第二十八章 圆（知识清单）数学冀教版九年级上册

第二十八章 圆 知识点01 圆的相关概念 圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做 ，线段OA叫做 . 圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做 ，定长叫做 . 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“ ”. 确定圆的两个条件：① （确定圆的位置）；② （确定圆的大小），两者缺一不可. 弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做 直径：经过圆心的弦叫做 . 弧、半圆、优弧、劣弧、等弧 ：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“ ”或“ ”. ：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. ：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 ：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. ：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做 . 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 . 弓形和扇形 弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“ ”. 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 点在圆内 点P在圆内d<r 点在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 点P在圆外d>r 【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 知识点02 过三点的圆 三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个 . 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做 ，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 知识点03 圆心角和圆周角 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 圆周角定理及圆周角定理的推论 ：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形及其性质定理 圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个 . 圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形 . 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的 . 如图，∠1=∠2 知识点04 垂径定理 圆的对称性 内容 圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有 . 垂径定理 垂径定理： ，并且 . 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 知识点05 弧长、扇形面积与圆锥的侧面积 弧长公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径). 【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． 【补充】在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量． 扇形的面积公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长). 【补充】 1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 圆锥的侧面展开图与圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥侧面积公式： （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式： （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 易错点1 90度的圆周角所对的弦是直径 1.易错点总结:忽略前提条件：需明确该圆周角必须在同一个圆中，若在等圆或同心圆中，需保证弦对应的圆半径一致，否则结论不成立。混淆“所对”关系：误将“90度圆周角所对的弦”等同于“弦所对的圆周角为90度”，忽略一条弦可对两个圆周角（互补），仅直径所对圆周角必为90度。 2.注意事项: 应用定理时先确认图形是否满足“同圆或等圆”条件，避免跨圆错误。推理时紧扣“圆周角与弦的对应唯一性”，明确直径是90度圆周角的唯一对应弦。 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ． 易错点2 垂径定理 1.易错点总结:不会作辅助线 2.注意事项:注意圆的常见辅助线添加，过圆心作弦的垂线 【例2】（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 易错点3 垂径定理的实际应用 1.易错点:要找到合适的直角三角形 2.注意事项:要注意计算结果符合实际情况 【例3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ） A． B． C． D． 易错点4 圆的内接四边形 1.易错点总结:圆的内接四边形对角互补，弦外角与内角相等 2.注意事项:记住是圆的内接四边形对角互补，有的同学会误认为是圆心角 【例4】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（   ）      A． B． C． D． 易错点5 求某点的弧形运动路径长度 1.易错点总结:半径判断错误：误将运动点到旋转中心的距离算错，如混淆线段长度与半径，或忽略旋转过程中半径的变化。圆心角单位混淆：计算时未将角度单位统一，直接用角度代入弧度公式，或弧度与角度换算错误，导致弧长偏差。 2.注意事项:确定旋转中心和半径：明确运动点绕哪一点旋转，准确测量该点到中心的距离作为半径。统一圆心角单位：弧长公式中圆心角需用弧度，若已知角度，先按π/180换算，再代入公式l=θr计算。 【例5】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 易错点6 求其他不规则图形的面积 1.易错点总结: 扇形与三角形混淆：计算弓形面积时，误将扇形面积直接当作弓形面积，忽略减去三角形面积；或混淆圆心角与圆周角对应的图形。重叠区域漏算/多算：多个圆相交时，求阴影面积易漏减重叠部分，或对“不规则”边界判断不清，重复计算公共区域。 2.注意事项: 分解为规则图形：将不规则图形拆分为扇形、三角形、圆等，明确各部分关系（和或差），标注圆心、半径和角度。验证边界与角度：确认图形是否由同圆或等圆构成，核对圆心角大小，必要时通过几何性质（如切线、直径）辅助计算。 【例6】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆形瓷盘的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点P、Q，量得，，则该圆形瓷盘的半径是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（    ） A．7 B．10 C．9 D．11 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，、是的半径，A是上一点，若已知，，则为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河北·模拟预测）如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若，，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 8．（2025·广东广州·模拟预测）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 9．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，的直径，，则为 度． 10．（25-26九年级上·全国·期中）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．        11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 12．（24-25九年级上·全国·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，，点的坐标为，为第三象限内上一点，，则的半径为 ． 13．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是 ． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 15．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 16．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 17．（2025九年级上·河北·专题练习）如图为O为圆心为直径的圆，且，， (1)证明E为中点 (2)求的长度 18．（2025·河北石家庄·三模）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． (1)求的半径． (2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 19．（2023·河北唐山·二模）如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． (1)与的数量关系是________； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当为直径时，以为半径的⊙O切于点E，求的值及优弧的长． 20．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的直径，点M，N均在上，，弦． (1)求直径的长； (2)求劣弧的长． 21．（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 22．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 圆 知识点01 圆的相关概念 圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”. 确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可. 弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弧、半圆、优弧、劣弧、等弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 弓形和扇形 弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”. 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 点在圆内 点P在圆内d<r 点在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 点P在圆外d>r 【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 知识点02 过三点的圆 三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 知识点03 圆心角和圆周角 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 圆周角定理及圆周角定理的推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形及其性质定理 圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 如图，∠1=∠2 知识点04 垂径定理 圆的对称性 内容 圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 知识点05 弧长、扇形面积与圆锥的侧面积 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． 【补充】在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量． 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长). 【补充】 1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 圆锥的侧面展开图与圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 易错点1 90度的圆周角所对的弦是直径 1.易错点总结:忽略前提条件：需明确该圆周角必须在同一个圆中，若在等圆或同心圆中，需保证弦对应的圆半径一致，否则结论不成立。混淆“所对”关系：误将“90度圆周角所对的弦”等同于“弦所对的圆周角为90度”，忽略一条弦可对两个圆周角（互补），仅直径所对圆周角必为90度。 2.注意事项: 应用定理时先确认图形是否满足“同圆或等圆”条件，避免跨圆错误。推理时紧扣“圆周角与弦的对应唯一性”，明确直径是90度圆周角的唯一对应弦。 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理及应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，可得四点共圆，从而得到，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为： 易错点2 垂径定理 1.易错点总结:不会作辅助线 2.注意事项:注意圆的常见辅助线添加，过圆心作弦的垂线 【例2】（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题关键． （1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可； （2）设的半径为，根据垂径定理得出点为的中点，在中，利用勾股定理列式计算，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：连接，如图，设的半径为，则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径长为5． 易错点3 垂径定理的实际应用 1.易错点:要找到合适的直角三角形 2.注意事项:要注意计算结果符合实际情况 【例3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选：A． 易错点4 圆的内接四边形 1.易错点总结:圆的内接四边形对角互补，弦外角与内角相等 2.注意事项:记住是圆的内接四边形对角互补，有的同学会误认为是圆心角 【例4】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ， ， 故选：D 易错点5 求某点的弧形运动路径长度 1.易错点总结:半径判断错误：误将运动点到旋转中心的距离算错，如混淆线段长度与半径，或忽略旋转过程中半径的变化。圆心角单位混淆：计算时未将角度单位统一，直接用角度代入弧度公式，或弧度与角度换算错误，导致弧长偏差。 2.注意事项:确定旋转中心和半径：明确运动点绕哪一点旋转，准确测量该点到中心的距离作为半径。统一圆心角单位：弧长公式中圆心角需用弧度，若已知角度，先按π/180换算，再代入公式l=θr计算。 【例5】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 易错点6 求其他不规则图形的面积 1.易错点总结: 扇形与三角形混淆：计算弓形面积时，误将扇形面积直接当作弓形面积，忽略减去三角形面积；或混淆圆心角与圆周角对应的图形。重叠区域漏算/多算：多个圆相交时，求阴影面积易漏减重叠部分，或对“不规则”边界判断不清，重复计算公共区域。 2.注意事项: 分解为规则图形：将不规则图形拆分为扇形、三角形、圆等，明确各部分关系（和或差），标注圆心、半径和角度。验证边界与角度：确认图形是否由同圆或等圆构成，核对圆心角大小，必要时通过几何性质（如切线、直径）辅助计算。 【例6】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 圆知识梳理例题练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆形瓷盘的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点P、Q，量得，，则该圆形瓷盘的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了圆周角定理和勾股定理，如图，连接，根据圆周角定理可以判定是直径，所以根据勾股定理求得直径，然后再来求半径即可． 【详解】解：连接， ∵， 为圆形瓷盘的直径， ∴， 半径为 ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 3．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（    ） A．7 B．10 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了圆的周长公式以及数轴的认识，关键是理解半圆滚动一周的长度等于半圆的周长．半圆从原点滚动一周，圆心走过的距离是半圆的弧长，等于圆周长的一半，根据圆的周长公式先求出半圆的弧长，除了半圆的弧长，点还经过了一段等于半圆直径的距离，此时半圆的直径为4，所以点对应的数是半圆弧长加上直径即为所求． 【详解】解：由题意知，的长度为半圆的弧长与半圆直径之和， 此时， ∵π取3， ∴， 即点所对应的数是10． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，、是的半径，A是上一点，若已知，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的半径性质（半径相等）、等腰三角形的性质（等边对等角）、圆周角定理（圆心角是同弧所对圆周角的 2 倍）；掌握利用等腰三角形性质转化角的关系并应用圆周角定理是解题的关键．由的半径得等腰三角形，利用等边对等角和圆周角定理即可求出答案． 【详解】∵、是的半径，A是上一点， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 5．（2024·河北·模拟预测）如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若，，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，解直角三角形等知识点，熟练运用圆周角定理是本题的关键．由三角形中位线定理可得 ，即当为直径时，长最大，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】∵，分别是，的中点， ∴， 当为直径时，长最大， ∵为直径， ∴，且，， ∴， ∴， ∴长的最大值为． 故选：A． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及同弧所对的圆心角是圆周角的两倍是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形内接于 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 7．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质，熟知相关定理，正确画出图形，结合图形分情况讨论是正确解答此题的关键． 根据题意画出图形，分点D在和上两种情况利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：内接于，， ， 分点D在和上两种情况∶ ①点D在上时，如图所示： 四边形是圆内接四边形，； ， ； ②点D在上时，如图所示： ， ， 综上所述，的度数是或， 故选：C． 8．（2025·广东广州·模拟预测）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 【答案】/ 【分析】本题考查了与圆有关的计算、勾股定理、圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用等腰直角三角形的性质得到，设圆锥的底面圆的半径为，利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，的直径，，则为 度． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理与垂径定理．由的直径，根据垂径定理可得，又由，利用圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：∵的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·全国·期中）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．        【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：扇形的面积为， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义、勾股定理，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键． 利用勾股定理求出直角三角形模具的斜边长，结合三角形的外接圆的定义可知圆形纸片的直径应大于等于直角三角形斜边长，即可得到这个圆形纸片的最小直径． 【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为和， 直角三角形模具的斜边长为， 用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长， 这个圆形纸片的最小直径为； 故答案为：13． 12．（24-25九年级上·全国·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，，点的坐标为，为第三象限内上一点，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及推论是解题关键． 连接，根据圆内接四边形的性质求得，可得，通过含角的直角三角形的性质求得，根据圆的基本知识即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， 为的直径， 、、、四点共圆， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 的半径为． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，矩形外接圆的性质等知识，设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到，利用勾股定理得到矩形的对角线长，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一个矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个实数根， ∴设矩形的长和宽分别为a、b，则， ∴矩形的对角线长， ∴这个矩形的外接圆的直径是， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键． 作A关于的对称点Q，连接交于P，此时根据两点之间线段最短，的最小值为的长度． 【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交 于P， ∵点B 为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为2， 故答案为：2． 15．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是坐标与图形、勾股定理、圆周角定理应用及三角形外心的性质， （1）先求出，得出为外接圆直径，则点C为线段中点，进而求出结论； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，分两种情况：当点C在y轴右侧时或点C在y轴左侧时，分别求出即可． 【详解】解：（1）点恰在轴的正半轴上，如下图： ，， ， ， ， 在中，， ∴为外接圆直径， 则点C为线段中点， ， 故答案为：； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，如图，当点C在y轴右侧时， ∴， 由垂线段最短得：， 在中，， 即， ； 同理，当点C在y轴左侧时，； 综上所述，的取值范围是或． 16．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练应用相关性质定理是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，由三角形内角和为计算得到的度数，由圆周角定理得，，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 17．（2025九年级上·河北·专题练习）如图为O为圆心为直径的圆，且，， (1)证明E为中点 (2)求的长度 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理的推论等知识点． （1）由垂径定理的推论即可证明； （2）由圆周角定理得到，然后解得到，再解求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为直径，且， ∴， ∴点E为中点； （2）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵为直径，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（2025·河北石家庄·三模）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． (1)求的半径． (2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 【答案】(1)1.5m (2) 【分析】（1）连接交于点N，则，得，连接，设的半径为r ，则，根据勾股定理得，解方程即可解答． （2）连接，则，．过点O作于点H，由矩形的判定与性质得到，连接，，则，，再根据圆周角定理得到即可解答． 本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（1），连接交于点N，则， ∴，， ∴ 连接，设的半径为r ，则． 由勾股定理，得， ∴，解得． 故的半径为． （2）如图（2），连接，则，． 过点O作于点H． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 连接，，则， ∴． 又∵， ∴， ∴． 19．（2023·河北唐山·二模）如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． (1)与的数量关系是________； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当为直径时，以为半径的⊙O切于点E，求的值及优弧的长． 【答案】(1)= (2)见解析 (3)， 【分析】（1）由旋转及等腰三角形可得答案； （2）由旋转得，再由（1）得出的，即可证明； （3）由三线合一证明出，再由全等得出，即，再按弧长公式计算即可． 本题考查了圆的相关知识点的应用，三角形全等及等腰三角形的应用是解题关键． 【详解】（1）∵， ∴， 由旋转，得， ∴， 故答案为：=； （2）证明：由旋转可知， ∴， 又∵，， ∴； （3）∵当为直径时，以为半径的⊙O切CD于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴点A，O，D在同一直线上， ∴， ∴的值为， ∴， ∴优弧==. 20．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的直径，点M，N均在上，，弦． (1)求直径的长； (2)求劣弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了圆周角定理，弧长公式，直角三角形的性质． （1）根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质即可求解． （2）连接，求出，根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴的直径为； （2）解：如图，连接， 则， ∴的长为． 21．（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程． （1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度． 【详解】（1）解：经过圆心O，且弦， ； （2）解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 22．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $