专题04 幂、指、对函数及性质（必备知识+6大考点+专练，复习讲义）（江苏专用）2026年春季高考数学

专题04 幂、指、对函数及性质 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突 6 考点一： 幂函数的图像和性质……………………………………………………… ………………………………………………………………………………………..….6 考点二：指数幂运算 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….……7 考点三：指数函数图像及应用 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..8 考点四：指数函数性质及应用 ………………………………………………………………………………………………………………………………………10 考点五：对数函数图像及应用 ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………..12 考点六：对数函数性质及应用 ………………………………………………………………………………………………………………………………..………14 实战精练与提升 17 考情解读 一、考试要求 掌握定义及一般形式，熟悉特定幂函数的图象与性质，理解并掌握其单调性、奇偶性。了解有理数与实数指数幂的含义，熟练掌握指数幂的运算性质。明确指数函数的实际意义与概念，能绘制具体指数函数图象，探索并理解其单调性与特殊点，能结合性质比较指数式大小。理解对数的定义及对数函数的概念、一般形式，掌握对数的运算法则。明确对数函数的定义域与值域，能绘制具体对数函数图象；探索并理解其单调性、过定点 (1,0) 等核心性质，能结合性质比较对数式大小。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 指、对数运算 5年3考 指、对数的运算 预测2026年在选择题中考查指、对数的运算 指数函数 5年3考 指数函数的基本性质 预测2026年在选择题中考查指数函数的基本性质 对数函数 5年4考 对数函数的图象与性质应用 预测2026年在选择对数函数的图象与性质应用 知识梳理 知识点1、幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 知识点2、指数与指数幂运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ；②；③. 知识点3 指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 知识点4：对数与对数运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式． （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1)． 指数式与对数式的关系 （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)， ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. 知识点5：指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 考点精讲 考点一 幂函数的图像和性质 解题策略 比较幂值大小的方法 （1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较. （2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较. （3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断. 对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇偶性、图象经过的定点等. 例1已知a＝，b＝，c＝2，则（ 　） A.b＜a＜c B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 【变式训练1】已知幂函数f（x）＝（m2＋m－1）xm的图象与坐标轴没有公共点，则f（）＝（ ） A. B. C.2 D.2 【变式训练2】若（2m＋1＞（m2＋m－1，则实数m的取值范围是　 　. 【变式训练3】已知当x>0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D． 【变式训练4】已知，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　) 考点二 指数幂的运算 解题策略 指数幂的运算技巧 ①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最后加减；③底数是负数的先确定符号. ①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数. 例1计算： （1）（－3＋（0.002－10×（－2）－1＋（－）0＝　 　； 例2若＋＝3，则 ＝　　. 【变式训练1】已知10α＝，10β＝，则＝　 　. 【变式训练2】已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则　(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a 【变式训练3】已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝(　　) A．3　　 B． C．9 D． 【变式训练4】．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________． 考点三 指数函数的图象及应用 解题策略 与指数函数有关的图象问题的求解 指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解. 对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到。 注意　 在指数函数图象变换时，注意特殊点（如定点）、特殊线（如渐近线）的变化. 例1（1）已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是（　 　） A B C D 例2 已知a∈R，若关于x的方程｜ax－1｜－2a＝0有两个不等的实根，则a的取值范围是　 　. 【变式训练1】已知函数f（x）＝ax－1－2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m＋xn的图象不经过（　 　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式训练2】下列函数中，定义域为的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 考点四 指数函数的性质及应用 解题策略 1、方法技巧 1.形如y＝af（x）的函数的单调性：若a＞1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝af（x）的单调递增（减）区间；若0＜a＜1，则函数 f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝af（x）的单调递减（增）区间. 2、求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路 一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解. 注意　 当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论. 例1 若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　 　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c 例2 已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【变式训练1】已知函数f（x）＝.记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（　 　） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 【变式训练2】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式训练3】已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围为（　 　） A.（0，] B.（1，＋∞） C.（0，] D.[，] 【变式训练4】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 考点五 对数函数的图像及应用 解题策略 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.| 3.，且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.识别对数函数图象时，要注意底数以1为分界：当时，是增函数；当时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点，且以轴为渐近线. 例1函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 例2已知函数，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【变式训练1】若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ） A． B． C． D． 考点六 对数函数性质及应用 解题策略 1、解简单对数不等式的方法 （1）形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论； （2）形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式：可利用图象求解． 2、解决对数型复合函数单调性问题的思路 （1）型：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反； （2）型：一般用换元法，即令，则只需要研究及的单调性即可 例1函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 例2 “熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为，其中i表示所有可能的微观态，表示微观态i出现的概率，为大于0的常数．则在以下四个系统中，混乱程度最高的是（       ） A． B．， C． D．，， 【变式训练1】已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】若是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练3】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】已知实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D．不存在 实战训练 1、已知，则（    ） A． B． C． D． 2．己知实数，且，则（       ） A． B． C． D． 3、深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（       ）（参考数据：，） A．11 B．22 C．227 D．481 4、若且，则（       ） A．3 B． C． D． 5、已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 6、已知，，，则（       ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏盐城·三模）已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 8．（24-25高三上·广东惠州·月考）已知函数且． (1)求函数的定义域； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂、指、对函数及性质 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突 6 考点一：幂函数的图像和性质……………………………………………………… ………………………………………………………………………………………..….6 考点二：指数幂运算 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….……7 考点三：指数函数图像及应用 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..9 考点四：指数函数性质及应用 ………………………………………………………………………………………………………………………………………10 考点五：对数函数图像及应用 ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………..11 考点六：对数函数性质及应用 ………………………………………………………………………………………………………………………………..………14 实战精练与提升 19 考情解读 一、考试要求 掌握定义及一般形式，熟悉特定幂函数的图象与性质，理解并掌握其单调性、奇偶性。了解有理数与实数指数幂的含义，熟练掌握指数幂的运算性质。明确指数函数的实际意义与概念，能绘制具体指数函数图象，探索并理解其单调性与特殊点，能结合性质比较指数式大小。理解对数的定义及对数函数的概念、一般形式，掌握对数的运算法则。明确对数函数的定义域与值域，能绘制具体对数函数图象；探索并理解其单调性、过定点 (1,0) 等核心性质，能结合性质比较对数式大小。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 指、对数运算 5年3考 指、对数的运算 预测2026年在选择题中考查指、对数的运算 指数函数 5年3考 指数函数的基本性质 预测2026年在选择题中考查指数函数的基本性质 对数函数 5年4考 对数函数的图象与性质应用 预测2026年在选择对数函数的图象与性质应用 知识梳理 知识点1、幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 知识点2、指数与指数幂运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ；②；③. 知识点3 指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 知识点4：对数与对数运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式． （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1)． 指数式与对数式的关系 （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)， ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. 知识点5：指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 考点精讲 考点一 幂函数的图像和性质 解题策略 比较幂值大小的方法 （1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较. （2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较. （3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断. 对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇偶性、图象经过的定点等. 例1已知a＝，b＝，c＝2，则（ 　） A.b＜a＜c B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解析　因为a＝＝，b＝＝1，c＝，且幂函数y＝在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.故选A. 【变式训练1】已知幂函数f（x）＝（m2＋m－1）xm的图象与坐标轴没有公共点，则f（）＝（ ） A. B. C.2 D.2 解析　因为f（x）为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，又f（x）的图象与坐标轴无公共点，故m＜0，所以m＝－2，故f（x）＝x－2，所以f（）＝（）-2＝.故选A. 【变式训练2】若（2m＋1＞（m2＋m－1，则实数m的取值范围是　 　. 解析　因为函数y＝的定义域为[0，＋∞），且在定义域内单调递增，所以解得≤m＜2，所以实数m的取值范围为[，2）. 【变式训练3】已知当x>0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D． 【答案】C 【解析】【解析】选C.根据指数函数性质知3a－2>1，解得a>1.故选C. 【变式训练4】已知，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　) 【答案】A 【解析】y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；与y3＝10－x＝在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1(图略)，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A. 考点二 指数幂的运算 解题策略 指数幂的运算技巧 ①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最后加减；③底数是负数的先确定符号. ①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数. 例1计算： （1）（－3＋（0.002－10×（－2）－1＋（－）0＝　 　； 解析　原式＝（－1×（3＋（－＋1＝（＋50－10×（＋2）＋1＝＋10－10－20＋1＝－. 例2若＋＝3，则 ＝　　. 解析　由＋＝3，两边平方，得x＋x－1＝7， ∴x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45. 由（＋）3＝33，得＋3＋3＋＝27. ∴＋＝18，∴＋－3＝15. ∴＝. 【变式训练1】已知10α＝，10β＝，则＝　2　. 解析　＝×＝×＝＝2. 【变式训练2】已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则　(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a 【解析】方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b，由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c>b，故选D. 方法二：因为＝<1，且＝<1，又a，b，c都为正数，所以c>b>a，故选D. 【变式训练3】已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝(　　) A．3　　 B． C．9 D． 【答案】D 【解析】【解析】选D.因为loga＝m，loga3＝n，所以am＝，an＝3. 所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝×32＝. 【变式训练4】．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________． 【答案】 【解析】因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m， 所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝. 考点三 指数函数的图象及应用 解题策略 与指数函数有关的图象问题的求解 指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解. 对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到。 注意　 在指数函数图象变换时，注意特殊点（如定点）、特殊线（如渐近线）的变化. 例1（1）已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是（　 　） A B C D 解析　由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0，0＜a＜1.函数y＝ax＋k的图象可以看作是把y＝ax的图象向右平移－k个单位长度得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数的图象与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，可知选B. 例2 已知a∈R，若关于x的方程｜ax－1｜－2a＝0有两个不等的实根，则a的取值范围是　 　. 解析　关于x的方程｜ax－1｜－2a＝0有两个不等的实根，即曲线y＝｜ax－1｜与直线y＝2a的图象有两个交点，y＝｜ax－1｜的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；当0＜a＜1时，如图2，要使两个函数图象有两个公共点，则0＜2a＜1，得0＜a＜. 图1 图2 综上可知，a的取值范围是（0，）. 【变式训练1】已知函数f（x）＝ax－1－2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m＋xn的图象不经过（　 　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　∵a0＝1，∴f（x）＝ax－1－2的图象恒过定点（1，－1），∴m＝1，n＝－1， ∴g（x）＝1＋，其图象不经过第四象限，故选D. 【变式训练2】下列函数中，定义域为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项． 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 【变式训练3】函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时的函数值判断即可. 【详解】函数中，，即，解得， 函数定义域为，， 函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足； 当时，，选项D不满足，B符合题意. 故选：B 考点四 指数函数的性质及应用 解题策略 1、方法技巧 1.形如y＝af（x）的函数的单调性：若a＞1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝af（x）的单调递增（减）区间；若0＜a＜1，则函数 f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝af（x）的单调递减（增）区间. 2、求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路 一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解. 注意　 当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论. 例1 若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　 　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c 解析　因为函数f（x）＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1；因为函数g（x）＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上，b＞a＞c.故选D. 例2 已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 例3某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入函数解析式可得，将代入函数解析式可求出的值，根据污染物减少，可得出，解出即可得解. 【详解】由可知，当时，； 当时，，解得，那么. 因为污染物减少，所以，所以， 所以． 所以污染物减少大约需要花费． 故选：B． 【变式训练1】已知函数f（x）＝.记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（　 　） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 解析　f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知 f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（）＝f（2－），又＜2－＜＜1，所以f（）＜f（2－）＜f（），所以b＞c＞a，故选A. 【变式训练2】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出指数型函数求出所过定点，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，恒有，因此曲线过定点，， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D 【变式训练3】已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围为（　 　） A.（0，] B.（1，＋∞） C.（0，] D.[，] 解析　由a＞0且a≠1，得y＝在[2，3]上单调递减，由复合函数单调性法则得a∈（0，1），由1－3a≥0，解得a≤，故a∈（0，].故选C. 【变式训练4】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 考点五 对数函数的图像及应用 解题策略 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.| 3.，且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.识别对数函数图象时，要注意底数以1为分界：当时，是增函数；当时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点，且以轴为渐近线. 例1函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解析】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入，得，则， ，因此，.故选：C. 例2已知函数，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案. 【详解】解：依题意，等价于， 在同一坐标系中作出，的图象，如图所示： 如图可得的解集为：. 故选：D. 【变式训练1】若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数图象可得， 函数定义域为， 而，则恒成立，BCD错误，A正确.故选：A 【变式训练2】已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以．故选：C. 考点六 对数函数性质及应用 解题策略 1、解简单对数不等式的方法 （1）形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论； （2）形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式：可利用图象求解． 2、解决对数型复合函数单调性问题的思路 （1）型：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反； （2）型：一般用换元法，即令，则只需要研究及的单调性即可 例1函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得或， 则的定义域为， 令在上单调递减， 又在上单调递减，所以在上单调递增， 在上单调递增，所以在上单调递减，故选：A． 例2 “熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为，其中i表示所有可能的微观态，表示微观态i出现的概率，为大于0的常数．则在以下四个系统中，混乱程度最高的是（       ） A． B．， C． D．，， 【答案】C 对选项逐一验证，分别计算系统的混乱程度，借助对数函数比较大小，计算得解. 【详解】 对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）． A选项：系统的混乱程度； B选项：系统的混乱程度； C选项：系统的混乱程度； D选项：系统的混乱程度，所以，，，所以最小，从而C选项对应的系统混乱程度最高．故选：C. 【变式训练1】已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得或，则的定义域为. 令，因为是增函数，所以要找的减区间， 所以解得，即在上单调递减，所以.故选：D. 【变式训练2】若是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，可得，即， ， ，即 因不恒为0，故.故选：B. 【变式训练3】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 【变式训练4】已知实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】 【分析】 由题设条件可得，从而利用换底公式的推论可得，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值 【详解】 又，则 当且仅当即时取等号 故选：A 实战训练 1、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， ， 所以，故选：A 2．己知实数，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 因为在上单调递增，且，，所以，即， 其次，，所以， 又因为且单调递增，所以由可知，综上，． 故选：A 3、深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（       ）（参考数据：，） A．11 B．22 C．227 D．481 【答案】D 【解析】由于，所以， 依题意，则， 由得， ， ，， ， 所以所需的训练迭代轮数至少为轮. 故选：D 4、若且，则（       ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，又， 所以，所以. 故选：B. 5、已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指对互化以及指对函数的性质进行比较即可. 【详解】 由，，可得. 故选：C. 6、已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 分别判断出每个数的范围，然后比较即可. 【详解】 因为，，，所以. 故选：D. 7．（2025·江苏盐城·三模）已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即， 此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2）函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. 8．（24-25高三上·广东惠州·月考）已知函数且． (1)求函数的定义域； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)答案见解析；(2)． 【解析】（1）令关于的不等式，有． ①当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为； ②当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为； （2）当时，函数的定义域为， 令， 有 ， 令，可得， 因为，所以， 有， 由，当且仅当时取等号， 有，有， 所以，故的最小值为． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $