专题03 函数概念与性质（必备知识+8大考点+专练，复习讲义）（江苏专用）2026年春季高考数学

专题03 函数概念与性质 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一：函数定义域求法 5 考点二：函数值域求法 7 考点三：函数解析式求解 10 考点四：判断函数单调性及运用（重点） 12 考点五：函数奇偶性及运用（常考点） 14 考点六：函数周期性和对称性 16 考点七：抽象函数性质和运用（难点） 18 考点八：函数和方程 20 实战精练与提升 22 考情解读 一、考试要求 深刻理解函数定义，把握变量对应关系及定义域、值域等核心要素；熟练掌握解析法、列表法、图像法，能灵活转化与选用； 掌握求定义域（如分母非零、偶次根式被开方数非负）和值域（如配方法、单调性法）的基本方法； 明晰函数与方程、不等式、集合的联系，能跨模块解题； 熟练运用单调性、奇偶性等性质，且能结合函数知识解决实际问题，抽象模型求解。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 函数的概念 5年5考 函数定义，定义域、值域解析式。 预测2026年在选择题中考查定义域和值域 函数的性质 5年5考 单调性、奇偶性等性质运用 预测2026年在选择题解答题中考查单调性、奇偶性等性质运用 函数与方程 5年3考 函数与方程的联系 预测2026年在选择中考查 知识梳理 知识点1、函数的概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 4、函数的解析式 1.函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是的形式，可根据题目条件转化为该形式. 2.求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 5、分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 知识点2、函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 判定函数的奇偶性的常见方法： （1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立； （2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数； 知识点3、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示． 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性． （2）与的单调性相反． （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反． （4）若≥0，则与具有相同的单调性． （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性． （6）与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点4、函数的周期性和对称性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 3、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 4、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 知识点5、抽象函数 1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值． 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 考点精讲 考点一 函数定义域的求法 解题策略 求具体函数的定义域的策略 1、根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义． 2、求抽象函数的定义域的策略 （1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式求出； （3）若已知函数的定义域为，则的定义域为在上的值域． 【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量的取值集合． 例1-1（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例1-2（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点二 函数的值域求法 解题策略 函数值域的求法 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． 2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法． 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性． 7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性，函数最值在极值点处或区间端点处． 例2-1求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2-2已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】 已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【变式训练2-3】定义在上的函数满足:，则 . 【变式训练2-4】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 考点三 函数解析式的求解 解题策略 函数解析式方法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例3-1若函数，则（   ） A． B． C． D． 例3-2（1）若函数满足，求的解析式． （2）若满足，求的解析式． （3）已知的定义域为，且，求的解析式． 【变式训练3-1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】若，则的解析式为 ． 【变式训练3-3】已知函数满足，则 . 【变式训练3-4】已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 考点四 判断函数的单调性及运用 解题策略 判断函数的单调性 判断函数的单调性的四种方法 1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性； 3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性； 4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性． 例4-1（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 例4-2已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 例4-3定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五 函数的奇偶性及运用 解题策略 函数奇偶性应用 1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； 2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出； 3、求参数：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值． 例2-1（2025·江苏连云港·模拟预测）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2-1已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练5-2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 . 考点六 函数的周期性和对称性 解题策略 函数周期性和对称性应用 周期性 ①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b. ②常见的周期函数有： f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a. 周期性技巧：可以类比正余弦函数 对称性 1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 例6-1已知定义在上的函数满足，且时，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 例6-2若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】已知函数的定义域为，且，．若对任意实数，都有，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练6-2】定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 【变式训练6-3】已知定义在上的函数满足：关于对称，为奇函数，，则（    ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 【变式训练6-4】已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 考点七 抽象函数的性质及运用 解题策略 抽象函数解题关键 1、“化抽象为具体”，依托定义、性质及赋值法突破。 2、紧扣定义，明确函数类型（如奇偶性、单调性、周期性）的核心特征。 3、赋值法是核心工具，令 x=0、1、-1 或 x=y、x=-y，推导函数关系或特殊值。 4、借助图像辅助，根据性质勾勒大致图像，直观分析单调性、值域等问题。 例7-1已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 例7-2已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练7-1】函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【变式训练7-2】已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 考点八 函数与方程 解题策略 函数与方程解题策略 1、“相互转化”，将方程问题转化为函数图像交点、性质问题，结合数形结合与等价转化突破。 2、数形结合，把方程 f (x)=0 的根转化为函数 y=f (x) 与 x 轴的交点，或 f (x)=g (x) 转化为两函数图像交点。 3、等价转化，将复杂方程变形为熟悉形式（如二次方程、指数对数方程），利用对应性质求解。 4、借助函数性质，用单调性、奇偶性、值域判断方程根的个数、范围。 例8-1函数的零点为（    ） A． B． C． D． 例8-2已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练8-1】已知函数，为的根，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【变式训练8-1】函数在区间上的零点个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练8-1】已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 7．（2022·河北·合格考）关于函数，实数满足，且，有以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 实战训练 1、定义在R上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则（       ） A．－2 B．2 C．3 D． 2、已知函数，若，则（       ） A． B． C． D． 3、若函数满足，且当时，，则（       ） A． B．10 C．4 D．2 4、已知定义域为的奇函数，则的值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 5、已知函数，若是奇函数，则实数a=______． 6、函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7.（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9、若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 10、已知，则 ． 11.满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12已知是定义在上的偶函数.，，且，恒有.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数概念与性质 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一 函数定义域的求法 5 考点二 函数的值域求法 7 考点五 函数的奇偶性及运用 16 考点六 函数的周期性和对称性 19 考点七 抽象函数的性质及运用 23 实战精练与提升 30 考情解读 一、考试要求 深刻理解函数定义，把握变量对应关系及定义域、值域等核心要素；熟练掌握解析法、列表法、图像法，能灵活转化与选用； 掌握求定义域（如分母非零、偶次根式被开方数非负）和值域（如配方法、单调性法）的基本方法； 明晰函数与方程、不等式、集合的联系，能跨模块解题； 熟练运用单调性、奇偶性等性质，且能结合函数知识解决实际问题，抽象模型求解。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 函数的概念 5年5考 函数定义，定义域、值域解析式。 预测2026年在选择题中考查定义域和值域 函数的性质 5年5考 单调性、奇偶性等性质运用 预测2026年在选择题解答题中考查单调性、奇偶性等性质运用 函数与方程 5年3考 函数与方程的联系 预测2026年在选择中考查 知识梳理 知识点1、函数的概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 4、函数的解析式 1.函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是的形式，可根据题目条件转化为该形式. 2.求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 5、分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 知识点2、函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 判定函数的奇偶性的常见方法： （1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立； （2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数； 知识点3、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示． 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性． （2）与的单调性相反． （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反． （4）若≥0，则与具有相同的单调性． （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性． （6）与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点4、函数的周期性和对称性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 3、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 4、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 知识点5、抽象函数 1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值． 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 考点精讲 考点一 函数定义域的求法 解题策略 求具体函数的定义域的策略 1、根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义． 2、求抽象函数的定义域的策略 （1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式求出； （3）若已知函数的定义域为，则的定义域为在上的值域． 【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量的取值集合． 例1-1（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 所以 ，解得且 ， 所以函数的定义域是，故选：B 例1-2（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 所以 ，解得且 ， 所以函数的定义域是，故选：B 【变式训练1-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式得出函数的定义域. 【详解】要使得有意义，则，解得. 则函数的定义域为. 故选：A 【变式训练1-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意知道，解得，即.故选：D. 【变式训练1-3】已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【解答过程】由题意得对任意恒成立， 当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意； 当时，由该不等式恒成立可得 ，解之得， 综上，实数的取值范围是， 故选：A. 考点二 函数的值域求法 解题策略 函数值域的求法 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． 2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法． 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性． 7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性，函数最值在极值点处或区间端点处． 例2-1求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【解答过程】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 例2-2已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法依次求出即可. 【解答过程】在中，令，则， 令，则，即， 在中，令，则，则， 令，则，令，则. 故选：A. 【变式训练2-1】若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【解答过程】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 【变式训练2-2】 已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【解题思路】中令，结合可得答案. 【解答过程】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 【变式训练2-3】定义在上的函数满足:，则 . 【答案】0 【解题思路】赋值法得到，再令，得到，结合，求出. 【解答过程】定义在上的函数满足：， 令时，，则， 令时，即， 因为，所以. 故答案为：0. 【变式训练2-4】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【解答过程】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为 考点三 函数解析式的求解 解题策略 函数解析式方法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例3-1若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得． 例3-2（1）若函数满足，求的解析式． （2）若满足，求的解析式． （3）已知的定义域为，且，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用方程组法计算求解析式即可； 【详解】（1）用代替原方程中的，得到． 联立方程组消去，得． （2）用代替原方程中的，得到 联立方程组，消去，得． （3）用代替原方程中的，得到． 联立方程组消去，得． 【变式训练3-1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，且，则， 可得， 所以.故选：B. 【变式训练3-2】若，则的解析式为 ． 【答案】 【解析】令，则，因为， 所以，故. 【变式训练3-3】已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以. 【变式训练3-4】已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以.故选：C. 考点四 判断函数的单调性及运用 解题策略 判断函数的单调性 判断函数的单调性的四种方法 1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性； 3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性； 4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性． 例4-1（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为.故选：B. 例4-2已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【解答过程】由已知得函数的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．又，所以． 因为，所以． 故，即． 故选：D. 例4-3定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】不妨设，则由，可得，构造函数，从而可得出函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】由题意，不妨设， 则由，可得， 则， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递减， 由，得， 由，得， 因为函数的定义域为，所以， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式训练4-1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增，是减函数， 根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为．故选：D. 【变式训练4-2】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数， 且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是.故选：A. 【变式训练4-3】已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 在中，函数在上是增函数， 解得.故选：A 考点五 函数的奇偶性及运用 解题策略 函数奇偶性应用 1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； 2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出； 3、求参数：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值． 例2-1（2025·江苏连云港·模拟预测）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数是奇函数，函数为偶函数， 所以，，即，化简解得.故选：A. 例2-1已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由不等式等价于 或求解. 【解答过程】因为当时，， 所以时，，时，， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以时，，时，， 又不等式，等价于 或， 所以 或，解得 或， 故选：C. 【变式训练5-1】已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴. ∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， ∴，，∴， ∴，. ∴. 故选：D. 【变式训练5-2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 对于A，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ，所以B正确； 对于C，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ， 所以不是奇函数，所以D不正确；故选：B. 【变式训练5-3】已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 . 【答案】3 【解题思路】根据给定条件，利用函数的奇偶性，赋值计算得解. 【解答过程】由是上的奇函数，是偶函数， 得，即， 因此， 所以. 故答案为：3. 考点六 函数的周期性和对称性 解题策略 函数周期性和对称性应用 周期性 ①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b. ②常见的周期函数有： f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a. 周期性技巧：可以类比正余弦函数 对称性 1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 例6-1已知定义在上的函数满足，且时，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】由题意可得函数周期为6，利用周期函数的概念与性质求解. 【详解】因为，故， 所以函数周期为6， 故. 故选：A. 例6-2若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以.故选：A 【变式训练6-1】已知函数的定义域为，且，．若对任意实数，都有，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】利用赋值可得到递推关系，再证明周期性，即可求解. 【详解】将用替换，由对任意实数，都有， 可得， 由，所以，即， 所以，所以函数的周期， 令，则，因为， 所以，所以． 故选：D 【变式训练6-2】定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称，当时，，作出函数的图像：   由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以， 所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减，所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确，故选：C. 【变式训练6-3】已知定义在上的函数满足：关于对称，为奇函数，，则（    ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】根据两个对称性得出，再根据对称性和周期性即可求出. 【详解】关于对称，则有， 由为奇函数，则有， 则，即，则， 故，故以4为周期， 又，则，故. 故选：B. 【变式训练6-4】已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【解析】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称．故选：A 考点七 抽象函数的性质及运用 解题策略 抽象函数解题关键 1、“化抽象为具体”，依托定义、性质及赋值法突破。 2、紧扣定义，明确函数类型（如奇偶性、单调性、周期性）的核心特征。 3、赋值法是核心工具，令 x=0、1、-1 或 x=y、x=-y，推导函数关系或特殊值。 4、借助图像辅助，根据性质勾勒大致图像，直观分析单调性、值域等问题。 例7-1已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【解答过程】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则， 又在上是增函数，所以，解得，故D正确． 故选：C． 例7-2已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数；(2)在上的单调递减，证明见解析；(3). 【解析】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以，所以， 故实数的取值范围为. 【变式训练7-1】函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【答案】C 【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A； 根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B； 根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C； 不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D. 【解答过程】解：取，，则，解得，， 则．即，函数是奇函数，所以选项A错误； 令，，且，则，因为当时，，所以． 则．即， 函数是R上的增函数，所以选项B错误； 因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为， ，，． 故，在的最小值为-2，所以选项C正确； ，即， 因为函数是R上的增函数，所以，所以， 所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确． 故选：C． 【变式训练7-2】已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【解答过程】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 考点八 函数与方程 解题策略 函数与方程解题策略 1、“相互转化”，将方程问题转化为函数图像交点、性质问题，结合数形结合与等价转化突破。 2、数形结合，把方程 f (x)=0 的根转化为函数 y=f (x) 与 x 轴的交点，或 f (x)=g (x) 转化为两函数图像交点。 3、等价转化，将复杂方程变形为熟悉形式（如二次方程、指数对数方程），利用对应性质求解。 4、借助函数性质，用单调性、奇偶性、值域判断方程根的个数、范围。 例8-1函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 例8-2已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 【变式训练8-1】已知函数，为的根，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】D 【分析】在上单调递增，结合零点存在性定理计算可判断结论. 【详解】因为在上单调递增，所以至多一个零点， 又， 又为的根，所以，故A错误； 又， 又为的根，所以，故B错误； 由，又为的根，可得，故C错误，D正确. 故选：D. 【变式训练8-1】函数在区间上的零点个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令，解得，当时，分别计算出对应的值，找出符合的值即可得解. 【详解】令，解得. 当时，，符合条件； 当时， ，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，不符合条件； 当时，，不符合条件. 综上，在区间上，有三个解， 即函数的零点个数为3. 故选：D 【变式训练8-1】已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数零点即可得解. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：D 7．（2022·河北·合格考）关于函数，实数满足，且，有以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先将函数写成分段函数，画出函数图象，数形结合即可判断①；结合及基本不等式判断②；再结合的范围确定、的范围，即可判断③④. 【详解】因为， 当时，则，当时，则， 所以的图象如下所示： 因为实数满足，且，即与有两个交点，由图可知，故①正确； 因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以，所以，故②正确； 当时，则，即， 又，所以， 所以，即， 又，所以，所以，则， 又， 所以， 所以，即，故③错误； 当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论有个. 故选：C 实战训练 1、定义在R上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则（       ） A．－2 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数的对称性可以找到函数的周期，然后通过周期性和对称性即可求出的值. 【详解】 由可得，函数关于对称，函数为奇函数，所以，所以函数关于对称，则有，即，又， ，的周期为4. . 故选：D. 2、已知函数，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 构建，根据奇偶性定义可证是定义在R上的奇函数，利用奇函数理解运算． 【详解】 令， ，是R上的奇函数，，即， 又，所以． 故选：A． 3、若函数满足，且当时，，则（       ） A． B．10 C．4 D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先得到的周期，再根据函数的周期性计算可得； 【详解】 解：由，得， ∴函数是周期函数，且4是它的一个周期， 又当时，， ∴； 故选：B. 4、已知定义域为的奇函数，则的值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据奇函数的定义域关于原点对称求出，根据求出，再根据奇函数的定义可求出结果. 【详解】 依题意得，解得， 由，得， 所以. 故选：A. 5、已知函数，若是奇函数，则实数a=______． 【答案】1 【解析】 【分析】 利用奇函数的性质列方程求参数. 【详解】 由题意，，即， 所以，化简得，解得． 故答案为：1 6、函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 7.（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 9、若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 10、已知，则 ． 【答案】3 【分折】利用换元法，结合题目的等量关系，求出解析式，即可求解． 【详解】令， ， ， ， ． 故答案为：3． 11.满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 12已知是定义在上的偶函数.，，且，恒有.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数结合函数单调性的定义判定其单调性，根据奇偶性与单调性解不等式即可. 【解答过程】不妨设，所以， 则，所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得，. 故选：D. 4 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $