第四章 指数函数、对数函数与幂函数（单元测试·提升卷）数学人教B版2019必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第四章 指数函数、对数函数与幂函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列四个选项中最大的数是（    ） A． B． C． D． 2．函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，某湖泊蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法不正确的是（    ） A．蓝藻面积每个月的增长率为 B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第4个月时，蓝藻面积就会超过 D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有 6．若函数，且当时，不等式恒成立，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 7．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ） A． B．为奇函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 11．已知函数，下列有关函数说法正确的是（    ） A． B．最小值为 C．最小值为 D．单调递增区间为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 13．若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 ． 14．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则关于的不等式的实数取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列各式的值． (1)； (2)（其中，，注意：计算结果用分数指数幂表示．）； (3) 16．（15分）已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若实数，满足，求的最小值． 17．（15分）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 18．（17分）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若，求在区间上的值域； (3)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第5页（共4页） 试题 第6页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第四章 指数函数、对数函数与幂函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列四个选项中最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，， 故选：B． 2．函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，于是，即反函数表达式为：， 由，解得， 于是. 故选：B 3．已知，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于在上是减函数，又， 所以， 而在上是增函数，故， 综上，． 故选：C． 4．已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据图象变换规则，甲得到的对应的函数为，乙得到的对应的函数为. 因为与重合，故. 选项A，，则，， 两者不相等，排除. 选项B，，则，， 两者不相等，排除. 选项C，，则，， 两者不相等，排除. 选项D，，则，， 两者相等，符合条件. 故选：D 5．如图，某湖泊蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法不正确的是（    ）    A．蓝藻面积每个月的增长率为 B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第4个月时，蓝藻面积就会超过 D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有 【答案】B 【详解】因为，图象可知，函数过点，则，即函数解析式为， 对于A，蓝藻每月的增长率为，即增长率为，故A正确； 对于B，因为不是常数，所以蓝藻每月增加的面积不相等，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由题，故， 又，所以，故D正确. 故选：B 6．若函数，且当时，不等式恒成立，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 则当时，不等式， 当时，，此时， 当时，，此时，即， 当时，，此时，即. 综上，实数的取值集合是. 故选：A. 7．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：D 8．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ） A． B．为奇函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 【答案】ABC 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得，故A正确； 所以，所以，且，所以函数为奇函数，故B正确； 由幂函数的性质可知为上单调递增函数，故C正确； 因为的值域为，故D错误. 故选：ABC 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 11．已知函数，下列有关函数说法正确的是（    ） A． B．最小值为 C．最小值为 D．单调递增区间为 【答案】AC 【详解】函数， 所以，故A正确； 由对数函数性质可得的定义域为，令， 即可化为， 因为，， 所以时，有最小值，无最大值，故B错误；C正确； 由二次函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 由对数函数性质可得在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 令，解得，则在上单调递增， 综上，的单调增区间为，单调减区间为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 【答案】23 【详解】由题意，所以，即， 所以时，， 故答案为：23. 13．若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】/ 【详解】画出与的图象如下图， 依题意，有两个不同的零点，由图可知， 故答案为：． 14．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则关于的不等式的实数取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为幂函数的图像关于轴对称，则函数是偶函数， 即为偶数，所以为奇数，又在上单调递减， ，解得，又，， 故不等式可化为， 函数的定义域为，且在与上均单调递减， 因而或或， 解得或或， 即满足所求不等式的实数取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列各式的值． (1)； (2)（其中，，注意：计算结果用分数指数幂表示．）； (3) 【详解】（1）； 4分 （2）原式 8分 （3） 13分 16．（15分）已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若实数，满足，求的最小值． 【详解】（1）依题意，， ，且，为奇数， 解得， 故． 5分 （2）由（1）可知，在定义域内单调递增， 因为，所以， 解得． 10分 （3）由（1）可知，， 所以， 当且仅当时，即时， 等号成立，故的最小值为4． 15分 17．（15分）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 【详解】（1）当时，， 所以， 2分 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. 7分 （2）， 当时，，则， 所以在上单调递减， 10分 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 所以 整理得对任意恒成立， 12分 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 15分 18．（17分）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若，求在区间上的值域； (3)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）若，解不等式, 2分 令，则不等式变为，解得或， 所以由指数函数的单调性可得或， 所以不等式的解集为. 5分 （2）若，， 设，因为，所以， 则，对称轴为，开口向上， 所以最小值为，最大值为， 所以在区间上的值域为. 10分 （3）若，设，定义域为， ，所以为奇函数， 12分 又由复合函数的单调性可得为递增函数， 所以， 所以恒成立，即恒成立， 14分 令，对称轴为，开口向下， 所以其最大值为， 所以实数的取值范围. 17分 19．（17分）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，即，解得： 所以， 4分 （2）由（1）知，， 所以，即， 所以， 7分 令，则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 11分 （3）由得函数， 当时，， 故， 13分 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第四章 指数函数、对数函数与幂函数·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C D B A D D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABC ABC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．23 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.nnnn 15．【详解】（1）； 4分 （2）原式 8分 （3） 13分 16．【详解】（1）依题意，， ，且，为奇数， 解得， 故． 5分 （2）由（1）可知，在定义域内单调递增， 因为，所以， 解得． 10分 （3）由（1）可知，， 所以， 当且仅当时，即时， 等号成立，故的最小值为4． 15分 17．【详解】（1）当时，， 所以， 2分 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. 7分 （2）， 当时，，则， 所以在上单调递减， 10分 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 所以 整理得对任意恒成立， 12分 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 15分 18．【详解】（1）若，解不等式, 2分 令，则不等式变为，解得或， 所以由指数函数的单调性可得或， 所以不等式的解集为. 5分 （2）若，， 设，因为，所以， 则，对称轴为，开口向上， 所以最小值为，最大值为， 所以在区间上的值域为. 10分 （3）若，设，定义域为， ，所以为奇函数， 12分 又由复合函数的单调性可得为递增函数， 所以， 所以恒成立，即恒成立， 14分 令，对称轴为，开口向下， 所以其最大值为， 所以实数的取值范围. 17分 19．【详解】（1）由题意知，，即，解得： 所以， 4分 （2）由（1）知，， 所以，即， 所以， 7分 令，则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 11分 （3）由得函数， 当时，， 故， 13分 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第四章 指数函数、对数函数与幂函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列四个选项中最大的数是（    ） A． B． C． D． 2．函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，某湖泊蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法不正确的是（    ） A．蓝藻面积每个月的增长率为 B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第4个月时，蓝藻面积就会超过 D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有 6．若函数，且当时，不等式恒成立，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 7．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ） A． B．为奇函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 11．已知函数，下列有关函数说法正确的是（    ） A． B．最小值为 C．最小值为 D．单调递增区间为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 13．若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 ． 14．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则关于的不等式的实数取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列各式的值． (1)； (2)（其中，，注意：计算结果用分数指数幂表示．）； (3) 16．（15分）已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若实数，满足，求的最小值． 17．（15分）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 18．（17分）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若，求在区间上的值域； (3)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $