精品解析： 吉林省吉林市永吉县2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025—2026学年度第一学期阶段性教学质量检测八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 2. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 3. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 等腰三角形的两条边长度分别为，，则该等腰三角形周长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形定义，利用了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，分类讨论：底边为，底边为，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：分以下两种情况： 底边为，腰长为，这个三角形周长是； 底边为，腰长为，因为，所以不能组成三角形； 故该等腰三角形的周长是． 故选：B． 5. 按图中所给的条件，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及其外角的性质． 根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和得到，进而计算即可． 【详解】如图， 可知， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是_____． 【答案】-10 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x, y), 关于x轴的对称点的坐标是(x, -y), 关于y轴的对称点的坐标是(-x, y), 根据关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数得出m, n的值, 从而得出mn. 【详解】解:点A (2, m) 关于y轴的对称点是B (n，5), n=-2,m=5, mn=-10. 故答案为-10. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系. 关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数, 是需要识记的内容. 8. 如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得到，进而计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是线段垂直平分线， ， ∴的周长， 故答案为：13． 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是_______ ． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在中，，于点，，若，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同角的余角相等求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，然后根据计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题关键． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，再运用证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 13. 如图，在△ABC中， BE是AC边上的高，DE∥BC， ∠ADE=52° ，∠C=68°，求∠ABE的度数． 【答案】30° 【解析】 【分析】利用平行线的性质定理可得∠ABC=∠ADE=52°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，可得∠ABE． 【详解】解：∵DE∥BC，∠ADE=52°， ∴∠ABC=∠ADE=52°， ∵BE是AC边上的高， ∴∠BEC=90°， ∵∠C=68°， ∴∠EBC=90-∠C=22°， ∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=52°-22°=30°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键． 14. 如图，于点，为上一点，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ，， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 15. 如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质可得的度数，再由三线合一定理即可得到答案． 【小问1详解】 证明：平分 ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，F是的中点， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A的坐标为． （1）画出关于y轴对称的； （2）直接写出点A，B，C关于x轴的对称点，，的坐标； （3）在x轴上找到一点P，使的和最小．（标出点P位置，直接写出点P的坐标） 【答案】（1）见解析 （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （3）图见解析，点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查画轴对称图形，求三角形面积以及最短路径问题，能够找到P点是解题关键． （1）找到相对应的点，然后依次连接即可； （2）直接利用关于x轴的对称的点的特征直接写出坐标即可； （3）找到点，连接与x轴的交点即为P点，再利用等面积法即可求出P点坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 由题意得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 【小问3详解】 如图，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． 17. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，用尺规作图法在 上取一点 P，使得． 小明的作法及证明过程如下： （1）作线段的垂直平分线， （2）直线交于点 P，则点P就是所求的点． 证明：连接， ∵直线垂直平分线段， ∴（依据：_________________________ )， ∵， ∴． 老师说：“小明的作法和证明过程完全正确．” 解决下列问题： （1）利用尺规作图确定点P的位置；（保留作图痕迹，不写作法) （2）补全证明过程中的依据． 【答案】（1）见解析 （2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质作图即可； （2）利用线段垂直平分线的性质进行证明即可． 【小问1详解】 解：画出点 P 的位置如解图所示； 【小问2详解】 解：（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）， 故答案为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 18. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后由直角三角形的锐角互余得到，结合对顶角相等，即可根据等角对等边证得结论； （2）根据已知条件可知是等边三角形，进而得到，由30度角所对直角边等于斜边的一半得到，然后根据线段的和差运算即可求得的长，从而得到的长度． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 19. 如图，和均为等边三角形，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，，得出，即可证明； （2）根据是等边三角形得，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ， ∴， 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ． 20. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，垂足分别为点和点．则． （1）请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程（证明）． （2）【应用】如图3，在中，平分于点，点在上，，若，则的长为___________．（不需证明） （3）【拓展】如图4，在中，平分交于点，于点，若，，则的面积为___________．（不需证明） 【答案】（1）证明见解析 （2）3 （3）16 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由此证明，即可证明； （2）证明，得到，，再证明，得到，根据线段之间的关系推出，代入求解即可； （3）过点作，交于点，由角平分线的定义和性质得到，，再证明，得到，据此利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：是的平分线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 平分，， 在和中， ， ， ，， ， ， 又，， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：过点作，交于点，如图， 平分交于点，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和角平分线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，证明角平分线的性质定理是解题的关键． 21. 如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后， ______， _______． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】（1）3；3 （2）当点Q的运动速度为时，能够使与全等 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）根据点Q的运动速度与点P的运动速度相等，得出答案即可； （2）根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况：①当且时，且，②，时，且，解方程即可判断． 【小问1详解】 解：经过后，，； 【小问2详解】 解：设点Q的运动速度为，经过，与全等，则可知，，， ， ， 根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况： ①当且时，且， 解得：， ， 舍去此情况； ②，时，且， 解得：； 综上可知：若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为时，能够使与全等． 22. 【综合与实践】 【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】 （1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程； 【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键： （1）证明即可； （2）作轴，证明，即可得出结果； （3）过点作直线轴，交轴于点，作，证明，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）作轴，则， ∵点A坐标为，点C的坐标为， ∴， 同（1）理可证：， ∴， ∴， ∴； （3）过点作直线轴，交轴于点，作， ∵点A坐标为，点C的坐标为， ∴， 同（1）理可证：， ∴， ∴，即：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段性教学质量检测八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 3. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的两条边长度分别为，，则该等腰三角形周长为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 按图中所给的条件，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是_____． 8. 如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，，则的长为___________． 9. 如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是__________． 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是_______ ． 11. 如图，在中，，于点，，若，则的长为________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 如图，，，，求证：． 13. 如图，在△ABC中， BE是AC边上的高，DE∥BC， ∠ADE=52° ，∠C=68°，求∠ABE的度数． 14. 如图，于点，上一点，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 15. 如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A的坐标为． （1）画出关于y轴对称的； （2）直接写出点A，B，C关于x轴的对称点，，的坐标； （3）在x轴上找到一点P，使的和最小．（标出点P位置，直接写出点P的坐标） 17. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，用尺规作图法在 上取一点 P，使得． 小明的作法及证明过程如下： （1）作线段的垂直平分线， （2）直线交于点 P，则点P就是所求的点． 证明：连接， ∵直线垂直平分线段， ∴（依据：_________________________ )， ∵， ∴． 老师说：“小明的作法和证明过程完全正确．” 解决下列问题： （1）利用尺规作图确定点P的位置；（保留作图痕迹，不写作法) （2）补全证明过程中的依据． 18. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求长． 19. 如图，和均为等边三角形，连接、交于点． （1）求证：； （2）求度数． 20. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，垂足分别为点和点．则． （1）请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线性质定理”完整的证明过程（证明）． （2）【应用】如图3，在中，平分于点，点在上，，若，则的长为___________．（不需证明） （3）【拓展】如图4，在中，平分交于点，于点，若，，则的面积为___________．（不需证明） 21. 如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后， ______， _______． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 22. 【综合与实践】 【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】 （1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程； 【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $