第四章 指数函数、对数函数与幂函数（单元测试·基础卷）数学人教B版2019必修第二册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第四章 指数函数、对数函数与幂函数·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A B B C B C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）； 4分 （2）； 8分 （3） . 13分 16．【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 4分 因为在上单调递增，所以，所以，则. 7分 （2）由（1）可知，则，故在上单调递增. 10分 证明如下： 任取，，且， 则. 13分 因为，所以. 因为，，所以，所以， 所以，即， 所以，即在上单调递增. 15分 17．【详解】（1）函数的定义域为R， 由于函数为奇函数，则， 即，解得， 3分 因为，所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 6分 （2）由于函数为偶函数，则在上恒成立， 即，解得， 8分 因为不恒等于0，所以，即， 因为在上恒成立，所以恒成立， 11分 令，则有，当且仅当时取等号， 则恒成立，等价于恒成立，所以， 而在上单调递增，故， 所以，所以. 15分 18．【详解】（1）（1）选择． 由表格中的前4组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是同一个常数，所以不应该选择一次函数； 同时从第2组数据开始，当自变量的增加量为时，函数值的增加量从3.01变为1.76，后又变为1.25，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数, 故应选择． 3分 由已知可得，即，解得， 所以解析式为． 6分 （2）由（1）知，令，可得，故①处应填； 8分 由已知可得时，， 所以， 又当时，， 故②处应填59.54. 11分 （3）． 设发电机噪声、电锯噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为， 已知，，，故有， 所以， 因此，即，所以． 17分 19．【详解】（1）当时，， 所以， 2分 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. 7分 （2）， 当时，，则， 所以在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 11分 所以 整理得对任意恒成立， 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 14分 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第四章 指数函数、对数函数与幂函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 2．设点在函数的图象上，点P关于直线的对称点为Q，则点Q在函数（    ） A．的图象上 B．的图象上 C．的图象上 D．的图象上 3．已知函数且 ，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 4．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 7．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位）可表示为，其中为起始光功率（单位），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位）. 已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半. 若距离由变到时，光功率由变到，则（   ） A． B．4 C． D． 8．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．（多选题）若且，，，则下列式子中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 10．已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 11．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为：，以下说法正确的是（    ） A．当时，乙走在最前面 B．当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数的值域是 ． 13．已知，则 （结果用，表示） 14．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 16．（15分）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 17．（15分）已知函数． (1)若函数为奇函数，求的最小值； (2)若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强．但在实际生活中，常用声音的声强级来度量．为了描述声强级与声强之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 声强 ① 声强级 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ② 现有以下三种函数模型供选择：，，． (1)试根据前4组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①，②数据的值； (3)已知发电机的噪声声强级一般在，其声强为；电锯的噪声声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声声强级一般在，其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由． 19．（17分）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第四章 指数函数、对数函数与幂函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 【答案】D 【详解】设， 由函数的图像经过点，则，解得， 所以，故函数的定义域为，故A错误； 由定义域关于原点对称及可知函数为偶函数，故B错误； 由在上无单调性，故C错误； 因为，故的值域为，故D正确. 故选：D 2．设点在函数的图象上，点P关于直线的对称点为Q，则点Q在函数（    ） A．的图象上 B．的图象上 C．的图象上 D．的图象上 【答案】B 【详解】因为点在函数的图象上，点关于直线的对称点为， 所以点满足的曲线为函数的反函数，即， 故点在函数上. 故选：B 3．已知函数且 ，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意知 ， 所以，即得 解得. 故选：A. 4．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，所以； 因为，所以指数函数在上单调递增， 所以，即； 因为，所以对数函数在上单调递增，所以. 所以. 故选：B 6．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 7．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位）可表示为，其中为起始光功率（单位），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位）. 已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半. 若距离由变到时，光功率由变到，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：，也即，得, ，， 两式相除可得：, 两边同时取对数可得：, 所以，则它们的比值不会是固定值. 故选：B 8．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，； ， ， 令，定义域为且， 要使，有如下两种情况： ①，解得， ②，解得，且 综上所述，不等式的解集为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．（多选题）若且，，，则下列式子中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由对数的运算法则得，故A正确， 对于B，取，，，则， ，等式不恒成立，故B错误， 对于C，取，，则， ，等式不恒成立，故C错误， 对于D，由对数的运算法则得，故D正确. 故选：AD 10．已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【详解】当时，，此时的值域为，故A错误； 当时，在R上单调递增，所以，故B正确； 当时，，，定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，故C正确； 当时，，则，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误． 故选：BC 11．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为：，以下说法正确的是（    ） A．当时，乙走在最前面 B．当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 【答案】BCD 【详解】作出函数图象如图： 对于A：由图可知当时，因为，，所以甲会赶到乙的前面，故A错误； 对于B：由图可知当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，故B正确； 对于C：由图可知，丙一直处在中间，所以丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，故C正确； 对于D：由图可知如果它们一直运动下去，因为指数函数的增长速度最快，所以最终走在最前面的是甲，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】当时，，所以， 当时，， 综上，所以的值域是 故答案为： 13．已知，则 （结果用，表示） 【答案】 【详解】由对数定义可得，则由换底公式知， 同理可得，， 则. 故答案为：. 14．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题设， 当时，，此时只需，则有； 当时，，此时只需，则有； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 【详解】（1）； 4分 （2）； 8分 （3） . 13分 16．（15分）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 4分 因为在上单调递增，所以，所以，则. 7分 （2）由（1）可知，则，故在上单调递增. 10分 证明如下： 任取，，且， 则. 13分 因为，所以. 因为，，所以，所以， 所以，即， 所以，即在上单调递增. 15分 17．（15分）已知函数． (1)若函数为奇函数，求的最小值； (2)若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为R， 由于函数为奇函数，则， 即，解得， 3分 因为，所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 6分 （2）由于函数为偶函数，则在上恒成立， 即，解得， 8分 因为不恒等于0，所以，即， 因为在上恒成立，所以恒成立， 11分 令，则有，当且仅当时取等号， 则恒成立，等价于恒成立，所以， 而在上单调递增，故， 所以，所以. 15分 18．（17分）我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强．但在实际生活中，常用声音的声强级来度量．为了描述声强级与声强之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 声强 ① 声强级 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ② 现有以下三种函数模型供选择：，，． (1)试根据前4组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①，②数据的值； (3)已知发电机的噪声声强级一般在，其声强为；电锯的噪声声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声声强级一般在，其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由． 【详解】（1）（1）选择． 由表格中的前4组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是同一个常数，所以不应该选择一次函数； 同时从第2组数据开始，当自变量的增加量为时，函数值的增加量从3.01变为1.76，后又变为1.25，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数, 故应选择． 3分 由已知可得，即，解得， 所以解析式为． 6分 （2）由（1）知，令，可得，故①处应填； 8分 由已知可得时，， 所以， 又当时，， 故②处应填59.54. 11分 （3）． 设发电机噪声、电锯噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为， 已知，，，故有， 所以， 因此，即，所以． 17分 19．（17分）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 【详解】（1）当时，， 所以， 2分 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. 7分 （2）， 当时，，则， 所以在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 11分 所以 整理得对任意恒成立， 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 14分 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第四章 指数函数、对数函数与幂函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 2．设点在函数的图象上，点P关于直线的对称点为Q，则点Q在函数（    ） A．的图象上 B．的图象上 C．的图象上 D．的图象上 3．已知函数且 ，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 4．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 7．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位）可表示为，其中为起始光功率（单位），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位）. 已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半. 若距离由变到时，光功率由变到，则（   ） A． B．4 C． D． 8．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．（多选题）若且，，，则下列式子中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 10．已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 11．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为：，以下说法正确的是（    ） A．当时，乙走在最前面 B．当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数的值域是 ． 13．已知，则 （结果用，表示） 14．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 16．（15分）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 17．（15分）已知函数． (1)若函数为奇函数，求的最小值； (2)若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强．但在实际生活中，常用声音的声强级来度量．为了描述声强级与声强之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 声强 ① 声强级 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ② 现有以下三种函数模型供选择：，，． (1)试根据前4组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①，②数据的值； (3)已知发电机的噪声声强级一般在，其声强为；电锯的噪声声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声声强级一般在，其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由． 19．（17分）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $