精品解析：江苏省泰州市第二中学附属初中2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

2025年泰州第二中学附属初中秋学期期中学业水平测试 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列实数是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽的数是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，（每两个8之间依次多1个0）等形式． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：A、，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是有理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 在中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 3. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A. 5cm，9cm，12cm B. 7cm，12cm，13cm C. 30cm，40cm，50cm D. 3cm，4cm，6cm 【答案】C 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、52+92≠122，不能构成直角三角形，故选项错误； B、72+122≠132，不能构成直角三角形，故选项错误； C、302+402=502，能构成直角三角形，故选项正确； D、32+42≠62，不能构成直角三角形，故选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是正确的计算． 4. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，添加一个条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“”可添加使． 【详解】解：A、， ， 在和中， ， ，故本选项正确，符合题意； B、已知，和，不能判定，故本选项错误，不符合题意； C、已知，和，不能判定，故本选项错误，不符合题意； D、， ， 已知，和，不能判定，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等；若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 5. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接，要求的面积，则只需知道（　　） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的面积 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 面积为：． 故选：A． 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 8. 若等腰三角形的一个内角为100°，则它的顶角为________． 【答案】100° 【解析】 【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【详解】解：①当这个角是顶角时，则顶角为100°； ②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为：100°． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，关键是分情况进行分析． 9. 2025年泰州马拉松已于10月19日鸣枪开跑，全程公里数为，将精确到的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了近似数，理解近似数的定义是解题关键．“精确度”是近似数的常用表现形式．把百分位上的数字9进行四舍五入即可． 【详解】解：精确到的近似值为． 故答案为：． 10. 在ABC 中， C 90 ，AC=3，BC=4，D 是 AB 边的中点，则 CD=________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，运用勾股定理求出AB的长，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：如图： ∵在ABC 中， C 90 ，AC=3，BC=4 ∴AB= ∵D 是 AB 边的中点 ∴CD=． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键． 11. 如图，长方形中，，，，在数轴上，点表示数，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，在数轴上表示数等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键． 首先根据勾股定理算出的长度，进而得到的长度，再根据点C表示数，可得E点表示的数． 【详解】解：∵，，长方形中，，， ∴ ∴根据作图，可知：， ∵点C表示数， ∴点表示的数是， 故答案为：． 12. 如图，在中，，分别为斜边上的高和中线．若，则的度数为___________． 【答案】##32.5度 【解析】 【分析】首先根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据直角三角形中线的性质得到，最后根据三角形外角的概念求解即可． 【详解】解：∵在中，为斜边上的高 ∴ ∵ ∴ ∵在中，为斜边上的中线 ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握直角斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． 13. 如图，中，为的平分线，于点，，，的面积为，则___． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过D点作于F，如图，根据角平分线的性质得到，利用三角形面积公式得到，从而可求出的长． 【详解】解：过D点作于F，如图， ∵为平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 14. 如图，、是线段上的两点，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，发现，则的值为___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和作线段等于已知线段， 根据作图可知，，再设，可得，，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：由作图可知： ，， 设， ∴， ， ∵， ∴， ∴ 解得：，即的值为1． 故答案为：1． 15. 如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积 分别为，，，则 的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，是边中点，是边上任意一点，将沿直线翻折，使点关于直线的对称点落在射线上，则点到 边的距离是___． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，进行分情况分析是解题关键． 根据题意分两种情况分析：当点D与点A重合时，当点D在延长线上时，作出辅助线，利用等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 过点A作，如图所示： ∴； 当点D与点A重合时， ∴点到 边的距离是2； 当点D在延长线上时， 过点M作，作点B关于直线的对称点在的延长线上，如图所示：连接，过点D作， ∴，， ∵沿直线翻折， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到 边的距离是3； 综上可得：点到 边的距离是2或3； 故答案为：2或3． 三． 解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求下列各式中的． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）把方程化为，再根据平方根的定义，即可解答； （2）根据立方根的定义，两边同时开立方，即可解答． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，零指数幂，绝对值和乘方，立方根，算术平方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，绝对值和乘方，然后计算加减； （2）首先计算立方根，算术平方根和绝对值，然后计算加减． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 19. 已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义．根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解、的值，再代入，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； ∴， ∴的平方根为． 20. 油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．请说明其中的理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义． 根据证明，得到，即可证明平分． 【详解】解：在和中 平分 21. “赵爽弦图”是三国时期吴国数学家赵爽设计的组合图形，它是由四个完全相同的直角三角形拼成的正方形 （1）如图1“赵爽弦图”中，四个完全相同直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，请你借助该图、证明勾股定理； （2）一个零件的形状如图2，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）这个零件不符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明及其逆定理： （1）根据大正方形的面积等于四个小三角形的面积与小正方形的面积之和为数量关系即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理判断不是直角三角形，不是直角，进而可求解； 熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：正方形面积表示为：， 正方形面积还可以表示为：， 所以，， 即． 【小问2详解】 解：在中，， 所以是直角三角形，是直角， 在中，，， ， 所以不是直角三角形，不是直角， 因此，这个零件不符合要求． 22. 利用网格作图，要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中，的顶点均在正方形网格格点上，在边上找一点，使点到和的距离相等； （2）在图②中，的顶点均在正方形网格格点上，作出的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据网格作的角平分线与线段的交点即为所求； （2）取格点，连接，取的中点，作射线交于点，线段即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，找到网格点M、N， 连接交于点P即为所求； ∵正方形， ∴为的角平分线， ∴到和的距离相等； 【小问2详解】 解：如图②中，取格点，连接，取的中点，作射线交于点， 在网格图中，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴是的中线，也是的角平分线， ∴即为所求． 23. 如图，在锐角中，是 边上一点，，于点，与 交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为16． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用，添加适当的辅助线是解题的关键． （）根据垂直定义可得，利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （）过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质得，再根据中点定义得，再证明，根据全等三角形的性质得出，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ∴， ∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为16． 24. 为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路，和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． （1）求公路、的长度； （2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用． 【答案】（1）千米，千米 （2）6000万元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米，然后根据勾股定理即可得出答案； （2）根据面积相等得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米， ∴千米； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：千米， ∴修建公路的费用为（万元）． 25. 综合与实践： 探究长方形折叠问题 背景 如图①，在长方形中，，，，点是射线上一动点，点沿过点、的直线翻折得到点． 素材1 如图②，若点运动到点，连接交于点． 素材2 如图③，若翻折后点落在边上，连接，． 素材3 连接和，当点在射线上移动时，小明发现存在某个位置，使得是直角三角形． 问题解决 任务1 在素材1中，求证：． 任务2 在素材2中，求长． 任务3 在素材3中，小明发现的结论是否存在?若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】任务1：见解析；任务2： ；任务3：存在，3或或30 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质等知识点，难度较大，注意分类讨论的思想． 任务1：根据翻折得到角平分线，结合平行线，继而根据等角对等边得结论； 任务2：根据勾股定理求出，进而求出，中，由列方程求解； 任务1：分三种情况讨论，一是，连接，由垂直平分，得，则，可证明，则，求得；二是，点在上，此时点在上，连接、，则，，由勾股定理得，所以，则，求得；三是，点在的延长线上，此时点在的延长线上，连接、，求得，则，，所以，求得． 【详解】任务1：证明： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴； 任务2：∵翻折， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 的长是； 任务3：解：存在，理由如下： 图1，，连接， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ； 如图2，，点在上， ， 点在上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ∵ ，， ， 解得； 如图3，，点在的延长线上， ， 点在延长线上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ，， ， ， 解得， 综上所述，的长为3或或30． 26. 定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．如图1，在中，若，则是“类勾股三角形”． （1）等边三角形　　　（填“是”或“不是”）“类勾股三角形”． （2）如图2，在中，； ①若，，判断是不是“类勾股三角形”，并说明理由． ②若是“类勾股三角形”，，，，且，求． （3）如图3，在等边的边，上各取一点、，且，，相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且． ①求证：． ②连接，若，，求等边的边长． 【答案】（1）是 （2）①是，证明见解析；② （3）①证明见解析；②等边的边长为． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，“类勾股三角形”的定义判断； （2）①求解，，结合，可得结论； ②根据勾股定理得到，分三种情况，根据“类勾股三角形”的定义解答； （3）①根据“类勾股三角形”的定义得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②证明，得到，结合，，可得，，，再进一步利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：当为等边三角形时， ， ∴， ∴等边三角形一定是“类勾股三角形” 故答案为：是 【小问2详解】 解：①在中，；，， ∴，， ∴， ∴是“类勾股三角形”． ②∵在中，，，，，且， ∴， ∵是“类勾股三角形”， ∴当时，则（舍去）， 当时，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴（不符合题意，舍去） 当时，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：是“类勾股三角形”，，，，且，． 【小问3详解】 解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的高，是“类勾股三角形”， ， ∴由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． ∴等边的边长为． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理的含义，含30度角的直角三角形的性质，“类勾股三角形”的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年泰州第二中学附属初中秋学期期中学业水平测试 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列实数是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 在中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A. 5cm，9cm，12cm B. 7cm，12cm，13cm C. 30cm，40cm，50cm D. 3cm，4cm，6cm 4. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，添加一个条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接，要求的面积，则只需知道（　　） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的面积 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 4的平方根是_______． 8. 若等腰三角形的一个内角为100°，则它的顶角为________． 9. 2025年泰州马拉松已于10月19日鸣枪开跑，全程公里数为，将精确到的结果是___． 10. 在ABC 中， C 90 ，AC=3，BC=4，D 是 AB 边的中点，则 CD=________． 11. 如图，长方形中，，，，在数轴上，点表示数，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___． 12. 如图，在中，，分别为斜边上的高和中线．若，则的度数为___________． 13. 如图，中，为的平分线，于点，，，的面积为，则___． 14. 如图，、是线段上两点，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，发现，则的值为___． 15. 如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积 分别为，，，则 的值为___． 16. 如图，在中，，，是边中点，是边上任意一点，将沿直线翻折，使点关于直线的对称点落在射线上，则点到 边的距离是___． 三． 解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求下列各式中的． （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 20. 油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．请说明其中的理由． 21. “赵爽弦图”是三国时期吴国数学家赵爽设计的组合图形，它是由四个完全相同的直角三角形拼成的正方形 （1）如图1“赵爽弦图”中，四个完全相同直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，请你借助该图、证明勾股定理； （2）一个零件的形状如图2，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 22. 利用网格作图，要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中，的顶点均在正方形网格格点上，在边上找一点，使点到和的距离相等； （2）在图②中，的顶点均在正方形网格格点上，作出的角平分线． 23. 如图，在锐角中，是 边上一点，，于点，与 交于点． （1）求证：； （2）若，，为中点，求的长． 24. 为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路，和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． （1）求公路、的长度； （2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用． 25. 综合与实践： 探究长方形折叠问题 背景 如图①，在长方形中，，，，点是射线上一动点，点沿过点、的直线翻折得到点． 素材1 如图②，若点运动到点，连接交于点． 素材2 如图③，若翻折后点落在边上，连接，． 素材3 连接和，当点在射线上移动时，小明发现存在某个位置，使得是直角三角形． 问题解决 任务1 在素材1中，求证：． 任务2 在素材2中，求长． 任务3 在素材3中，小明发现结论是否存在?若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 26. 定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．如图1，在中，若，则是“类勾股三角形”． （1）等边三角形　　　（填“是”或“不是”）“类勾股三角形”． （2）如图2，在中，； ①若，，判断是不是“类勾股三角形”，并说明理由． ②若是“类勾股三角形”，，，，且，求． （3）如图3，在等边边，上各取一点、，且，，相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且． ①求证：． ②连接，若，，求等边的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $