第13章 勾股定理单元测试卷2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

2025年华东师大版（2024）八年级上学期第13章 勾股定理单元测试卷 一．选择题（共10小题） 1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．6，8，10 B． C．4，5，6 D． 2．下列各组数据，不是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．6，8，10 C．9，40，41 D．15，36，39 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．a＝6，b＝12，c＝13 C．a：b：c＝3：4：5 D．c2﹣a2＝b2 4．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝15，BD＝10，则点D到AB的距离是（　　） A．15 B．10 C．5 D．4 5．一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 6．如图是一个电线杆的示意图，在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（　　） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．两点之间线段最短 D．直角三角形的性质 7．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB交BC于D，交AB于E，∠CAD＝40°，则∠B等于（　　） A．40° B．30° C．25° D．10° 9．如图，正方形ABCD的边长为1，CA＝CE，则数轴上点E所表示的数是（　　） A． B．2 C． D． 10．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．若b﹣a＝4，c＝16，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．60 C．120 D．128 二．填空题（共6小题） 11．某直角三角形三条边的平方和为288，则这个直角三角形的斜边长为　 　 ． 12．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为 　 　 ． 14．若a，b，c是△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+|b﹣12|+（c﹣13）2＝0，则△ABC是　 　 三角形． 15．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AB＝9，BC＝8，AE＝6，P为AB边上一动点，连接CP，则CP的最小值为　 　 ． 16．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有　 　 ．（填序号） 三．解答题（共9小题） 17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝5，求BC的长． 18．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足， （1）直接写出a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 19．随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区新建新能源汽车充电桩，CD为充电桩，BC和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离． 已知在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，AC＝20，BC＝15，CD＝12． 求证：△ABC是直角三角形． 20．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）试说明：∠A＝90°； （2）若AC＝10，BD＝13，求AE的长度． 21．画图题，请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格的边长为1． （1）请在图①中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数； （2）请在图②中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数． 22．如图，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的直角边长为1，以数轴上表示﹣2的点为圆心，直角三角形的最长边为半径画弧，交数轴正半轴于点M，若点M表示的数为m． （1）求m的值； （2）求代数式m2+4m﹣2的值． 23．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AC、AB于点E、D． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）求AE的长． 24．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　 　 ． （2）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°． ①若AD是∠BAC的平分线，则△ABD是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，∠B＝24°，求∠EAC的度数． 25．如图，长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝7． （1）求AE的长； （2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．当t为多少时，PE⊥AE． 2025年华东师大版（2024）八年级上学期第13章 勾股定理单元测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C D B B C D B 一．选择题（共10小题） 1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．6，8，10 B． C．4，5，6 D． 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，符合题意； B、（）2+12≠32，不能构成直角三角形，不符合题意； C、42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意； D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 2．下列各组数据，不是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．6，8，10 C．9，40，41 D．15，36，39 【分析】根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：A、∵22+32≠42， ∴2，3，4不是勾股数，符合题意； B、∵62+82＝102， ∴6，8，10是勾股数，不符合题意； C、∵92+402＝412， ∴9，40，41是勾股数，不符合题意； D、∵152+362＝392， ∴15，36，39是勾股数，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．a＝6，b＝12，c＝13 C．a：b：c＝3：4：5 D．c2﹣a2＝b2 【分析】根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理即可判断． 【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意； B、∵a＝6，b＝12，c＝13， ∴a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形，符合题意； C、设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∵a2+b2＝c2，故△ABC为直角三角形，不符合题意； D、∵c2﹣a2＝b2， ∴a2+b2＝c2，故△ABC为直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 4．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝15，BD＝10，则点D到AB的距离是（　　） A．15 B．10 C．5 D．4 【分析】过点D作DE⊥AB，由角平分线的性质可得DC＝DE，根据BD，BC的长即可求解． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，如图； ∵AD是角平分线，∠C＝90°， ∴DC＝DE， ∵BC＝15，BD＝10， ∴DC＝DE＝15﹣10＝5． ∴点D到AB的距离是5． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，理解点到直线的距离是解题关键． 5．一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 【分析】利用路程＝速度×时间，可求出AB，AC的长度，再利用勾股定理，即可求出结论． 【解答】解：依照题意，画出图形，如图所示．在△ABC中，AB＝12×1＝12（海里），AC＝5×1＝5（海里）， ∴BC13（海里）， ∴离开港口1小时后两船相距13海里． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 6．如图是一个电线杆的示意图，在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（　　） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．两点之间线段最短 D．直角三角形的性质 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是三角形具有稳定性， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 7．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m 【分析】设AC的长为xm，则AB＝AC＝xm，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意可知，CF＝2.6m，BE＝0.8m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为xm，则AB＝AC＝xm， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB交BC于D，交AB于E，∠CAD＝40°，则∠B等于（　　） A．40° B．30° C．25° D．10° 【分析】根据三角形内角和定理，求出∠ADC的度数，根据DE是AB的垂直平分线，可知AD＝DB，∠B＝∠DAB，结合∠ADC是△ABD的外角，即可算出答案． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠CAD＝40°， ∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠ADC＝∠B+∠DAB， ∴∠ADC＝2∠B＝50°， ∴∠B＝25°． 故选：C． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．如图，正方形ABCD的边长为1，CA＝CE，则数轴上点E所表示的数是（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求出CA的长可推出结果． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1， ∴AD＝CD＝1， ∴AC， ∴CE＝CA， ∴点E所表示的数是1， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟记正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 10．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．若b﹣a＝4，c＝16，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．60 C．120 D．128 【分析】根据勾股定理可知a2+b2＝c2，再根据b﹣a＝4，c＝16，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积． 【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2， ∴，且a、b均大于0， 解得ab＝120， ∴每个直角三角形的面积为ab120＝60， 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出ab的值． 二．填空题（共6小题） 11．某直角三角形三条边的平方和为288，则这个直角三角形的斜边长为　12　 ． 【分析】直接利用直角三角形的性质得出斜边长的平方为144，进而得出答案． 【解答】解：∵一个直角三角形的三边长的平方和为288， ∴斜边长的平方为144， ∴斜边长为12． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 12．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是　60°　 ． 【分析】根据直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，根据题意代入计算即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°， 则∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝2∠B， ∴2∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝2∠B＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为 　16　 ． 【分析】根据勾股定理求出AB的长，再分别求出以AC为直径的半圆的面积与以BC为直径的半圆的面积以及以AB为直径的半圆的面积与△ABC的面积，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴AB4， 以AC为直径的半圆的面积8π， 以BC为直径的半圆的面积2π， 以AB为直径的半圆的面积， S16， ∴S阴影＝8π+2π+16﹣10π＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了勾股定理，半圆面积的计算，正确得出阴影部分面积的计算方法是解题的关键． 14．若a，b，c是△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+|b﹣12|+（c﹣13）2＝0，则△ABC是　直角　 三角形． 【分析】根据非负数的性质可得a＝5，b＝12，c＝13，所以a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【解答】解：∵|a﹣5|+|b﹣12|+（c﹣13）2＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0， ∴a＝5，b＝12，c＝13， ∴a2+b2＝52+122＝169＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及非负数的性质是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AB＝9，BC＝8，AE＝6，P为AB边上一动点，连接CP，则CP的最小值为　　 ． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由三角形的面积公式求出CD长．根据垂线段最短得到PC≥CD，即可得到PC的最小值为． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵△ABC的面积AB•CDBC•AE， ∴9×CD＝8×6， ∴CD， ∵PC≥CD， ∴PC的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的面积，垂线段最短，关键是由三角形的面积公式求出CD的长． 16．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有　①③④　 ．（填序号） 【分析】通过分析每个图形的面积关系，利用勾股定理的基本形式a2+b2＝c2来验证图形是否能证明勾股定理． 【解答】解：由图①可得，，化简，得：a2+b2＝c2故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图③可得，，化简，得：a2+b2＝c2，故图③可以证明勾股定理； 由图④可得，，化简，得：a2+b2＝c2，故图④可以证明勾股定理； 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，利用勾股定理的基本形式a2+b2＝c2来验证图形是否能证明勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝5，求BC的长． 【分析】直接由勾股定理列式计算即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，AC＝5， ∴BC， 答：BC的长为． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 18．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足， （1）直接写出a＝　3　 ，b＝　4　 ，c＝　5　 ； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）绝对值的非负性，算术平方根的非负性，平方的非负性，即可得a，b，c的值； （2）根据勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状． 【解答】解：（1）∵，（a﹣3）2≥0，，|c﹣5|≥0， ∴根据非负数的性质得，（a﹣3）2＝0，，|c﹣5|＝0， ∴根据非负数的性质得，a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， 故答案为：3，4，5． （2）△ABC是直角三角形，理由： 由（1）得a＝3，b＝4，c＝5， ∵32+42＝52， ∴a2+b2＝c2， 又∵a，b，c为△ABC的三边长， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 19．随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区新建新能源汽车充电桩，CD为充电桩，BC和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离． 已知在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，AC＝20，BC＝15，CD＝12． 求证：△ABC是直角三角形． 【分析】直接根据勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理可得出AD的长，根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【解答】证明：∵CD⊥AB ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， 在Rt△CDB中， ∵BC＝15，CD＝12， ∴BD9， 在Rt△ACD中， ∵AC＝20，CD＝12， ∴． ∴AB＝AD+DB＝16+9＝25， 在Rt△ABC中， AB＝25，AC＝20，BC＝15， ∴AB2＝252＝625，AC2+BC2＝202+152＝625， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC 是直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据勾股定理求出AB的长是解本题的关键． 20．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）试说明：∠A＝90°； （2）若AC＝10，BD＝13，求AE的长度． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可求得CE＝BE，再结合BE2﹣EA2＝AC2可求得EA2+AC2＝CE2，可证得结论； （2）先求出AB＝24，在Rt△AEC中，根据勾股定理列出方程解答即可． 【解答】解：（1）因为D是BC的中点，DE⊥BC， 所以CE＝BE， 因为BE2﹣EA2＝AC2， 所以CE2﹣EA2＝AC2， 所以EA2+AC2＝CE2， 所以△ACE是直角三角形，即∠A＝90°． （2）∵D是BC的中点，BD＝13， 所以BC＝2BD＝26， 因为∠A＝90°，AC＝10， 所以， 在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2， 因为CE＝BE， 所以102+AE2＝（24﹣AE）2， 解得：， 所以AE的长为． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． 21．画图题，请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格的边长为1． （1）请在图①中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数； （2）请在图②中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数． 【分析】（1）根据网格与勾股定理即可画图； （2）根据网格与勾股定理即可画图． 【解答】解：（1）如图①所示，所作△ABC即为所求； 理由：，AB＝4， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， （2）如图②所示，所作△DEF即为所求； 理由：，， ∴DE2+DF2＝EF2， ∴△DEF为直角三角形， 【点评】此题考查了勾股定理与无理数，勾股定理逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 22．如图，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的直角边长为1，以数轴上表示﹣2的点为圆心，直角三角形的最长边为半径画弧，交数轴正半轴于点M，若点M表示的数为m． （1）求m的值； （2）求代数式m2+4m﹣2的值． 【分析】（1）根据题意，利用勾股定理，求得直角三角形的斜边，即画弧的半径，然后就知道了﹣2表示的点与点M的距离，然后表示出m即可； （2）将原式整理为（m+2）2﹣6，将m代入，即可求得答案． 【解答】解：（1）由勾股定理可得，半径为， 那么﹣2表示的点与点M的距离为， ∴M点表示的数为， ∴m＝﹣2； （2）∵， ∴m2+4m﹣2 ＝（m+2）2﹣6 ＝5﹣6 ＝﹣1． 【点评】本题考查了在数轴上表示实数，勾股定理，代数式求值，求出m的值是正确解答的关键． 23．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AC、AB于点E、D． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）求AE的长． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接BE，根据DE是AB的垂直平分线，得到AE＝BE，设AE＝BE＝x，则EC＝8﹣x，在Rt△ABC中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∴AC2+BC2＝82+62＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）解：连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝x，则EC＝8﹣x， 在Rt△EBC中，EC2+BC2＝BE2， ∴（8﹣x）2+62＝x2， ∴， ∴． 【点评】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． 24．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　15°　 ． （2）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°． ①若AD是∠BAC的平分线，则△ABD是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，∠B＝24°，求∠EAC的度数． 【分析】（1）根据“准互余三角形”可知，∠A+2∠B＝90°，即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠BAD，再根据直角三角形的性质可得2∠BAD+∠B＝90°，符合定义，即可得解； （3）分两种情况讨论，∠B+2∠BAE＝90°和2∠B+∠BAE＝90°，分别求出∠BAE，再根据直角三角形的性质即可得解． 【解答】解：（1）∵一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°， ∴∠A+2∠B＝90°， ∴∠B＝15°， 故答案为：15°； （2）①△ABD是“准互余三角形”，理由如下，如图， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC＝2∠BAD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， ∴2∠BAD+∠B＝90°， ∴△ABD是“准互余三角形”； ②如图， ∵∠ACB＝90°， ∴∠AEB＞90°， ∵△ABE是“准互余三角形”， 当∠B+2∠BAE＝90°时， ∵∠B＝24°， ∴∠BAE＝33°， ∴∠EAC＝90°﹣∠B﹣∠BAE＝33°， 当2∠B+∠BAE＝90°时， ∵∠B＝24°， ∴∠BAE＝42°， ∴∠EAC＝90°﹣∠B﹣∠BAE＝24°， 综上所述，∠EAC的度数为24°或33°． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键． 25．如图，长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝7． （1）求AE的长； （2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．当t为多少时，PE⊥AE． 【分析】（1）根据四边形ABCD是长方形求得ED长度，再利用勾股定理求AE即可； （2）过点E作EF⊥AB于M，四边形ADEM是长方形可得EM＝AD＝4，DE＝MA＝3，在Rt△PEM中，由勾股定理得PE2＝EM2+PM2＝42+（7﹣2t）2，在Rt△PEA中，由勾股定理得PE2+AE2＝PA2，即可得到42+（7﹣2t）2+52＝（10﹣2t）2，解方程即可． 【解答】解：（1）∵长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝7， ∴∠D＝∠BAD＝90°，AB＝CD＝10， ∴DE＝CD﹣CE＝10﹣7＝3， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：， ∴AE的长为5； （2）若PE⊥AE时，则△PEA是直角三角形， 如图，过点E作EF⊥AB于M，则∠D＝∠BAD＝∠EMA＝90°， ∴四边形ADEM是长方形， ∴EM＝AD＝4，DE＝MA＝3， ∵点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒． ∴PB＝2t， ∴PA＝10﹣2t， ∴PM＝PA﹣AM＝10﹣2t﹣3＝7﹣2t， 在Rt△PEM中，由勾股定理得：PE2＝EM2+PM2＝42+（7﹣2t）2， 在Rt△PEA中，由勾股定理得：PE2+AE2＝PA2， ∴42+（7﹣2t）2+52＝（10﹣2t）2， 解得：， ∴当时，PE⊥AE． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/14 10:56:31；用户：林建伟；邮箱：13067837950；学号：53829082 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $