精品解析：陕西省安康市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级期中素养评估卷 数  学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的一次项的系数是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，一次项系数是方程中一次项的系数． 【详解】∵ 一元二次方程的一般形式为，其中是一次项系数， ∴ 对于方程，一次项系数为． 故选：D． 2. “琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式， 根据二次函数的顶点式 的性质，对称轴为直线． 【详解】解： ∵是顶点形式， ∴对称轴为直线． 故选：A． 4. 现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，逐个判断图中弦所对应的角是否是直角即可． 【详解】解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的所对应的角是直角，即是直径， 故选：B． 5. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 6. 如图，将绕顶点逆时针旋转到，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理，根据旋转的性质，得到，根据角的和差关系和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 7. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 二次函数的图象如图所示，过点，其对称轴是直线，有下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据抛物线的开口方向得，再根据抛物线与y轴的交点坐标可得，然后根据对称轴得，解答①；根据对称轴说明②；接下来确定抛物线与x轴的另一个交点坐标，解答③． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴； ∵， ∴， ∴，则①正确； ∵对称轴， ∴， 即， ∴②不正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为，且对称轴是， ∴另一个交点的横坐标为， ∴当时，， 则③正确； 正确的有①③． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称的点的横纵坐标都分别互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 10. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 将代入一元二次方程，利用方程的解的定义建立关于的方程，然后求解． 【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程 的一个根， ∴ 将代入方程得：， 即， 整理得， 解得． 故答案为：1． 11. 如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，先根据同弧所对的圆周角相等得，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 13. 如图，某建筑的棚顶为弓形（圆的一部分），若该弓形棚顶在水平方向上的跨度长为，该弓形的半径长为，则该棚顶的弓高为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，过O作于C，交于D，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，然后根据线段的和差关系求出即可． 【详解】解：过O作于C，交于D， 由题意知：，，为棚顶的弓高， ∴， ∴， ∴， 即棚顶的弓高为， 故答案为：4． 14. 如图，四边形是正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于点E，F．当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 证明，得到，要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求出． 【详解】解：正方形， ，， ， ， ， ， 又∵， ， 故要使有最小值，即求的最小值， 当时，有最小值， ， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解一元二次方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，掌握因式分解法是解题的关键． 根据题意即可求解． 【详解】， ，． 16. 关于的二次函数的图象过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【详解】解：由二次函数的图象过点， ，即， 解得， ， 则二次函数的解析式为． 17. 关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个实数根． 【答案】 证明：∵ ∴ ∴方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】根据根的判别式可得，即可得证方程总有两个实数根． 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程根的问题，掌握根的判别式是解题的关键． 18. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出关于原点O对称的中心对称图形； （2）画出绕点A时逆针旋转得到的． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图，△AB2C2即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图－旋转变换，中心对称变换，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某公司今年8月份的生产成本是300万元，由于技术改进，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到10月份生产成本是243万元．求每个月生产成本下降的百分率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每个月生产成本下降的百分率为x，根据8月份和10月份的生产成本列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设每个月生产成本下降的百分率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：每个月生产成本的下降率为． 20. 某抛物线的部分图象如图所示，求该抛物线的顶点坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的顶点式，解答的关键是根据图象得到相关信息． 设抛物线方程为，再根据待定系数法求解即可． 【详解】解：设抛物线方程为， 由图可知抛物线开口向下，对称轴为，过点， 先把代入得，则， 再代入对称轴和， ，解得， ， 当时，， 所以该抛物线的顶点坐标． 21. 如图，A，B是上的两点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（只保留作图痕迹） （2）若（1）中所作的角平分线与交于点C，连接．若，求的度数． 【答案】（1）解：如图所示，则即为所求作； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，角平分线定义， （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，作射线，则即为所求作； （2）先根据角平分线定义求出，再根据等腰三角形的性质得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 22. 陕西苹果是全球知名农产品，且曾作为“国礼”赠送国际友人．某店铺销售一批箱装苹果，每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．中秋佳节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售．根据销售经验，每箱每降低1元，每天可多销售2箱．求该店铺每天可获得的最大利润． 【答案】1250元 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，根据：每天的总利润=每个苹果的利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，将函数表达式配方成顶点式，可求出最大利润． 【详解】：解：设每箱苹果售价下降了x元，店铺每天的销售利润为y元． 降价后店铺平均每天可售出箱装苹果数量为箱； 由题意得，， 所以当时，y有最大值1250． 答：该店铺每天获得的最大利润是1250元． 23. 某生态旅游度假景区有一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为．当水位上升到水面距离拱桥顶时，此时的水位为警戒水位．建立如图所示的平面直角坐标系，求水位为警戒水位时的水面宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意确定抛物线的解析式成为解题的关键． 先求出函数的表达式为，设水面下降1米到D的位置，则D坐标为，然后代入函数解析式求得x，最后根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：解：从图象看，函数定点坐标C为，点B的坐标为， 则函数的表达式为：， 把点B坐标代入上式得：，解得：， ∴则函数的表达式为， 如图，设水位为警戒线位，则D的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水位为警戒水位时的水面宽度． 24. 如图，是半的直径，点C，D在半上． （1）若，求的度数． （2）若的半径为6，，求圆心O到弦的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，中位线定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补，可求得的度数，再根据直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理即可求得的度数； （2）过作交于，连接，易得为中点，再根据勾股定理可求 ． 【小问1详解】 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ∵是半圆O的直径， ∴， ， 【小问2详解】 过作交于，连接， 由题可知， 又∵， 为中点， ， ， 所以圆心O到弦的距离． 25. 如图，抛物线与直线相交于点A和点． （1）求抛物线的解析式． （2）结合图象，求不等式的解集． （3）设P是抛物线上直线下方的一个动点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． （1）把点代入即可求解； （2）令，求出点，结合图象写出不等式的解集即可； （3）过作轴，交于，先求直线方程，设，则，得到，再根据，结合二次函数最值求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意抛物线过点， 代入得， 解得， 所以抛物线解析式为； 【小问2详解】 由（1）知抛物线解析式为， 令，即， 解得， ， 结合图象，不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，过作轴，交于， 因为：直线过点所以： ， 解得：， 所以直线为：， 设，则， 所以：，    所以： ， 所以当时，面积取最大值，最大值为． 26. （1）如图1，是等边三角形，线段是内的线段，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接．若，求的度数． 【拓展提升】 （2）如图2，若是边长为2的等边三角形，D是边上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．在点D的运动过程中，求周长的最小值． 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件示意图如图3所示，其中，主支架，辅助支架，支架夹角．工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由旋转可知，进而得到，，再根据即可； （2）根据题意可证，得到，进而得到周长，结合是等边三角形可知当时，取得最小值，即可求解； （3）过点A作交于F，延长，使得，连接，可证，得到，，，进而可得，再由勾股定理计算可得米，即可得解． 【详解】（1）由旋转可知，， ，， ， 又， ， ； （2）由题知，， 为等边三角形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 则周长， 又当时，取得最小值，此时， 所以周长的最小值为； （3）过点A作交于F，延长，使得，连接，如图： ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， （米）， 在中，，， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴米， ∴四边形的面积即为（平方米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中素养评估卷 数  学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的一次项的系数是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 2. “琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（ ） A. B. C. D. 5. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕顶点逆时针旋转到，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，过点，其对称轴是直线，有下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 10. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 11. 如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为______． 12. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 13. 如图，某建筑的棚顶为弓形（圆的一部分），若该弓形棚顶在水平方向上的跨度长为，该弓形的半径长为，则该棚顶的弓高为______． 14. 如图，四边形是正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于点E，F．当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解一元二次方程． 16. 关于的二次函数的图象过点，求该二次函数的解析式． 17. 关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个实数根． 18. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出关于原点O对称的中心对称图形； （2）画出绕点A时逆针旋转得到的． 19. 某公司今年8月份的生产成本是300万元，由于技术改进，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到10月份生产成本是243万元．求每个月生产成本下降的百分率． 20. 某抛物线的部分图象如图所示，求该抛物线的顶点坐标． 21. 如图，A，B是上的两点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（只保留作图痕迹） （2）若（1）中所作的角平分线与交于点C，连接．若，求的度数． 22. 陕西苹果是全球知名农产品，且曾作为“国礼”赠送国际友人．某店铺销售一批箱装苹果，每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．中秋佳节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售．根据销售经验，每箱每降低1元，每天可多销售2箱．求该店铺每天可获得的最大利润． 23. 某生态旅游度假景区有一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为．当水位上升到水面距离拱桥顶时，此时的水位为警戒水位．建立如图所示的平面直角坐标系，求水位为警戒水位时的水面宽度． 24. 如图，是半的直径，点C，D在半上． （1）若，求的度数． （2）若的半径为6，，求圆心O到弦的距离． 25. 如图，抛物线与直线相交于点A和点． （1）求抛物线的解析式． （2）结合图象，求不等式的解集． （3）设P是抛物线上直线下方的一个动点，求面积的最大值． 26. （1）如图1，是等边三角形，线段是内的线段，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接．若，求的度数． 【拓展提升】 （2）如图2，若是边长为2的等边三角形，D是边上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．在点D的运动过程中，求周长的最小值． 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件示意图如图3所示，其中，主支架，辅助支架，支架夹角．工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $