下列说法正确的是（ ） A. 若圆与圆外切，则 B. 当时，则两圆公共弦所在直线方程为 C. 当时，若直线的斜率存在，则斜率的最大值为 D. 当时，过点作圆两条切线，切点分别为A，B，则存在点，使得 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.） 12. 在空间直角坐标系中，若，，且，则_____. 13. 已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为_____. 14. 设函数和.已知当时，恒有，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 16. 已知偶函数的定义域为，值域为 （1）求实数的值； （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，求实数m，n的值. 17. 在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍. （1）求动点的轨迹方程； （2）点在动点的轨迹上，求的最大值； （3）若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程. 18. 如图，在三棱柱中，，，四边形是正方形，且. （1）求证：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）求与平面所成角的正弦值. 19. 椭圆的左、右焦点为、，离心率为，点为椭圆上任意的点且面积的最大值为，直线与椭圆交于不同的两点、. （1）求椭圆方程； （2）若以线段为直径的圆经过点. ①求证：直线过定点，并求出的坐标； ②求三角形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $