专题5.7 实际问题与一元一次方程—商品销售与比赛积分（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

专题5.7 实际问题与一元一次方程（商品销售与比赛积分） 教学目标 1. 掌握商品销售问题中的基本量以及基本量之间的等量关系，能够在解决问题时熟练应用。 2. 掌握比赛积分问题的等量关系能熟练的建立方程并解决问题。 教学重难点 1. 重点 （1）列一元一次方程解决商品销售问题； （2）列一元一次方程解决比赛积分问题。 2. 难点 （1）列一元一次方程解决商品销售问题； （2）列一元一次方程解决比赛积分问题； （3）注意商品销售问题中的六个基本量以及这六个基本量之间构成的等量关系是解决商品问题的关键；比赛积分问题中胜、负以及平的场次之和等于总场次，胜、负以及平的积分之和等于总积分。 知识点01 商品销售问题 1. 商品销售问题中的基本量： 进价（成本）：购进商品时的价格。 售价：销售商品时的价格。 标价：销售商品前标出来的价格。 利润：销售商品过程中的纯收入。 利润率：利润占进价的百分比。 折扣：销售商品时打折的折数。 2. 商品销售问题中的基本等量关系： 利润＝ － ； 售价＝ × ； 利润率＝ ÷ ×100% 【即学即练1】 1．一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利15%，若该商品的进价是45元，若设标价为x元，则可列得方程（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．某商店将一件商品按进价提高20%后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（　　） A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元 【即学即练3】 3．国庆期间，某商场柜组进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打九折出售． （1）商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ （2）商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 知识点02 比赛积分问题 1. 比赛积分问题中的基本等量关系： 总场数＝ ＋ ＋ 总积分＝ ＋ ＋ 【即学即练1】 4．一份卷共25道，每道都出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案写出来．每答对一题得4分，不答或答错扣1分，如果一个学生得90分，那么他答对几道题？如果设答对x道题，则方程可列为（　　） A．4x+（25﹣x）＝90 B．4x﹣（25﹣x）＝90 C．4x﹣25﹣x＝90 D．4x+25﹣x＝90 【即学即练2】5．某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（　　）场． A．1 B．2 C．3 D．5 【即学即练3】6．2019年11月，我区组织了一次职工篮球联赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段，在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，输一场得1分，积分超过15分才能获得决赛资格． （1）若乙队初赛获得4场胜利，问乙队是否有资格参加决赛？请说明理由． （2）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场． 题型01 从商品销售问题中抽象出方程 【典例1】冬天到了，商场一件羽绒服按成本价提高20%后标价，又以八折销售，这样每卖出一件商品可获利50元．设这件羽绒服一件的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．（1+20%）x•0.8﹣x＝50 B．20%x•0.8＝50 C．（1+20%）x•0.8＝50 D．（1+20%）x﹣x＝50 【变式1】某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是15%，设商品标价为x元，可列方程为（　　） A．90%x﹣1530＝1530×15% B．90%x＝1530×（1﹣15%） C．1530×90%＝x（1+15%） D．90%x＝1530÷（1+15%） 【变式2】今年双11狂欢节，小区超市的部分商品也搞了促销活动，一袋标价130元的大米，按照九折销售仍可获利13元，设这袋大米的成本为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（　　） A．130×0.9﹣x＝13 B．（130﹣x）×0.9﹣x＝13 C．x13 D．（130﹣x）×0.9＝x﹣13 【变式3】某商品进价是每件80元，标价是每件125元，现商店打折后出售，仍可获得20%的毛利率 ，设该商店对该商品打x折，则可列方程为（　　） A．125x﹣80＝80•20% B．125x﹣80＝125x•20% C．125••20% D． 题型02 列方程解决商品销售问题 【典例1】某商人一次卖出两件商品，一件赚了20%，一件赔了10%，售价为450元，在这次买卖过程中，则商人（　　） A．赚了45元 B．赚了25元 C．赔了25元 D．不赚不赔 【变式1】某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A，B两种商品进行特价促销，已知购进了A，B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同． （1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该购物平台从厂家购进了A，B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B种商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A，B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ 【变式2】某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 26 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【变式3】小李在“双十一”期间逛超市，看到如下两个超市的促销信息． 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元，其中的200元打九折，超过200元的部分打八折； 已知两家超市相同商品的标价都一样． （1）当一次性购物总额是300元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少元？ （2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？ （3）小李选择在乙超市购物实际付款280元，小李的选择划算吗？请说明理由． 题型03 从比赛积分问题中抽象出方程 【典例1】某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（　　） A．2（9﹣x）+x＝15 B．2（9+x）+x＝15 C．2x+（9﹣x）＝15 D．2x+（9+x）＝15 【变式1】某校举办班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．如果七年级（1）班在8场比赛中共得13分，设获胜的场数是x场，则可列方程为（　　） A．x+2（8﹣x）＝13 B．x﹣2（8﹣x）＝13 C．2x+（8﹣x）＝13 D．2x﹣（8﹣x）＝13 【变式2】一份数学试卷共20道选择题，每道题都给出了4个选项，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣2分，已知小丽得了86分，设小丽选对了x道题，则下列所列方程正确的是（　　） A．2x+5（20﹣x）＝86 B．5x+2（20﹣x）＝86 C．5x﹣2（20﹣x）＝86 D．5x﹣2（20+x）＝86 【变式3】“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，可列方程为 　 　 ． 题型04 列方程解决比赛积分问题 【典例1】七年级8班期末考试平均成绩为93分，小亮得了99分，记作+6分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（　　）分． A．84 B．87 C．90 D．97 【变式1】某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． （1）求小明答对了多少道题？ （2）若答对一题得5分，答错扣2分，不答不扣分，其他条件不变，求小明得分． 【变式2】“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． （1）笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ （2）面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 【变式3】某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 根据以上信息，请你算出： （1）填空：答对一题得 　 　 分，答错一题扣 　 　 分； （2）参赛者F得76分，他答对了几题？ （3）参赛者G说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由． 1．足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，现已比赛了8场，输了1场，得17分，设这个足球队已经胜了a场，则可列方程为（　　） A．3a﹣1×（8﹣a﹣1）＝17 B．3a+1×（8﹣a﹣1）＝17 C．3a+8＝17 D．3a+a﹣1＝17 2．将一种商品按进价提高30%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件获利34元，这种商品每件的进价是多少元？设这种商品每件的进价为x元，则可列方程（　　） A．30% （1+0.9）x＝34 B．x﹣0.9（1+30%）＝34 C．0.9（1+30%）x﹣x＝34 D．0.9（1﹣30% ）x﹣x＝34 3．已知一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售．小华在购买本商品时，打折后又使用支付宝红包抵扣了5元，最终付款139元．请问商家售出这件商品的盈利情况是（　　） A．盈利 B．亏损 C．不赢不亏 D．盈亏不确定 4．一份数学试卷共20道选择题，每道题都给出了4个选项，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣2分，已知小雅得了65分，设小雅选对了x道题，则下列所列方程正确的是（　　） A．2x+5（20﹣x）＝65 B．5x+2（20﹣x）＝65 C．5x﹣2（20﹣x）＝65 D．5x﹣2（20+x）＝65 5．某商品标价3000元，打八折出售后仍获利100元，则该产品的进价是（　　）元． A．2050 B．2100 C．2300 D．2400 6．父亲与小强下棋（没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜了（　　） A．3盘 B．4盘 C．5盘 D．6盘 7．一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：0.8x﹣20＝0.6x+10．小明同学列此方程的依据是（　　） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 8．某班在校园安全教育主题班会上举行安全知识竞赛，一共30道题目，竞赛规则：答对一道题得5分，答错或不答扣2分，晓露最后得分是80分，则晓露答对题目的道数是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 9．小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（　　） 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 1.2 x 中性笔 3.5 总计 13 34 A． B． C． D． 10．某学校组织了“学宪法，用宪法”知识竞赛，在必答题环节，共设10道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛者该环节的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 甲 4 6 10 乙 10 0 100 丙 5 5 25 已知参赛者丁得了70分，则他答对的题数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 11．某商品标价300元，按标价的八折销售，仍然可获利20%，则该商品的进价为 　 　 ． 12．金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得﹣1分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了　 　 场． 13．2025年东营市援疆团队在和黄河会展中心举行“大仓东移，新疆产品展销”活动，活动从1月18日一直持续至2月17日．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，某展柜准备打折销售，若使利润率为20%，则应打　 　 折． 14．2025年第四届中国青少年足球联赛（福建赛区）暨福建青少年足球联赛男子初中年龄段U13组比赛，南安代表队问鼎省级联赛冠军．在本次足球联赛中，常规时间内胜一场得3分，负一场得0分；若常规时间内打平，则采取直接互罚球点球的方式决定该场胜负，点球胜一场得2分，负一场得0分．已知某支球队7场比赛皆取得胜利，总积分是18分，则这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是　 　 ． 15．去年国庆节，某商场的促销活动规定： （1）一次性购物不超过100元，不享受优惠； （2）一次性购物超过100元，但不超过300元，一律九折； （3）一次性购物超过300元，一律八折． 节日期间刘阿姨先后两次到该超市购物分别付款50元和252元，如果刘阿姨一次购买这些商品，则应付款 　 　 元． 16．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． （1）必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； （2）若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 17．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 18．某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 14 10 4 24 B 14 7 7 21 C 14 4 10 18 根据表格提供的信息解答下列问题： （1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ （2）某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 19．小王看到两个商场的促销信息如图所示． （1）当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？ （2）当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ （3）小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？ 20．某社区超市第一次用6000元购进甲，乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （注：获利＝售价﹣进价） （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.7 实际问题与一元一次方程（商品销售与比赛积分） 教学目标 1. 掌握商品销售问题中的基本量以及基本量之间的等量关系，能够在解决问题时熟练应用。 2. 掌握比赛积分问题的等量关系能熟练的建立方程并解决问题。 教学重难点 1. 重点 （1）列一元一次方程解决商品销售问题； （2）列一元一次方程解决比赛积分问题。 2. 难点 （1）列一元一次方程解决商品销售问题； （2）列一元一次方程解决比赛积分问题； （3）注意商品销售问题中的六个基本量以及这六个基本量之间构成的等量关系是解决商品问题的关键；比赛积分问题中胜、负以及平的场次之和等于总场次，胜、负以及平的积分之和等于总积分。 知识点01 商品销售问题 1. 商品销售问题中的基本量： 进价（成本）：购进商品时的价格。 售价：销售商品时的价格。 标价：销售商品前标出来的价格。 利润：销售商品过程中的纯收入。 利润率：利润占进价的百分比。 折扣：销售商品时打折的折数。 2. 商品销售问题中的基本等量关系： 利润＝ 售价 － 进价 ； 售价＝ 标价 × 折扣 ； 利润率＝ 利润 ÷ 进价 ×100% 【即学即练1】 1．一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利15%，若该商品的进价是45元，若设标价为x元，则可列得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得， 15%， 故选：A． 【即学即练2】 2．某商店将一件商品按进价提高20%后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（　　） A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元 【答案】A 【解答】解：设进价为x元，某商店将一件商品按进价提高20%后标价，又以9折销售， ∵标价＝x×（1+20%）＝1.2x， 售价＝标价×90%＝1.2x×0.9＝1.08x， ∴1.08x＝216， x＝216÷1.08＝200． 故选：A． 【即学即练3】 3．国庆期间，某商场柜组进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打九折出售． （1）商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ （2）商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【答案】（1）商品A最后应卖129.6元； （2）商品B的成本是850元． 【解答】解：（1）根据题意得：120×（1+20%）×0.9 ＝120×1.2×0.9 ＝129.6（元）． 答：商品A最后应卖129.6元； （2）设商品B的成本是x元， 根据题意得：0.9×（1+20%）x﹣x＝68， 解得：x＝850． 答：商品B的成本是850元． 知识点02 比赛积分问题 1. 比赛积分问题中的基本等量关系： 总场数＝ 胜场数 ＋ 平场数 ＋ 败场数 总积分＝ 胜场积分 ＋ 平场积分 ＋ 败场积分 【即学即练1】 4．一份卷共25道，每道都出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案写出来．每答对一题得4分，不答或答错扣1分，如果一个学生得90分，那么他答对几道题？如果设答对x道题，则方程可列为（　　） A．4x+（25﹣x）＝90 B．4x﹣（25﹣x）＝90 C．4x﹣25﹣x＝90 D．4x+25﹣x＝90 【答案】B 【解答】解：∵该试卷共25道题，他答对x道题， ∴不答或答错（25﹣x）道题， ∵每答对一题得4分，不答或答错扣1分，该学生得90分， ∴4x﹣（25﹣x）＝90． 故选：B． 【即学即练2】5．某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（　　）场． A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【解答】解：依题意，设负场数为x， 则平场数是2x，胜场数为8﹣x﹣2x＝8﹣3x， ∵胜一场得（3分），平一场得（1分），负一场不得分， ∴3（8﹣3x）+2x＝17， 整理得，﹣7x+7＝0， ∴x＝1， 则8﹣3x＝8﹣3＝5（场）， 所以该队胜了5场， 答：该队胜了5场， 故选：D． 【即学即练3】6．2019年11月，我区组织了一次职工篮球联赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段，在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，输一场得1分，积分超过15分才能获得决赛资格． （1）若乙队初赛获得4场胜利，问乙队是否有资格参加决赛？请说明理由． （2）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）没有资格参加决赛．因为积分为4×2+（10﹣4）×1＝14＜15． （2）设甲队初赛阶段胜x场，则负了（10﹣x）场， 由题意，得：2x+1×（10﹣x）＝18， 解得：x＝8， 所以，10﹣x＝10﹣8＝2， 答：甲队初赛阶段胜8场，负2场． 题型01 从商品销售问题中抽象出方程 【典例1】冬天到了，商场一件羽绒服按成本价提高20%后标价，又以八折销售，这样每卖出一件商品可获利50元．设这件羽绒服一件的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．（1+20%）x•0.8﹣x＝50 B．20%x•0.8＝50 C．（1+20%）x•0.8＝50 D．（1+20%）x﹣x＝50 【答案】A 【解答】解：设该商品一件的成本价为x元， 根据题意可得：（1+20%）x•0.8﹣x＝50． 故选：A． 【变式1】某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是15%，设商品标价为x元，可列方程为（　　） A．90%x﹣1530＝1530×15% B．90%x＝1530×（1﹣15%） C．1530×90%＝x（1+15%） D．90%x＝1530÷（1+15%） 【答案】A 【解答】解：根据题意，得：90%x﹣1530＝1530×15%． 故选：A． 【变式2】今年双11狂欢节，小区超市的部分商品也搞了促销活动，一袋标价130元的大米，按照九折销售仍可获利13元，设这袋大米的成本为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（　　） A．130×0.9﹣x＝13 B．（130﹣x）×0.9﹣x＝13 C．x13 D．（130﹣x）×0.9＝x﹣13 【答案】A 【解答】解：依题意得：130×0.9﹣x＝13． 故选：A． 【变式3】某商品进价是每件80元，标价是每件125元，现商店打折后出售，仍可获得20%的毛利率 ，设该商店对该商品打x折，则可列方程为（　　） A．125x﹣80＝80•20% B．125x﹣80＝125x•20% C．125••20% D． 【答案】D 【解答】解：由题意可得， 12580＝12520%， 故选：D． 题型02 列方程解决商品销售问题 【典例1】某商人一次卖出两件商品，一件赚了20%，一件赔了10%，售价为450元，在这次买卖过程中，则商人（　　） A．赚了45元 B．赚了25元 C．赔了25元 D．不赚不赔 【答案】B 【解答】解：设赚了20%的商品的成本为x元，则： x（1+20%）＝450， 1.2x＝450， 解得：x＝375， 设赔了10%的商品的成本为y元，则： y（1﹣10%）＝450， 0.9y＝450， 解得：y＝500， ∴总成本为：375+500＝875元， ∴2×450﹣875＝25， 在这次买卖过程中，则商人赚了25元， 故选：B． 【变式1】某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A，B两种商品进行特价促销，已知购进了A，B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同． （1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该购物平台从厂家购进了A，B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B种商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A，B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ 【答案】（1）A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元； （2）全部售完共可获利1300元． 【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣40）元， 由题意得：2x＝3（x﹣40）， 解得：x＝120， ∴x﹣40＝120﹣40＝80， 答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元； （2）设购买A种商品a件，则购买B商品（60﹣a）件， 由题意得：120a+80（60﹣a）＝5800， 解得：a＝25， ∴60﹣a＝35， ∴120×20%×25+20×35＝1300（元）， 答：全部售完共可获利1300元． 【变式2】某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 26 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x+25）件， 根据题意得：20x+30（x+25）＝6000， 解得：x＝150， ∴x+25＝100． 答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件． （2）（26﹣20）×150+（40﹣30）×100＝1900（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元． （3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意得：（26﹣20）×150+（4030）×100×3＝1900+800， 解得：y＝9． 答：第二次乙商品是按原价打9折销售． 【变式3】小李在“双十一”期间逛超市，看到如下两个超市的促销信息． 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元，其中的200元打九折，超过200元的部分打八折； 已知两家超市相同商品的标价都一样． （1）当一次性购物总额是300元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少元？ （2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？ （3）小李选择在乙超市购物实际付款280元，小李的选择划算吗？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）甲超市实付款为：300×0.88＝264（元）， 乙超市实付款为：200×0.9+（300﹣200）×0.8＝260（元）； ∴当一次性购物总额是300元时，甲超市实付款264元，乙超市实付款260元． （2）设当购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同． ①当x≤200时，依题意得：0.88x＝x， 解得：x＝0，故不合题意，舍去； ②当x＞200时，依题意得：0.88x＝200×0.9+（x﹣200）×0.8， 解得：x＝250． 答：当购物总额是250元时，甲、乙两家超市实付款相同． （3）小李的选择划算，理由如下： 设小李在乙超市购物y元时，实付款为280元． 依题意得：200×0.96+（y﹣200）×0.8＝280， 解得：y＝325， 如果小李选择在甲超市购物325元，实付款为：325×0.88＝286（元）， ∴小李的选择划算． 题型03 从比赛积分问题中抽象出方程 【典例1】某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（　　） A．2（9﹣x）+x＝15 B．2（9+x）+x＝15 C．2x+（9﹣x）＝15 D．2x+（9+x）＝15 【答案】C 【解答】解：设该队胜了x场，则该队负了（9﹣x）场，胜场得分：2x分，负场得分：（9﹣x）分． 因为共得（15分）， 所以方程应为：2x+（9﹣x）＝15． 故选：C． 【变式1】某校举办班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．如果七年级（1）班在8场比赛中共得13分，设获胜的场数是x场，则可列方程为（　　） A．x+2（8﹣x）＝13 B．x﹣2（8﹣x）＝13 C．2x+（8﹣x）＝13 D．2x﹣（8﹣x）＝13 【答案】C 【解答】解：设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据题意得：2x+（8﹣x）＝13， 故选：C． 【变式2】一份数学试卷共20道选择题，每道题都给出了4个选项，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣2分，已知小丽得了86分，设小丽选对了x道题，则下列所列方程正确的是（　　） A．2x+5（20﹣x）＝86 B．5x+2（20﹣x）＝86 C．5x﹣2（20﹣x）＝86 D．5x﹣2（20+x）＝86 【答案】C 【解答】解：设小丽做对了x道题，则不选或错选（20﹣x）道题， 由题意可得：5x﹣2（20﹣x）＝86， 故选：C． 【变式3】“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，可列方程为 　3x+7﹣x＝17　 ． 【答案】3x+7﹣x＝17． 