精品解析：上海市新中高级中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

2025学年第一学期高一数学期中试卷 一、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知全集，集合，，则______． 2. 不等式的解集为______． 3. 若关于的不等式的解集是，则________ 4. 若，则____________． 5. 函数的图象向右平移个单位得到函数___________的图象． 6. 已知，则可用表示为_________． 7. 已知，，且，则的最小值为___________. 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 9. 已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________. 10. 定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是__________. 二、选择题（本大题共有4小题，每小题3分，满分12分） 11. 设，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 12. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 已知，，则下列说法正确的是　　 A. 时，恒有 B. 与函数图象仅有唯一交点 C. 时，图象在图象下方 D. 存在使得 14. 已知，对任意给定的实数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有4小题，满分48分） 15. 已知幂函数在上为严格增函数． （1）求的解析式； （2）若对任意x都成立，求k的取值范围． 16. 设函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解关于的不等式：． 17. 如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m. （1）若水池的长比宽至少多60m，求水池的宽的最大值； （2）若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 18. 设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． （1）判断是否为“好集”，并说明理由； （2）求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高一数学期中试卷 一、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知全集，集合，，则______． 【答案】． 【解析】 【分析】结合交集、补集的定义，即可求解． 【详解】全集，， 则， 集合， 则． 故答案为：． 2. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式移项通分，解不等式即可 . 【详解】，则. 故不等式解集为. 故答案为：. 3. 若关于的不等式的解集是，则________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系求解出结果即可． 【详解】解：由题设可知：关于的一元二次方程的两根为与， 由韦达定理可得：，解得：，， 故答案为：． 4. 若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先进行指对互化，再根据指数幂的运算性质求解. 【详解】由题可知，. 故答案为：. 5. 函数的图象向右平移个单位得到函数___________的图象． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的方法“左加右减”直接得到结果. 【详解】将的图象向右平移个单位得到函数的图象， 故答案为：. 6. 已知，则可用表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式表示出结果即可. 【详解】因为， 故答案为：. 7. 已知，，且，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据基本不等式，结合“1”的代换，可求得的最小值． 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当时取得等号， 所以的最小值为. 故答案为： 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的最小值，求解即可. 【详解】因为关于的不等式恒成立，所以， 记， 当时，，当时，有最小值为2； 当时，，为常数函数2； 当时，，当时，有最小值为2； 综上所述：的最小值为2，所以. 故答案为：. 9. 已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 10. 定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用不等式放缩消元，可得，这样就化为同变量的取值分析，从而先研究出，再分析出最大值，即可. 【详解】均为正实数，， 当，即时，，即， ， 当时，取到最大值； 当时，； 综上所述，的最大值为. 二、选择题（本大题共有4小题，每小题3分，满分12分） 11. 设，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 12. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式和指数幂的运算性质逐项判断. 【详解】对A：因为，故错误； 对B：因为无意义，故错误； 对C：因为，故错误； 对D：因为，故正确； 故选：D. 13. 已知，，则下列说法正确的是　　 A. 时，恒有 B. 与函数图象仅有唯一交点 C. 时，图象在图象下方 D. 存在使得 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据反例可判断A、B的正误，利用函数的差的值的大小判断C，利用幂函数的图象，可判断D的正误，得到答案． 【详解】由题意，当时，，所以A不正确； 当，时，，所以B不正确； 令，由，可得，解得， 所以当时，图象总在图象下方，所以C正确； 当时，总有，不存在使得， 所以D不正确，故选C． 【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，以及合理利用反例法进行判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 14. 已知，对任意给定的实数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 由基本不等式得：， 又因为，所以，所以， 所以不等式取不到等号，故， 所以. 故选：A 三、解答题（本大题共有4小题，满分48分） 15. 已知幂函数在上为严格增函数． （1）求的解析式； （2）若对任意x都成立，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性列式求解即可； （2）分析可知原题意即为对任意x都成立，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立问题列式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，即，可得， 原题意即为对任意x都成立， 若，即时，不恒成立，不合题意； 若，即时，则，解得， 所以k的取值范围为. 16. 设函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） 当时，解集为；当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）先确定出是方程的两个根，再根据韦达定理求解出的值； （2）将不等式变形，然后讨论和时不等式的解集，由此可求结果. 【小问1详解】 由题意知，是方程的两个根， 则，解得． 【小问2详解】 依题意，等价于， 当时，不等式解得，解集为， 当时，不等式化为，且，所以不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为． 17. 如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m. （1）若水池的长比宽至少多60m，求水池的宽的最大值； （2）若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设水池的长、宽分别为，则，且，由题意可得，解不等式即可求解； （2）设水池总造价为元，结合题意可得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设水池的长、宽分别为，则，且， 由题意得，即， 所以，因为， 所以，即， 即，解得， 又，所以， 所以水池的宽的最大值为20. 【小问2详解】 设水池总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，将水池的地面设计为边长为的正方形时总造价最低，最低总造价为元. 18. 设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． （1）判断是否为“好集”，并说明理由； （2）求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】（1）是“好集”，理由见解析 （2），，，， 【解析】 【分析】（1）根据好集的定义判断即可； （2）判断包含于的好集的特征，再求得满足条件的集合A. 【小问1详解】 由，得. 因为，所以是“好集”． 【小问2详解】 由于所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $