数学-2024-2025学年高二上学期阶段性学习效果评估四（期末）

2024—2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.下列结论中，正确的是 A.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集1,2,3，，}）上的函数 B.数列的项数一定是无限的 C.数列的通项公式的形式是唯一的 D.数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式 2.在等比数列{an}中，4n>0,41,a9是方程x2-10x+16=0的两根，则a4oa5oa60= A.3 B.64 C.256 D.±64 11 3.如果x>0,y>0,且+=1，则y有 A.最小值4 B.最大值4 C.最大位好 D.最小值好 4.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S=12,S。=51,则S,的值等于 A.66 B.90 C.117 D.127 5.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由 整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为上（≥2），每 1 11,111,1 个数是它下一行左右相邻两数的和，如2+2’23+6' 1_11 3412’ …,则第7行第4个数（从左往右数）为 1 1212 1 1 A·140 B·105 11 52030 20 5 1 C·60 D.1 42 6.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责 (人民教育)高二数学第1页（共4页） 之粟栗五斗，羊主日：“我羊食半马”马主日：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题 的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我羊所吃 的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们 各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？ A B. 50 100 200 C. D. 7 1 7,如果过点M2,0的直线1与椭圆号+2-1有公共点，那么直线1的斜率太的取值范围 是 22 62 c D.- 2’2 8.两等差数列{an}和{bn},前n项和分别为Sn,Tn,且 S=7n+2 T,n+3，则 ,+a0的值为 b7+bis 149 9 51 A. 24 B.4 C. D. 10 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.下列四个命题中真命题有 A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B.已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是1 C.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1) D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 l0.Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a,b,c∈R,使得Sn=a·b”+c,则 A.a+c=0 B.b是数列{an}的公比 C.ac<0 D.{an}可能为常数列 11.已知方程x2sin0-y2sin20=1,则 A。存在实数，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为红 B.存在实数0，该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线 C.存在实数0，该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线，且双曲线的离心率为√2 D。存在实数0，该方程对应的图形是焦点在x轴上的椭圆，且椭圆的离心率为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.平面向量ā与b的夹角为120°，|a=1,b=1,则|a+3b 13.在等比数列{an}中，a3a9=1,a1a5+a8a1o=8,则a3+a9的值为 14.无穷数列{a,}满足：a∈(0,1)，an=2√a-ann=1,2,3…),其前n项和记为Sn (人民教育)高二数学第2页（共4页） 给出下列四个结论： ①a,-a小s2 ②数列{an}单调递增； ③设数列{回}的前n项和为工，则存在%∈N*,使得T,-S,> 2 ④若a≤子，则当>8a时，一定有a>4 1 1 其中，所有正确结论的序号是 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知等差数列{an}满足：a1=2,且a=aa. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{a2m}的前n项和，求Sn 16.(5分)设双面线C:号-号=，，片为其左有两个焦点： (1)设O为坐标原点，M为双曲线C的右支上任意一点，求OM·EM的取值范围； (2)若动点P与双曲线C的两个焦点F,F的距离之和为定值，且Cos∠FPF的最小值 为)，求动点P的轨迹方程。 17.(15分)设数列{a,}的前n项和为S,已知4=1，a="+2S.(u∈N,）. n (1)证明：数列 . 是等比数列； n (2)设bn=1og2 n十，求数列b的前n项和T (人民教育)高二数学第3页（共4页) 18.(17分)已知圆Cx2+y2+6x-2y+6=0和圆C2:x2+y2-8x-10y+41-r2=0(r>0). (1)若圆C与圆C2相交，求r的取值范围； (2)若直线：y=0c+1与圆C交于P,Q两点，且OP.00=4,求实数k的值. 19.(17分)设n∈N,有以下三个条件： ①an是2与Sn的等差中项；②a1=2,Sm1=41(Sn+1);③{an}为正项等比数列，S2=6, S,=14.在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答（如果选择多个条件 分别作答，按第一个解答计分). 若数列{an}的前n项和为Sn,且 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若{abn}是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn· (人民教育)高二数学第4页（共4页)2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.A2.B3.A4.C5.A6.D7.D8.A 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.AC 10.ABC 11.CD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.√万 13.±10 14.①②④ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d,由a22=a1a5,化简得：dP-4d=0, 解得：d=0或d=4. 当d=0时，an=2; 当d=4时，an=2+4(n-1)=4n-2, 从而得数列{am}的通项公式为an=2或an=4n-2; (6分) (2)当d=0时，am1=2,Sn=2n; 当d=4时，a2m-1=8n-6,Sn=4n2-2n. 综上：Sn=2n或Sn=4n2-2n. (13分) 16.(15分) 解：(1)设M(xy),x≥√2，左焦点F(-5,0), :0M.FM=(x,y)(x+v5,y） 2+5x+=x+5x+33+5m(a 对称轴为x=5≤2， (人民教育)高二数学参考答案第1页（共4页) .OM.FMe2+0,+o); (7分) 2)由椭图定义得P点轨迹为楣圆言+片=1a>b>0,F=2V5, Q-xs PF+PF=2a, cosZEPE=IPEP+P-2PFP-20 4a2-20 2PRPF 2 PF PF 2P 由基本不等式得2a=|PF+PF≥2 PRPF,当且仅当PF=PF时等号成立， ≤c,则oEP明≥a20-1=)d=9,方=4， 2a2 ·动点P的轨迹方程为号+父=1. 94 (15分) 17.(15分) (①)证明：因为a4=”+2S,所以3-3.=”+23， n n 整理得S1=2+23,所以S=28， n+1 n 所以骨}是以子-1为首现，2为公比的等比数列： (7分) (2)解：由(1)可得=12=2，则S,=n2, 所以a1=(n+2)2-1,故an=(n+1)2”-2(n≥2)， 当=1时，(（1+1)22=1=a,则an=(n+1)2"-2(n∈N), 则bgcg,a+2og,2=n-2 n+1 所以7=-1+0+1+2…+(m-2列=0-3加. (15分) 2 18.(17分) 解：(1)圆C:x2+y2+6x-2y+6=0的标准方程为(x+3)2+(y-)=4, 则圆心C(-3,1),5=2, 圆C2x2+y2-8x-10y+41-r2=0(r>0)的标准方程(x-4)2+(0y-5}=r2(>0), （人民教育)高二数学参考答案第2页（共4页) 则圆心C2(4,5),5=r, ∴CC=V(4+3}+(5-1}=65, :圆C与圆C2相交 ∴i-5<CC2<r+2,即r-2<65<r+2, 解得√65-2<r<√65+2， ∴r的取值范围为r∈(N65-2,V65+2); (8分) (2)已知直线1：y=kx+1与圆C交于P,Q两点，设P(x,y),Q(x2y2), y=kx+1 联立 (+3+0-1}=4’得+)x2+6x+5=0, △=16-20k2>0 所以+= 6 1+2，得k∈ 252W5） 5,5 xx2=1+k2 0P.00=x5+%=+5+kG+)+1=2+6=4, 解得k=3± 2 经检验得k=35,所以k=35； , (17分) 2 2 19.(17分) 解：(1)若选择①：因为an是2与Sn的等差中项，所以2an=2+Sn, 当n=1时，2a1=2+a,解得a,=2. 当n≥2时，由2an=2+Sn,2am-1=2+n1, 两式相减得2an-2an1=an,所以an=2an-1, 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列{an}的通项公式为a,=2”. 若选择②，由a=2,Sn1=a(Sn+1),则Sn+1=2Sn+2,Sn=2Sn1+2(n≥2)， 两式相减得a+1=2a., 又因为a=2,a2=4,所以数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列， （人民救育)高二数学参考答案第3页（共4页) 所以数列{an}的通项公式为an=2”. 若选择③，设正项等比数列{an}的公比为q(9>0), a(1+q）=6 则 a1+q+g2）=14' 4-2 a1=18 解得 9=21 或2（舍去）， 9=- 3 所以数列{an}的通项公式为a。=2”; (8分) (2)因为{anbn}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以anbn=n. 由()知a,=2,所以6=2 1.234 所以T,=。+ 在①的等式两边同乘2，得 2② ,1,111n ①-②，得2722+2++ 2”20+ 别 204 =1-1n 2”2+T, 所以数列{，}的前n项和工=2-2+n. (17分) 2” （人民教育)高二数学参考答案第4页（共4页)请在各题的容题区域内作答，超出容题区域的答案无效 请在各题的客题区域内作客，超出容题区域的客案无效 2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 四、（本大题共5个小题，共77分.解容应写出文字说明、证明过程或演 16.(15分) 算步骤) 高二数学答题卡 15.(13分) 姓名 准考证号 准考证号」 四四面四四四四四 考号 班级 ■▣口▣0可口■0■口a回■口 团四四四团四回团0四四回 考场」 座位号 刀团刀四团刀团四刀四刀团 团团田四团回四四四回 四四山田四山口四回 条形码粘贴区域 四四四田四口四口 (正面朝上，切赌出虚找方框 四四四如四口口四 试卷类型A口 B▣ 缺考标记（禁止考生填涂）口 L,选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干 注意事项 净。不智。 填 2.非法轻题必须使用黑色整字笔书写，笔速清楚。 3.请按题号序在各题百的客区城内作容，超出答趣区域 和试题了 样例 正确填涂 ■ 4.请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 第1卷（选择题共58分） 1团04四600四四 11团四购四 2四 3刀四四 8刀0m四 4团田M四9丑DM四 5四四00 100000 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14. 请在各题的容题区域内作容，短出答题区域的容案无效 (人民教有)高二数学答题卡 请在各题的容题区域内作容，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出客题区域的答案无效 请在各题的客题区城内作容，超出答题区域的客案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的客案无效 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的容案无效 (人民长育)高二数学答题卡 请在各题的容题区域内作答，超出答题区域的答案无效