【解答】解：设该队胜了x场，则该队平的场数为：（7﹣x）场， 根据题意得：3x+7﹣x＝17， 故答案为：3x+7﹣x＝17． 题型04 列方程解决比赛积分问题 【典例1】七年级8班期末考试平均成绩为93分，小亮得了99分，记作+6分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（　　）分． A．84 B．87 C．90 D．97 【答案】C 【解答】解：设小英得了x分， 根据题意得：x﹣93＝﹣3， 解得：x＝90， ∴小英得了90分． 故选：C． 【变式1】某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． （1）求小明答对了多少道题？ （2）若答对一题得5分，答错扣2分，不答不扣分，其他条件不变，求小明得分． 【答案】（1）小明答对了20道题； （2）小明得分为90分或92分或94分或96分或98分或100分． 【解答】解：（1）某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． 设答对x道题，则：4x﹣（25﹣x）＝75， 4x﹣25+x＝75， 5x＝100， x＝20， 答：小明答对了20道题； （2）答对20题，得20×5＝100分， 当答错0题，不答5题时，扣0分，总分为100分； 当答错1题，不答4题时，扣1×2＝2分，总分为100﹣2＝98分； 当答错2题，不答3题时，扣2×2＝4分，总分为100﹣4＝96分； 当答错3题，不答2题时，扣3×2＝6分，总分为100﹣6＝94分； 当答错4题，不答1题时，扣4×2＝8分，总分为100﹣8＝92分； 当答错5题，不答0题时，扣5×2＝10分，总分为100﹣10＝90分； 综上，小明得分为90分或92分或94分或96分或98分或100分． 【变式2】“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． （1）笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ （2）面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 【答案】（1）笔试环节，甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题； （2）乙同学能被评为“消防安全小达人”，理由见解答． 【解答】解：（1）设笔试环节，甲同学未答x道题，则答对5x道题，答错（25﹣5x﹣x）道题， 根据题意得：4×5x﹣（25﹣5x﹣x）＝79， 解得：x＝4， ∴5x＝5×4＝20（道），25﹣5x﹣x＝25﹣5×4﹣4＝1（道）． 答：笔试环节，甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题； （2）乙同学能被评为“消防安全小达人”，理由如下： 面试环节，乙同学的得分为4×23﹣1×（25﹣23）＝90（分）， ∵总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”， ∴乙同学能被评为“消防安全小达人”． 【变式3】某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 根据以上信息，请你算出： （1）填空：答对一题得 　5　 分，答错一题扣 　1　 分； （2）参赛者F得76分，他答对了几题？ （3）参赛者G说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由． 【答案】（1）5，1； （2）参赛者F答对了16道题； （3）参赛者G不可能得36分，理由见解答． 【解答】解：（1）∵100÷20＝5（分）， ∴答对一题得5分； ∵5×19﹣94＝1（分）， ∴答错一题扣1分． 故答案为：5，1； （2）设参赛者F答对了x道题，则答错了（20﹣x）道题， 根据题意得：5x﹣（20﹣x）＝76， 解得：x＝16． 答：参赛者F答对了16道题； （3）参赛者G不可能得36分，理由如下： 假设参赛者G得了36分，设他答对了y道题，则答错了（20﹣y）道题， 根据题意得：5y﹣（20﹣y）＝36， 解得：y， 又∵y为自然数， ∴y不符合题意，舍去， ∴假设不成立，即参赛者G不可能得36分． 1．足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，现已比赛了8场，输了1场，得17分，设这个足球队已经胜了a场，则可列方程为（　　） A．3a﹣1×（8﹣a﹣1）＝17 B．3a+1×（8﹣a﹣1）＝17 C．3a+8＝17 D．3a+a﹣1＝17 【答案】B 【解答】解：设这个足球队已经胜了a场，则平了（8﹣a﹣1）场， 根据题意，得：3a+1×（8﹣a﹣1）＝17． 故选：B． 2．将一种商品按进价提高30%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件获利34元，这种商品每件的进价是多少元？设这种商品每件的进价为x元，则可列方程（　　） A．30% （1+0.9）x＝34 B．x﹣0.9（1+30%）＝34 C．0.9（1+30%）x﹣x＝34 D．0.9（1﹣30% ）x﹣x＝34 【答案】C 【解答】解：由题意可得， 0.9（1+30%）x﹣x＝34， 故选：C． 3．已知一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售．小华在购买本商品时，打折后又使用支付宝红包抵扣了5元，最终付款139元．请问商家售出这件商品的盈利情况是（　　） A．盈利 B．亏损 C．不赢不亏 D．盈亏不确定 【答案】B 【解答】解：设该商品的进价为x元， 根据题意列一元一次方程得，0.8（1+20%）x＝139+5， 整理得，0.96x＝144， 解得x＝150， ∵150＞139， ∴商家售出这件商品的盈利情况是亏损， 故选：B． 4．一份数学试卷共20道选择题，每道题都给出了4个选项，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣2分，已知小雅得了65分，设小雅选对了x道题，则下列所列方程正确的是（　　） A．2x+5（20﹣x）＝65 B．5x+2（20﹣x）＝65 C．5x﹣2（20﹣x）＝65 D．5x﹣2（20+x）＝65 【答案】C 【解答】解：设小雅做对了x道题，则不选或错选（20﹣x）道题， 由题意可得：5x﹣2（20﹣x）＝65， 故选：C． 5．某商品标价3000元，打八折出售后仍获利100元，则该产品的进价是（　　）元． A．2050 B．2100 C．2300 D．2400 【答案】C 【解答】解：设该商品的进价为x元， 根据题意列一元一次方程得：3000×0.8﹣x＝100， 整理得，x＝2400﹣100， 解得x＝2300． 故该商品的进价是2300元． 故选：C． 6．父亲与小强下棋（没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜了（　　） A．3盘 B．4盘 C．5盘 D．6盘 【答案】B 【解答】解：设小强胜了x盘，则父亲胜了（10﹣x）盘， 3x＝2（10﹣x）， x＝4． 故选：B． 7．一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：0.8x﹣20＝0.6x+10．小明同学列此方程的依据是（　　） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 【答案】C 【解答】解：设标价为x， 则0.8x﹣20＝成本价，0.6x+10＝成本价， 所以小明同学列方程：0.8x﹣20＝0.6x+10的依据是商品的成本不变． 故选：C． 8．某班在校园安全教育主题班会上举行安全知识竞赛，一共30道题目，竞赛规则：答对一道题得5分，答错或不答扣2分，晓露最后得分是80分，则晓露答对题目的道数是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【解答】解：设晓露答对题目x道，则答错（30﹣x）道， 根据题意得5x﹣（30﹣x）×2＝80， 解得x＝20，即晓露答对题目20道， 故选：B． 9．小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（　　） 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 1.2 x 中性笔 3.5 总计 13 34 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：填表如下： 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 1.2 x 中性笔 3.5 34﹣x 总计 13 34 则，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意． 故选：B． 10．某学校组织了“学宪法，用宪法”知识竞赛，在必答题环节，共设10道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛者该环节的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 甲 4 6 10 乙 10 0 100 丙 5 5 25 已知参赛者丁得了70分，则他答对的题数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：∵100÷10＝10（分），（25﹣10×5）÷5＝﹣5（分）， ∴答对一题得10分，答错一题倒扣5分． 设参赛者丁答对x道题，则答错（10﹣x）道题， 根据题意得：10x﹣5（10﹣x）＝70， 解得：x＝8， ∴参赛者丁答对8道题． 故选：C． 11．某商品标价300元，按标价的八折销售，仍然可获利20%，则该商品的进价为 　200元　 ． 【答案】200元． 【解答】解：设商品的进价为x元 根据题意可得：300×80%﹣x＝x×20%， 解得：x＝200， 故答案为：200元． 12．金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得﹣1分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了　4　 场． 【答案】4． 【解答】解：设该足球队共胜了x场，则平了（9﹣x﹣2）场， 根据题意得：3x+（9﹣x﹣2）﹣1×2＝13， 解得：x＝4， ∴该足球队共胜了4场． 故答案为：4． 13．2025年东营市援疆团队在和黄河会展中心举行“大仓东移，新疆产品展销”活动，活动从1月18日一直持续至2月17日．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，某展柜准备打折销售，若使利润率为20%，则应打　八　 折． 【答案】八 【解答】解：设商店应打x折， 根据题意可列一元一次方程得，， 整理得，18x＝144， 解得x＝8， ∴商店应打八折， 故答案为：八． 14．2025年第四届中国青少年足球联赛（福建赛区）暨福建青少年足球联赛男子初中年龄段U13组比赛，南安代表队问鼎省级联赛冠军．在本次足球联赛中，常规时间内胜一场得3分，负一场得0分；若常规时间内打平，则采取直接互罚球点球的方式决定该场胜负，点球胜一场得2分，负一场得0分．已知某支球队7场比赛皆取得胜利，总积分是18分，则这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是x，则这支球队在常规时间内获胜的场数是（7﹣x）， 根据题意得：3（7﹣x）+2x＝18， 解得：x＝3， ∴这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是3． 故答案为：3． 15．去年国庆节，某商场的促销活动规定： （1）一次性购物不超过100元，不享受优惠； （2）一次性购物超过100元，但不超过300元，一律九折； （3）一次性购物超过300元，一律八折． 节日期间刘阿姨先后两次到该超市购物分别付款50元和252元，如果刘阿姨一次购买这些商品，则应付款 　264或292　 元． 【答案】264或292． 【解答】解：第一次购物显然没有超过100， 即在第一次消费50元的情况下，他的实质购物价值只能是50元． 第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：刘阿姨消费超过100元但不足300元，这时候刘阿姨是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x元，依题意有 x×0.9＝252， 解得：x＝280． ②第二种情况：刘阿姨消费超过300元，这时候刘阿姨是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为x元，依题意有 x×0.8＝252， 解得：x＝315． 即在第二次消费252元的情况下，刘阿姨的实际购物价值可能是280或315元． （50+280）×80%＝264（元）， （50+315）×80%＝292（元）． 故应付款264元或292元． 故答案为：264或292． 16．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． （1）必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； （2）若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【答案】（1）该队必答环节后的总分数为210分； （2）该队抢答对5道题． 【解答】解：（1）100+7×20+3×（﹣10）＝210（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分； （2）设抢答答对x道题． 根据题意列一元一次方程得，30x﹣10（6﹣x）＝140， 整理得，40x＝200， 解得x＝5． 答：该队抢答对5道题． 17．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元， 由题意得：3x＝4（x﹣20）， 整理得，3x＝4x﹣80， 解得x＝80， ∴80﹣20＝60（元）， 答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品（100﹣a）件， 由题意得 80a+60（100﹣a）＝6900， 整理得，20a＝900， 解得a＝45， ∴100﹣a＝100﹣45＝55， ∴80×25%×45+10×55＝900+550＝1450（元）， 答：全部售完共可获利1450元． 18．某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 14 10 4 24 B 14 7 7 21 C 14 4 10 18 根据表格提供的信息解答下列问题： （1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ （2）某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）胜一场记2分，负一场记1分； （2）胜场总积分不能等于负场总积分，理由见解答过程． 【解答】解：（1）设胜一场记x分，则负一场记分， 根据题意得：7x+721， 解得x＝2， ∴1， 答：胜一场记2分，负一场记1分； （2）胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： 设胜场数是a，负场数是（14﹣a）， 依题意得：2a＝14﹣a， 解得：a＝4， ∵a为整数， ∴a＝4不符合题意， ∴胜场总积分不能等于负场总积分． 19．小王看到两个商场的促销信息如图所示． （1）当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？ （2）当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ （3）小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得， 当一次性购物标价总额是200元时， 在甲超市需付款：200×0.9＝180（元）， 在乙超市需付款：200×0.95＝190（元）， 答：当一次性购物标价总额是200元时，甲超市付款180元，乙超市付款190元； （2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过200元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：0.9x＝200×0.92+（x﹣200）×0.8， 解得x＝240， 答：当标价总额是240时，甲、乙超市实付款一样； （3）由题意可得， 小王两次到乙超市分别购物标价98元和150元时，需要付款：98+150×0.95＝240.5（元）， 小王一次性到乙超市购物标价98+150＝248元的商品，需要付款：200×0.92+（248﹣200）×0.8＝222.4（元）， 240.5﹣222.4＝18.1（元）， 答：可以节省18.1元． 20．某社区超市第一次用6000元购进甲，乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （注：获利＝售价﹣进价） （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】（1）甲150件，乙90件； （2）1950元； （3）85折． 【解答】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意得：22x+306000， 解得：x＝150， ∴90， 答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件． （2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元． （3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意得：（29﹣22）×150+（4030）×90×3＝1950+180， 解得：y＝8.5． 答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $