2025年九年级中考数学 复习专题15 图形的相似和位似 复习讲义

专题15 图形的相似与位似的核心知识点精讲 考点1、比例线段 1.（1）若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项。 （2）比例的基本性质：①如果(即)，那么；②a：b=b：c； ③若，则或；若，则；若，则； ④等比性质：若，则（）。 2.比例线段的相关概念：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n。在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3.黄金分割:如图所示，线段上一点C将线段分成不相等的两部分，使较短的线段与较长的线段的比等于线段与原线段的比，即,那么称线段被点C黄金分割，点C叫作线段的黄金分割点，较长线段与原线段的比叫作黄金分割比，比值为，它约等于0.618。 考点2、相似图形 1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形。也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的(全等是特殊的相似图形)。 2.相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等。 相似多边形的周长之比等于相似比，相似多边形的面积之比等于相似比的平方。 4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形。 5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 (2)相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比，都等 于三角形的相似比。 (3)相似三角形的周长之比等于三角形相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 6.相似三角形的判定：(1)预备定理一：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似，常见图像如下。 (2)判定定理一：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么 这两个三角形相似。 (3)判定定理二：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么 这两个三角形相似。简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 　　(4)判定定理三：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 简记：三边对应成比例两个三角形相似。 　　(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似。 考点3、位似图形 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同 一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。 3.作位似图形的步骤: 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接各对应点。 题型1：比例的相关计算 例1.已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 解；设a＝5k，则b＝2k，∴，故选：A． 例2.已知abc≠0，且，求的值． 解：解法一：①当a+b+c＝0时，即b＝﹣a﹣c，由，得c2＝﹣a2﹣ac， （）21＝0，△＝1﹣4＜0，a，c无解； ②当a+b+c≠0时，有等比性质，得 1，a＝b＝c．． 解法二：设k（k≠0）， ∴a＝bk，b＝ck，c＝ak， ∴abc＝k3abc， ∵abc≠0， ∴k＝1， ∴a＝b＝c， ∴． 跟踪训练： 1.已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 解：由题意设x＝5k，则y＝4k，∴．故选：A． 2.已知a：b：c＝1：3：2，且a+2b+3c＝39，求a+b﹣c的值． 解：∵a：b：c＝1：3：2，∴令a＝k，b＝3k，c＝2k， ∵a+2b+3c＝39， ∴k+2×3k+3×2k＝39，∴k＝3， ∴a＝3，b＝9，c＝6，∴a+b﹣c＝3+9﹣6＝6． 3.已知，且a+c＝12，求a﹣2b+3c的值． 解：∵，∴设，∴a＝2k，b＝3k，c＝4k． ∵a+c＝12，∴2k+4k＝12．∴k＝2． ∴a＝4，b＝6，c＝8．∴a﹣2b+3c＝4﹣12+24＝16． 4.已知x，求x的值． 解：①当a+b+c≠0时，根据等比性质，得x； ②当a+b+c＝0时，则a+b＝﹣c，x＝﹣1． ∴x的值为﹣1或． 题型2：相似三角形的相关计算 例1.如图，E是▱ABCD的边CD的延长线上一点，且CD＝2DE，BE与AC相交于点F， 则的值是（　　） A． B． C． D． 解：由条件可知AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝2DE，∴AB＝2DE， ∵AB∥CD， ∴△ABF∽△ECF， ∴，∴，故选：B． 例2.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，3，且∠AED＝∠B，则 △AED与△ABC的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．3：16 D．4：9 解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵3，∴ADAB，AEAC， ∴4AD2AC2∴，∴， 故选：C． 跟踪训练： 1.如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于 点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC， ∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴， ∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故选：C 2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（　　） A． B． C． D． 解：∵DE∥BC，∴．故选：C． 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB＝1：9，则S△DOC： S△BOC＝（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：81 解：根据题意，AD∥BC，∴△AOD∽△COB， ∵S△AOD：S△COB＝1：9，∴，则S△AOD：S△DOC＝1：3， 所以S△DOC：S△BOC＝3：9＝1：3，故选：A． 4.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　） A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 解：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°． ∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE， ∴△ADC∽△DEB，∴，∵BD＝4DC，∴设DC＝x， 则BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴，∴AD＝3，故选：C． 5.如图，在▱ABCD中，E是CD边上一点，AE与BD交于点F，若DE＝2EC，则△DEF 与△ABF的周长比为（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：2 D．4：9 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD， AB∥CD，∴∠ABF＝∠EDF，∠BAF＝∠DEF， ∴△DEF∽△BAF，∴， ∵DE＝2EC，∴CD＝3EC， 6.线段AB上的一点P将AB分割成PA、PB（PA＞PB）两段，如果PA的长度是AB与PB长度的比例中项，即PA2＝PB•AB，那么称点P为线段AB的黄金分割点．如图，已知线段AB＝1，点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），求PA的长度． 解：设PA＝x，则BP＝AB﹣AP＝1﹣x， ∵点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），∴PA2＝PB•AB，即x2＝（1﹣x）•1， 化简，得x2+x﹣1＝0，解得，（舍去），∴PA的长度为． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D． （1）求证：BC2＝AB•DB； （2）若AD＝6，BD＝4，求CD的长． 解:（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°． ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB． 又∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB， ∴，∴BC2＝AB•DB； （2）解：∵AD＝6，BD＝4， ∴AB＝AD+DB＝10．由（1）知，BC2＝AB•DB＝40， 在Rt△CDB中，由勾股定理，CD2． 题型2：相似三角形的实际应用 例1.九年一班同学利用标杆测量校园中的实验楼MN的高度．小亮在B处竖立了一根标杆 AB，小华走到D处时，站立在D处恰好看到标杆顶端A和实验楼的顶端M在一条直线上， 此时测得小华的眼睛到地面的距离CD＝1.6米，AB＝4米，BD＝3米，BN＝21米，点D， B，N在一条直线上，CD⊥DN，AB⊥DN，MN⊥DN．根据以上测量数据，请你求出实验楼 MN的高度． 解：过C作CF⊥MN于F，交AB于E， ∵CD⊥DN，AB⊥DN，MN⊥DN， ∴四边形CDNF，CDBE是矩形， ∴CE＝BD＝3米，EF＝BN＝21米，FN＝BE＝CD＝1.6米， ∴AE＝AB﹣BE＝4﹣1.6＝2.4（米），CF＝CE+EF＝3+21＝24（米）， ∵CD⊥DN，AB⊥DN，MN⊥DN， ∵AB⊥DN，MN⊥DN， ∴AE∥MF， ∴△CAE∽△CMF， ∴， ∴， ∴MF＝19.2米， ∴MN＝MF+FN＝19.2+1.6＝20.8（米）， 答：实验楼MN的高度为20.8米． 例2.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m． (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度． 解(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE， ∴∠ACB=∠AED=90°． ∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE． (2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴． ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴．∴DE=16m． 答：即古塔的高度为16m． 跟踪训练： 1.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PQ交AD于H点． （1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝　60　 mm． （2）若矩形PNMQ的周长为220mm，求出PN的长度． 解：（1）∵P为AB中点，PQ∥BC，∴PQ为△ABC的中位线，∴mm． （2）∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC， ∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∴PN＝DH∴AH＝AD﹣DH＝80﹣PN． ∴四边形PNMQ为矩形，∴PQ＝MN，DH＝PN， ∵矩形PNMQ的周长为220mm，∴PQ＝110﹣PN， ∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴PN＝20mm． 2.如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面 镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边 缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m， 灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中 的入射角∠GBH等于反射角∠EBH，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 解：（1）FC∥DE， 则△BFC∽△BED， 则， 即， ∴BC＝3； （2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴， ∴， 解得：AG＝1.2（m）， 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 题型3：位似 例1.如图，在坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，6），B（4，2），C（10，2）， △A′B′C′与△ABC关于原点O位似，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′， 其中点B′的坐标是（2，1）． （1）△A′B′C′与△ABC的相似比是 　　 ； （2）请在图中画出△A′B′C′，并求出△A′B′C′的面积为 　3　 ； （3）若边AC上有一点M（a，b），则在边A′C′上与点M对应的点的坐标是 　（）　 ． 解：（1）∵△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，B（4，2），B'（2，1）， ∴△A′B′C′与△ABC的相似比是．故答案为：． （2）如图，△A′B′C′即为所求． △A′B′C′的面积为3．故答案为：3． （3）由题意得，在边A′C′上与点M（a，b）M对应的点的坐标是（）． 例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心， 相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4） 解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2）， ∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故选：D． 跟踪训练： 1.如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 　1：3　． 解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3， ∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形， ∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′， ∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3， ∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，故答案为：1：3． 2.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1； （2）连接BA1、BB1，求△A1B1C1的面积． 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图， △A1B1C1的面积4×4＝8． 3.如图，A（2，3），B（1，1），C（3，1），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的 2倍得△A′B′C′． （1）在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法） （2）计算△A′B′C′的面积； （3）△ABC内一点P（m，n），△A′B′C′内与点P对应的点P′的坐标为　（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）　 ． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）S； （3）由题可知P'（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）． 专题练习-基础过关 1.若，则的值为（　　） A． B． C． D． 解：∵，∴ba，∴；故选：B． 2.如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（　　） A．75° B．105° C．60° D．45° 解：∵△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，∴∠ADE＝∠ABC＝45°． 在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，∠A＝60°， 即∠AED+45°+60°＝180°，∴∠AED＝75°．故选：A． 3.下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm 解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意； B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意； C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意； D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；故选：C． 4.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图， 某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的 高跟鞋的高度大约为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm， 设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：， 解得：y≈8cm．故选：C． 5.如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D，∠A＝∠B， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝6，OC＝3，OD＝2， ∴， ∴OB＝4． 故选：B． 6.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 解：A、因为DF∥AC，所以，故A选项错误； B、由DF∥AC得，由DE∥BC得，则，故B选项错误； C、由DF∥AC得，故C选项错误； D、由DF∥AC得，由DE∥BC得，则 ，故D选项正确． 故选：D． 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC 上，且，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．1或 D．1或2 解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝， ∵，∴DE＝1，如图，当∠ADE＝90°时， ∵∠ADE＝∠ABC，，∴△ADE∽△ABC，∴， ∴AE＝2，如图，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH， ∵点D是AB中点，点H是AC的中点， ∴DH∥BC，DH＝BC＝1， ∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1， ∴∠DEH＝60°， ∴∠ADE＝∠A＝30°， ∴AE＝DE＝1，故选：D． 8.△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心， 把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，点A的坐标为（2，4），则点A'的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），故选：B． 9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　） A．3：4 B．3：1 C．9：1 D．9：16 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝3：4，∴DE：AB＝3：4，∴S△DFE：S△BFA＝9：16， 故答案为：D． 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC 于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线C P交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　） A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D． 解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°， 由题意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°， ∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE， ∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB， ∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，∴△BCE是黄金三角形， ∴，∴，∴，∴， 故A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C． 11.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是 　4：9　． 解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3， ∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9． 故答案为：4：9． 12.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝　　． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD， ∵，∴设AE＝2a，则BE＝3a，∴AB＝CD＝5a， ∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴，∴，故答案为：． 13.如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值 为 　　． 解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3， ∵AB∥EF∥CD，∴，故答案为：． 14.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 　△MCB　． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可知，∠BMN＝∠A＝90°， ∴∠DMN+∠CMB＝90°， ∴∠DNM＝∠CMB， ∴△NDM∽△MCB， 故答案为：△MCB． 15.如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩 形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 　　． 解：设AD交EH于点R，∵矩形EFGH的边FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°， ∴△AEH∽△ABC， ∵AD⊥BC于点D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°， ∴AR⊥EH，∴， ∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH， ∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴，解得EH＝，∴EH的长为. 16.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C． （1）求证：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长． 证明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA； （2）∵△ABD∽△CBA， ∴， ∵AB＝6，BD＝3，∴，∴BC＝12，∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9． 17.如图，在△ABC中，AD和BE分别是BC，AC边上的高，且相交于F点，连接DE． （1）求证：△BEC∽△ADC； （2）若CE＝2，CB＝5，DE＝3，求AB的长． 解：（1）证明：∵AD和BE分别是BC，AC边上的高， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴△BEC∽△ADC； （2）解：∵△BEC∽△ADC， ∴，即， 又∵∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAB， ∴， ∵CE＝2，CB＝5，DE＝3， ∴， ∴． 18.如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E． （1）求证：△ABM∽△EMA； （2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠EAM＝∠AMB． ∵EM⊥AM， ∴∠AME＝90°， ∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM， ∴△ABM∽△EMA； （2）解：∵AB＝4，BM＝3， ∴， ∵△ABM∽△EMA， ∴，即， ∴ME=． 19.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． （1）证明：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长． 解:（1）证明：∵AD是斜边BC上的高， ∴∠BDA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠BAC， 又∵∠B为公共角， ∴△ABD∽△CBA； （2）解：由（1）知△ABD∽△CBA， ∴， ∴， ∴BD＝3.6． 20.拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为 完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学 兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高 度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立 两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在 同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D 在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点 也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组 求出东塔AB的高度． 解：设BD＝x m，则BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m， ∵AB⊥BC，EF⊥BC， ∴AB∥EF， ∴△ABD∽△FED， ∴，即， 同理可证△ABC∽△HGC， ∴，即， ∴， 解得x＝48， 经检验，x＝48是原方程的解， ∴， ∴AB＝36m， 答：该古建筑AB的高度为36m． 21.如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE， AC＝AD． （1）求证：DE＝AF； （2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE． 证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ACF＝∠DAC ∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD， ∴△ACF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE； （2）∵△ACF≌△DAE， ∴∠AFC＝∠DEA， ∴∠AFB＝∠DEC， ∵∠ABC＝∠CDE， ∴△ABF∽△CDE， ∴， ∴AF•DE＝BF•CE， ∵AF＝DE， ∴AF2＝BF•CE． 22.如图，在12×12的正方形网格中，△CAB的顶点坐标分别为点C（1，1）、A（2，3）、B （4，2）．以点C（1，1）为位似中心，按2：1在位似中心的同侧将△CAB放大为△CA'B'， 放大后点A，B的对应点分别为A′，B′． （1）画出△CA′B′； （2）直接写出点A′，点B′的坐标及△CA′B′的面积． 【解答】解：（1）如图，△CA′B′即为所求： （2）其中A′（3，5），B′（7，3）； △CA′B′的面积＝6×410． 23.（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°， ∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°， ∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF， ∵CH＝DE，∴CF＝CH， ∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°， 又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H， ∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H； （3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS）， ∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG， ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形， ∴FG＝DF＝11， ∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 图形的相似与位似的核心知识点精讲 考点1、比例线段 1.（1）若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项。 （2）比例的基本性质：①如果(即)，那么；②a：b=b：c； ③若，则或；若，则；若，则； ④等比性质：若，则（）。 2.比例线段的相关概念：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n。在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3.黄金分割:如图所示，线段上一点C将线段分成不相等的两部分，使较短的线段与较长的线段的比等于线段与原线段的比，即,那么称线段被点C黄金分割，点C叫作线段的黄金分割点，较长线段与原线段的比叫作黄金分割比，比值为，它约等于0.618。 考点2、相似图形 1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形。也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的(全等是特殊的相似图形)。 2.相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等。 相似多边形的周长之比等于相似比，相似多边形的面积之比等于相似比的平方。 4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形。 5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 (2)相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比，都等 于三角形的相似比。 (3)相似三角形的周长之比等于三角形相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 6.相似三角形的判定：(1)预备定理一：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似，常见图像如下。 (2)判定定理一：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么 这两个三角形相似。 (3)判定定理二：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么 这两个三角形相似。简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 　　(4)判定定理三：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 简记：三边对应成比例两个三角形相似。 　　(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似。 考点3、位似图形 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同 一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。 3.作位似图形的步骤: 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接各对应点。 题型1：比例的相关计算 例1.已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 解；设a＝5k，则b＝2k，∴，故选：A． 例2.已知abc≠0，且，求的值． 解：解法一：①当a+b+c＝0时，即b＝﹣a﹣c，由，得c2＝﹣a2﹣ac， （）21＝0，△＝1﹣4＜0，a，c无解； ②当a+b+c≠0时，有等比性质，得 1，a＝b＝c．． 解法二：设k（k≠0）， ∴a＝bk，b＝ck，c＝ak， ∴abc＝k3abc， ∵abc≠0， ∴k＝1， ∴a＝b＝c， ∴． 跟踪训练： 1.已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 解：由题意设x＝5k，则y＝4k，∴．故选：A． 2.已知a：b：c＝1：3：2，且a+2b+3c＝39，求a+b﹣c的值． 解：∵a：b：c＝1：3：2，∴令a＝k，b＝3k，c＝2k， ∵a+2b+3c＝39， ∴k+2×3k+3×2k＝39，∴k＝3， ∴a＝3，b＝9，c＝6，∴a+b﹣c＝3+9﹣6＝6． 3.已知，且a+c＝12，求a﹣2b+3c的值． 解：∵，∴设，∴a＝2k，b＝3k，c＝4k． ∵a+c＝12，∴2k+4k＝12．∴k＝2． ∴a＝4，b＝6，c＝8．∴a﹣2b+3c＝4﹣12+24＝16． 4.已知x，求x的值． 解：①当a+b+c≠0时，根据等比性质，得x； ②当a+b+c＝0时，则a+b＝﹣c，x＝﹣1． ∴x的值为﹣1或． 题型2：相似三角形的相关计算 例1.如图，E是▱ABCD的边CD的延长线上一点，且CD＝2DE，BE与AC相交于点F， 则的值是（　　） A． B． C． D． 解：由条件可知AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝2DE，∴AB＝2DE， ∵AB∥CD， ∴△ABF∽△ECF， ∴，∴，故选：B． 例2.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，3，且∠AED＝∠B，则 △AED与△ABC的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．3：16 D．4：9 解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵3，∴ADAB，AEAC， ∴4AD2AC2∴，∴， 故选：C． 跟踪训练： 1.如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于 点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC， ∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴， ∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故选：C 2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（　　） A． B． C． D． 解：∵DE∥BC，∴．故选：C． 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB＝1：9，则S△DOC： S△BOC＝（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：81 解：根据题意，AD∥BC，∴△AOD∽△COB， ∵S△AOD：S△COB＝1：9，∴，则S△AOD：S△DOC＝1：3， 所以S△DOC：S△BOC＝3：9＝1：3，故选：A． 4.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　） A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 解：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°． ∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE， ∴△ADC∽△DEB，∴，∵BD＝4DC，∴设DC＝x， 则BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴，∴AD＝3，故选：C． 5.如图，在▱ABCD中，E是CD边上一点，AE与BD交于点F，若DE＝2EC，则△DEF 与△ABF的周长比为（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：2 D．4：9 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD， AB∥CD，∴∠ABF＝∠EDF，∠BAF＝∠DEF， ∴△DEF∽△BAF，∴， ∵DE＝2EC，∴CD＝3EC， 6.线段AB上的一点P将AB分割成PA、PB（PA＞PB）两段，如果PA的长度是AB与PB长度的比例中项，即PA2＝PB•AB，那么称点P为线段AB的黄金分割点．如图，已知线段AB＝1，点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），求PA的长度． 解：设PA＝x，则BP＝AB﹣AP＝1﹣x， ∵点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），∴PA2＝PB•AB，即x2＝（1﹣x）•1， 化简，得x2+x﹣1＝0，解得，（舍去），∴PA的长度为． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D． （1）求证：BC2＝AB•DB； （2）若AD＝6，BD＝4，求CD的长． 解:（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°． ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB． 又∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB， ∴，∴BC2＝AB•DB； （2）解：∵AD＝6，BD＝4， ∴AB＝AD+DB＝10．由（1）知，BC2＝AB•DB＝40， 在Rt△CDB中，由勾股定理，CD2． 题型2：相似三角形的实际应用 例1.九年一班同学利用标杆测量校园中的实验楼MN的高度．小亮在B处竖立了一根标杆 AB，小华走到D处时，站立在D处恰好看到标杆顶端A和实验楼的顶端M在一条直线上， 此时测得小华的眼睛到地面的距离CD＝1.6米，AB＝4米，BD＝3米，BN＝21米，点D， B，N在一条直线上，CD⊥DN，AB⊥DN，MN⊥DN．根据以上测量数据，请你求出实验楼 MN的高度． 解：过C作CF⊥MN于F，交AB于E， ∵CD⊥DN，AB⊥DN，MN⊥DN， ∴四边形CDNF，CDBE是矩形， ∴CE＝BD＝3米，EF＝BN＝21米，FN＝BE＝CD＝1.6米， ∴AE＝AB﹣BE＝4﹣1.6＝2.4（米），CF＝CE+EF＝3+21＝24（米）， ∵CD⊥DN，AB⊥DN，MN⊥DN， ∵AB⊥DN，MN⊥DN， ∴AE∥MF， ∴△CAE∽△CMF， ∴， ∴， ∴MF＝19.2米， ∴MN＝MF+FN＝19.2+1.6＝20.8（米）， 答：实验楼MN的高度为20.8米． 例2.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m． (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度． 解(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE， ∴∠ACB=∠AED=90°． ∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE． (2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴． ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴．∴DE=16m． 答：即古塔的高度为16m． 跟踪训练： 1.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PQ交AD于H点． （1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝　60　 mm． （2）若矩形PNMQ的周长为220mm，求出PN的长度． 解：（1）∵P为AB中点，PQ∥BC，∴PQ为△ABC的中位线，∴mm． （2）∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC， ∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∴PN＝DH∴AH＝AD﹣DH＝80﹣PN． ∴四边形PNMQ为矩形，∴PQ＝MN，DH＝PN， ∵矩形PNMQ的周长为220mm，∴PQ＝110﹣PN， ∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴PN＝20mm． 2.如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面 镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边 缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m， 灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中 的入射角∠GBH等于反射角∠EBH，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 解：（1）FC∥DE， 则△BFC∽△BED， 则， 即， ∴BC＝3； （2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴， ∴， 解得：AG＝1.2（m）， 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 题型3：位似 例1.如图，在坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，6），B（4，2），C（10，2）， △A′B′C′与△ABC关于原点O位似，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′， 其中点B′的坐标是（2，1）． （1）△A′B′C′与△ABC的相似比是 　　 ； （2）请在图中画出△A′B′C′，并求出△A′B′C′的面积为 　3　 ； （3）若边AC上有一点M（a，b），则在边A′C′上与点M对应的点的坐标是 　（）　 ． 解：（1）∵△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，B（4，2），B'（2，1）， ∴△A′B′C′与△ABC的相似比是．故答案为：． （2）如图，△A′B′C′即为所求． △A′B′C′的面积为3．故答案为：3． （3）由题意得，在边A′C′上与点M（a，b）M对应的点的坐标是（）． 例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心， 相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4） 解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2）， ∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故选：D． 跟踪训练： 1.如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 　1：3　． 解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3， ∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形， ∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′， ∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3， ∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，故答案为：1：3． 2.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1； （2）连接BA1、BB1，求△A1B1C1的面积． 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图， △A1B1C1的面积4×4＝8． 3.如图，A（2，3），B（1，1），C（3，1），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的 2倍得△A′B′C′． （1）在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法） （2）计算△A′B′C′的面积； （3）△ABC内一点P（m，n），△A′B′C′内与点P对应的点P′的坐标为　（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）　 ． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）S； （3）由题可知P'（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）． 专题练习-基础过关 1.若，则的值为（　　） A． B． C． D． 解：∵，∴ba，∴；故选：B． 2.如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（　　） A．75° B．105° C．60° D．45° 解：∵△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，∴∠ADE＝∠ABC＝45°． 在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，∠A＝60°， 即∠AED+45°+60°＝180°，∴∠AED＝75°．故选：A． 3.下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm 解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意； B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意； C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意； D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；故选：C． 4.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图， 某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的 高跟鞋的高度大约为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm， 设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：， 解得：y≈8cm．故选：C． 5.如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D，∠A＝∠B， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝6，OC＝3，OD＝2， ∴， ∴OB＝4． 故选：B． 6.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 解：A、因为DF∥AC，所以，故A选项错误； B、由DF∥AC得，由DE∥BC得，则，故B选项错误； C、由DF∥AC得，故C选项错误； D、由DF∥AC得，由DE∥BC得，则 ，故D选项正确． 故选：D． 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC 上，且，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．1或 D．1或2 解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝， ∵，∴DE＝1，如图，当∠ADE＝90°时， ∵∠ADE＝∠ABC，，∴△ADE∽△ABC，∴， ∴AE＝2，如图，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH， ∵点D是AB中点，点H是AC的中点， ∴DH∥BC，DH＝BC＝1， ∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1， ∴∠DEH＝60°， ∴∠ADE＝∠A＝30°， ∴AE＝DE＝1，故选：D． 8.△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心， 把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，点A的坐标为（2，4），则点A'的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），故选：B． 9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　） A．3：4 B．3：1 C．9：1 D．9：16 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝3：4，∴DE：AB＝3：4，∴S△DFE：S△BFA＝9：16， 故答案为：D． 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC 于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线C P交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　） A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D． 解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°， 由题意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°， ∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE， ∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB， ∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，∴△BCE是黄金三角形， ∴，∴，∴，∴， 故A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C． 11.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是 　4：9　． 解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3， ∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9． 故答案为：4：9． 12.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝　　． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD， ∵，∴设AE＝2a，则BE＝3a，∴AB＝CD＝5a， ∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴，∴，故答案为：． 13.如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值 为 　　． 解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3， ∵AB∥EF∥CD，∴，故答案为：． 14.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 　△MCB　． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可知，∠BMN＝∠A＝90°， ∴∠DMN+∠CMB＝90°， ∴∠DNM＝∠CMB， ∴△NDM∽△MCB， 故答案为：△MCB． 15.如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩 形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 　　． 解：设AD交EH于点R，∵矩形EFGH的边FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°， ∴△AEH∽△ABC， ∵AD⊥BC于点D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°， ∴AR⊥EH，∴， ∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH， ∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴，解得EH＝，∴EH的长为. 16.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C． （1）求证：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长． 证明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA； （2）∵△ABD∽△CBA， ∴， ∵AB＝6，BD＝3，∴，∴BC＝12，∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9． 17.如图，在△ABC中，AD和BE分别是BC，AC边上的高，且相交于F点，连接DE． （1）求证：△BEC∽△ADC； （2）若CE＝2，CB＝5，DE＝3，求AB的长． 解：（1）证明：∵AD和BE分别是BC，AC边上的高， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴△BEC∽△ADC； （2）解：∵△BEC∽△ADC， ∴，即， 又∵∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAB， ∴， ∵CE＝2，CB＝5，DE＝3， ∴， ∴． 18.如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E． （1）求证：△ABM∽△EMA； （2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠EAM＝∠AMB． ∵EM⊥AM， ∴∠AME＝90°， ∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM， ∴△ABM∽△EMA； （2）解：∵AB＝4，BM＝3， ∴， ∵△ABM∽△EMA， ∴，即， ∴ME=． 19.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． （1）证明：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长． 解:（1）证明：∵AD是斜边BC上的高， ∴∠BDA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠BAC， 又∵∠B为公共角， ∴△ABD∽△CBA； （2）解：由（1）知△ABD∽△CBA， ∴， ∴， ∴BD＝3.6． 20.拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为 完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学 兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高 度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立 两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在 同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D 在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点 也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组 求出东塔AB的高度． 解：设BD＝x m，则BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m， ∵AB⊥BC，EF⊥BC， ∴AB∥EF， ∴△ABD∽△FED， ∴，即， 同理可证△ABC∽△HGC， ∴，即， ∴， 解得x＝48， 经检验，x＝48是原方程的解， ∴， ∴AB＝36m， 答：该古建筑AB的高度为36m． 21.如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE， AC＝AD． （1）求证：DE＝AF； （2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE． 证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ACF＝∠DAC ∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD， ∴△ACF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE； （2）∵△ACF≌△DAE， ∴∠AFC＝∠DEA， ∴∠AFB＝∠DEC， ∵∠ABC＝∠CDE， ∴△ABF∽△CDE， ∴， ∴AF•DE＝BF•CE， ∵AF＝DE， ∴AF2＝BF•CE． 22.如图，在12×12的正方形网格中，△CAB的顶点坐标分别为点C（1，1）、A（2，3）、B （4，2）．以点C（1，1）为位似中心，按2：1在位似中心的同侧将△CAB放大为△CA'B'， 放大后点A，B的对应点分别为A′，B′． （1）画出△CA′B′； （2）直接写出点A′，点B′的坐标及△CA′B′的面积． 【解答】解：（1）如图，△CA′B′即为所求： （2）其中A′（3，5），B′（7，3）； △CA′B′的面积＝6×410． 23.（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°， ∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°， ∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF， ∵CH＝DE，∴CF＝CH， ∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°， 又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H， ∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H； （3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS）， ∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG， ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形， ∴FG＝DF＝11， ∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3． 学科网（北京）股份有限公司 $