精品解析：辽宁省大连市金普新区2025-2026学年九年级上学期期中核心素养监测数学试卷

2025－2026学年度第一学期期中核心素养监测九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 正五边形 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是半圆直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 9. 对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（ ） A. 乙的作法正确，甲的作法错误 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲和乙的作法都正确 10. 抛物线上，部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 1 …… 则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是_____． 12. 如图，是的直径，，，则的大小为______． 13. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 14. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，2），若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是 ___． 15. 如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点，为抛物线对称轴上两点（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，点是斜边上的一点，以为半径的与边相切于点，连接．求证：平分． 18. 为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 19 根据以下内容，完成问题 探究主题 拱桥水位的变化 呈现问题 某景区有一座抛物线形石拱桥，工作人员需研究水位变化对桥面下水面宽度影响．测量发现：当拱顶离水面时，水面宽，当水面上涨3m时，水面宽度减少多少? 数学抽象 从实际问题抽象出数学问题为：已知抛物线顶点为，，垂足为，交于点，，，，求． 自主建模 求线段长，需要先求点的坐标，就需要建立平面直角坐标系． 小组展示对比优化 小组一：以顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组二：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系． 小组三：以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组四：以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 问题解决： （1）选择一种建模思路求出水面上涨，水面宽度减少多少？ （2）把呈现问题中的“当水面上涨时”改为“当水面宽度为时”，水面是下降还是上涨?水位变化是多少? 20. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 21. 如图，是的外接圆，，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 已知在中，，，分别为、上一点，，． （1）如图，求的长； （2）如图，将图中的绕点按顺时针旋转，当时，且点在的内部时，与交点，连接并延长交于点． ①求证：； ②求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，其中，． （1）求，的值； （2）点为抛物线的第一象限上一动点，连接，交于点，当取最大值时，求点的坐标； （3）将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点时，抛物线存在两点，，若对于满足任意实数，总有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期中核心素养监测九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键． 【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； B.一般的直角三角形不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意； C.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； 故选：C． 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键． 【详解】解：两条直线被三条平行线所截， ， ，， ， ， 故选：B． 4. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 5. 如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查旋转的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等边对等角”、三角形的内角和等于等知识，证明是解题的关键．设交于点，由，且，得，则，由，得，而，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ，， ， 由旋转得，，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 7. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示， 由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 9. 对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（ ） A. 乙的作法正确，甲的作法错误 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲和乙的作法都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 连接 ． 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：D． 10. 抛物线上，部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 1 …… 则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据表格数据，利用二次函数的对称性、开口方向及根的存在性判断各结论即可． 【详解】解：∵当时，，且中时， ∴，故②正确； ∵当和时，，且函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，故③正确； ∵对称轴为直线，且值随增大先减后增（从到，从减至；从到，从增至）， ∴抛物线开口向上，即，故①正确； ∵当时，时， ∴方程 在内有一根，即； ∵当时，时， ∴在内有一根，即，故④正确； 因此，所有结论正确； 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征来求解的值． 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称， ∴ 关于原点对称的点的纵坐标互为相反数，即， 故答案为：． 12. 如图，是的直径，，，则的大小为______． 【答案】##76度 【解析】 【分析】根据同弧（或等弧）所对的圆心角相等，得。即可求出的度数． 【详解】解：在中， ∵，， ∴； ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查圆心角的计算，属于基础题，理解同弧（或等弧）所对的圆心角相等是解题的关键． 13. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 14. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，2），若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是 ___． 【答案】（2，﹣3） 【解析】 【分析】作AB⊥y轴于B，⊥x轴于．根据A点坐标可知AB、OB长度，由旋转的性质知 、 的长度，根据所在象限确定其坐标． 【详解】解：作AB⊥y轴于B，⊥x轴于． ∵A（3，2）， ∴AB＝3，OB＝2． ∴＝3，＝2． ∵在第四象限， ∴（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 【点睛】考查了坐标与图形变化﹣旋转，需注意旋转前后对应线段的长度不变，确定坐标时注意点所在象限． 15. 如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点，为抛物线对称轴上两点（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线与坐标轴的交点以及对称轴，在轴上取点，连接，可得四边形为平行四边形，则，那么，当点共线时，取得最小值，即为，此时点为与抛物线对称轴的交点，由待定系数法求出直线表达式即可求解点． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， 当时，， 解得：， ∴， 在轴上取点，连接， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵抛物线关于直线对称，且点是抛物线与轴交点， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值，即为， 此时点为与抛物线对称轴的交点， 设直线表达式为， 代入点，得， 解得：， ∴直线表达式为， 当时，， ∴点E坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）先移项，然后系数化为1，再利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴或， ∴，． 17. 如图，点是斜边上的一点，以为半径的与边相切于点，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质（圆的切线垂直于过切点的半径）是解题的关键． 要证明 平分 ，可连接 ，利用切线的性质得到 ，再结合 推出 ，进而通过角的关系证明 ． 【详解】解：连接 ． 以 为半径的 与边 相切于点 ， ． ∵， ∴， ． ． ， ． ， ∴ 平分 ． 18. 为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数计算公式（其中为球队数量）是解题的关键．通过设球队数量为未知数，根据单循环赛制的比赛场数计算公式建立方程，进而求解球队数量． 【详解】解：设共有支球队参加比赛．由题意可得 ， ， 解得，（球队数量不能为负数，舍去）， 答：共有支球队参加比赛. 19. 根据以下内容，完成问题 探究主题 拱桥水位的变化 呈现问题 某景区有一座抛物线形石拱桥，工作人员需研究水位变化对桥面下水面宽度的影响．测量发现：当拱顶离水面时，水面宽，当水面上涨3m时，水面宽度减少多少? 数学抽象 从实际问题抽象出数学问题为：已知抛物线顶点为，，垂足为，交于点，，，，求． 自主建模 求线段长，需要先求点的坐标，就需要建立平面直角坐标系． 小组展示对比优化 小组一：以顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组二：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系． 小组三：以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组四：以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 问题解决： （1）选择一种建模思路求出水面上涨，水面宽度减少多少？ （2）把呈现问题中“当水面上涨时”改为“当水面宽度为时”，水面是下降还是上涨?水位变化是多少? 【答案】（1）水面宽度减少值为． （2）故水面下降，水位变化量为． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的建模（建立平面直角坐标系、求解析式）是解题的关键． （1）针对四个小组的建模思路，均通过建立平面直角坐标系，确定抛物线的顶点或过点坐标，求出抛物线解析式，再根据水面上涨后的纵坐标求出对应水面宽度，进而计算宽度减少的值． （2）根据水面宽度求出对应纵坐标，与原水面纵坐标比较判断水位升降并计算变化量． 【小问1详解】 解：小组一建模（以顶点为原点，抛物线对称轴为轴）， 以为原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系，则，原水面距拱顶，故所在直线，，则，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，水面所在直线，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． （1）小组二建模（以中点为原点，所在直线为轴） 以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组三建模（以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴）， 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，拱顶． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得或， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组四建模（以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴） 以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设， ，则 ， ∵原水面距拱顶，故 ∴原水面所直线，， ∴，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 又因原水面过，且原抛物线在小组二建模中解析式为，其对称性可知，即． 水面宽度减少值为． 【小问2详解】 解：以小组二坐标系为例，抛物线解析式． 当水面宽度为时，，代入得， 原水面，，故水面下降． 水位变化量为． 20. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】（1）这个正方形零件的边长是； （2）矩形面积最大是． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等等，解本题的关键是证明出． （1）先证明，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）设，根据（1）可得，根据，可得，即可得，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【小问1详解】 解：∵四边形正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形零件的边长为，则， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴这个正方形零件的边长是； 【小问2详解】 解：设，同（1）可得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， ∵， 当时，此时矩形面积最大，最大面积是， 即：矩形面积最大是． 21. 如图，是的外接圆，，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理，将、分别与、关联，结合的关系证明． （2）作的角平分线交于，连接，先证垂直平分，再证，最后利用勾股定理列方程求解半径． 【小问1详解】 解：∵同弧所对的圆心角是圆周角的倍， ∴，， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：作平分交于，交于M，连接， ∵，平分， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为，则， 在中，， 即， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理和利用全等三角形及勾股定理构造方程求解是解题的关键． 22. 已知在中，，，分别为、上一点，，． （1）如图，求的长； （2）如图，将图中的绕点按顺时针旋转，当时，且点在的内部时，与交点，连接并延长交于点． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）； （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）通过证明与相似，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算的长． （2）①作辅助线，先求出的长度，再证明（），从而得到，证明． ②作辅助线，利用相似三角形的性质求出相关线段的比例关系，结合勾股定理和方程思想求出的长度，进而求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴．即， 解得； 【小问2详解】 解：①过点作于． ∴， ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵即， ∴， ∵，， ∴（）． ∴，即． ②过点作交于． ，， ． 由①知，又，，， ∴， ． ∴， 由（）得， ∴， ． ∵， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ， ， ，即 解得，， ， ， ， 设，则， ， 解得即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，其中，． （1）求，的值； （2）点为抛物线的第一象限上一动点，连接，交于点，当取最大值时，求点的坐标； （3）将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点时，抛物线存在两点，，若对于满足的任意实数，总有，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点、的坐标代入二次函数解析式，建立方程组求解、的值． （2）先求出点坐标和直线的解析式，过作轴交于，通过相似三角形转化为，再将问题转化为求二次函数的最大值，进而确定点坐标． （3）先确定抛物线沿射线的平移规律，得到的解析式，再根据的条件，结合二次函数的性质求出的取值范围． 【小问1详解】 解：把，代入，得 ，即 解得，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴得， 令，则，即， 或， ． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 过作轴交于，设，则． ． 轴， ， ． ， ． 对于二次函数，，对称轴为． 当时，有最大值，此时点纵坐标为， ． 【小问3详解】 解：抛物线， ∴抛物线的顶点为(1,4)， ∵，， ∴点向右平移3个单位，向下平移3个单位得， ∵将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点， ∴新抛物线：， 对称轴为． 当时，． 新抛物线：中，当时，， 解得或， 要使时恒成立，则点要在的下方， ∴或， 解得或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的待定系数法、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、抛物线的平移及二次函数的单调性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $