专题01 圆中重要模型之圆幂定理（几何模型讲义）数学湘教版九年级下册

专题01 圆中重要模型之圆幂定理 圆幂定理是平面几何中关于圆与点、直线关系的基础定理，统合了相交弦定理、割线定理和切割线定理。其核心结论为：若过点P的两条直线与圆O分别交于四点A、B和C、D，则线段乘积满足PA·PB=PC·PD 。 该定理通过点对圆的幂（定义为OP² - r²，r为圆半径）统一描述线段比例关系。当点P在圆外时幂值为正，在圆内为负，在圆上为零。该关系既可正向通过点与圆的位置判断幂的符号，亦可逆向推导几何位置 3 模型趣事 3 真题现模型 3 提炼模型 6 模型拓展 8 模型运用 8 模型1.相交弦模型 8 模型2.双割线模型 11 模型3.切割线模型 13 模型4.弦切角模型 19 模型5.弦切角模型 28 32 一、模型的 “身份设定”：三个定理是 “同源三兄弟” 圆幂定理不是单一定理，而是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统称，它们本质是 “同一个核心规则” 的不同表现形式。 老大 “相交弦定理”：圆内两条弦 AB、CD 交于点 P，就像两条线段在圆内 “握手”，此时 PA×PB=PC×PD，相当于 “握手双方的线段乘积相等”。 老二 “割线定理”：从圆外一点 P 引两条割线，一条交圆于 A、B，另一条交圆于 C、D，好比从圆外 “拉着两条线牵住圆”，此时 PA×PB=PC×PD，和老大的 “乘积规则” 完全一致。 老三 “切割线定理”：从圆外一点 P 引切线 PT 和割线 PAB，切线像 “圆的专属钥匙”，割线像 “普通牵线”，此时 PT²=PA×PB，相当于 “钥匙的平方等于牵线的线段乘积”。 二、模型的 “趣味巧合”：从 “圆内握手” 到 “圆外牵线” 最神奇的 “统一剧情”：不管点 P 在圆内还是圆外，只要和圆有线段连接，都会满足 “线段乘积相等”（切线可看作 “两个交点重合的割线”，所以是平方形式）。就像圆有个 “隐藏设定”，不管外界怎么连接，都要维持这个 “乘积平衡”。 生活类比 “找共鸣”：可以把圆想象成一个 “公平的跷跷板”，点 P 是跷跷板的支点，连接圆的线段是跷跷板的两端，不管两端长度怎么变，“两端乘积” 始终相等，才能保持跷跷板平衡。 三、模型的 “解题趣事”：定理是 “几何侦探工具” 中考里的 “快速破案”：遇到求线段长度、证明线段比例的题，只要出现 “圆 + 交点 + 两条线段”，圆幂定理就能快速 “锁定答案”。比如知道 PA=2，PB=6，PC=3，不用复杂计算，直接用 PA×PB=PC×PD，就能算出 PD=4，像侦探找线索一样高效。 易错点的 “小陷阱”：很多同学会把 “线段乘积” 记成 “和或差”，其实可以联想 “面积守恒”—— 圆内两条弦相交，形成的四个小三角形面积存在隐含关系，乘积相等正是这种关系的体现，记住 “乘积” 而非 “和差”，就不会掉坑。 （2020·湖北荆门·中考真题）如图，为的直径，为的切线，M是上一点，过点M的直线与交于点B，D两点，与交于点E，连接 ．    （1）求证：； （2）若，，求的半径． 1.相交弦模型 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 2.双割线模型 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3.切割线模型 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4.弦切角模型 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。 结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5.托勒密定理模型 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型 例1（23-24九年级下·湖南邵阳·期中）【例1】如图所示,AB 是⊙O 的弦,点 P 在 AB 上,AB=10cm,AP=4cm,OP=5cm,则⊙O的半径为( ). A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 例2（2023·湖南怀化·模拟预测）如图8-8所示,⊙O的弦AB,CD相交于点 P. 若AP=6,BP=8,CP=4,则CD的长为( ). A. 16 B. 24 C. 12 D.不能确定 例3（2024·浙江绍兴·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ． 例4（2024·山东·校考一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证；(2)当时，求CE的长． 模型2.双割线模型 例1（23-24九年级下·湖南岳阳·一模）如图所示,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A,B,C,D. 已知PA=3,AB=PC=2,则PD的长为( ). A. 3 B. 7.5 C. 5 D. 5.5 例2（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ． 例3（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= . 例4（2023春·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 模型3.切割线模型 例1（23-24九年级·全国·假期作业）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    例2（24-25九年级上·河南·期末）我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 下面我们尝试证明切割线定理． 已知：如图1，是外一点，与相切于点，交于点，（即是的割线），连接，． 求证：． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，.， 是的直径， …… (1)根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程． (2)图2中，若的半径为，，，求的长． 例3（22-23九年级上·山西·期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理 米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接． ∵为的切线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ……    任务： (1)请完成剩余的证明过程 (2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长． 例4（2024·山西·模拟预测）阅读与思考：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，．∵是的切线，． ∵是的直径，（依据：______）．，． 又（依据：______），．………… 任务：(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格；(2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 模型4.弦切角模型 例1（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 例2（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 例3（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）阅读材料，完成任务 一切平面图形中最美的是圆形，人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年 前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周 的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上， 一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 证明：如图①，与 ⊙O 相切于点A． 当圆心O 在 弦 上时，容易得到，所以弦切角的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．                如图②，与相切于点A， 当圆心O在的内部时，过点 A 作直径交于点D，在弧上任取一点E，连接，，， 则．( 依 据) 是的直径，则 是的切线，则 所以，， 即 所以弦切角的度数等于它所夹弧所对圆周角的度数． 【任务】 (1)①请写出在上面的证明过程中的依据：_________ ②请完成如图③ ，与相切于点A．当圆心O在的外部时，弦切角定理的证明过程． (2)如下图，在△ABC  中 ，，以 为直径的交 于 点E， 过点B作的切线交的延长线于点D，直 接 写 出 与的数量关系：_______________． 例4（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ， ， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角）， ， ， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等）， ． 完成下列任务： (1)将上述证明过程补充完整； (2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长； ②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 模型5.托勒密定理模型 例1（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 例2（2024·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形 求证：    证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴  ∴， 又， ∴ ∴ ∴，∴ ∴                ∴    即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    例3（2024·河南·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______． 求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽，∴，…… ∴∽，∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 1．（23-24九年级下·全国·阶段练习）如图所示,点P 为弦AB 上的一点,连接OP,过点 P 作. PC交⊙O于点 C,且⊙O的半径为3. 若AP=4,PB=1,则OP的长为( ). A. 2 2．（2024·云南·校考一模）如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以点O 为圆心,OA为半径作⊙O与BC相切于点D,分别交AC,AB于点E,F.若CD=2CE=4,则⊙O 的直径为( ). A. 10 C. 5 D. 12 3．（2024·浙江宁波·九年级校考期中）如图，两个同心圆，过大圆上一点A作小圆的割线，交小圆于B、C两点，且图中圆环的面积为，则 ． 4．（2024·湖南邵阳·九年级校考期中） 如图所示,AB是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点 E,点 P 是BA 延长线上的一点,连接PC交⊙O 于点 F. 若PF=7,FC=13,PA:AE:EB=2:4:1,则CD的长为 . 5．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，以为直径的中，点为上一点，连接，，过点作的切线交的延长线于点，作交的延长线于点．若，，则的长为 ． 6．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）． 7．（2023·贵州遵义·模拟预测）筒车也称为“水车”，利用水力运转的原理，让竹筒取水，流水自转导灌入田．如图1，点是水车的一个竹筒（能盛水），如图2，水车工作时，竹筒的运动路径是以轴心为圆心的圆，水力驱动水车按逆时针方向转动，竹筒转动到点时，水沿的切线方向倒入水渠，延长交于点，． (1)如图2，若水面恰好在处，且点，，在同一条直线上，，米． ①求证：；②求竹筒在水下的最大深度为 　　米（结果保留根号）； (2)如图3，若水面下降至，点，，不在同一条直线上，求证：． 8．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知是的切线，切点为点，为的割线． (1)求证：；(2)若，，，求的面积． 9．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　． （2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长． 10．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）（2024·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 11．（2023·贵州安顺·模拟预测）若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的夹角称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角． (1)为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整（只证明劣交角即可）． 已知：如图1，直线与相交于点，过点作的切线，点为上任一点，连接．求证： ______． (2)如图2，直线与相交于，为的直径，切于点，交的延长线于点，若，，求的半径． 12．（2024·河南南阳·统考一模）弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有非常重要的作用，为了说明弦切角定理的正确性，小明同学进行了以下探索过程： 问题的提出：若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角． 问题的证明：（只证明劣交角即可） (1)请将不完整的已知和求证补充完整，并写出证明过程； 已知：如图1，直线l与⊙O相交于点A，B，过点B作 　 　．求证：∠ABD＝　 　． (2)如图2，直线l与⊙O相交于点A，B，AD为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，交DA的延长线于点C，若AD＝BC，AC＝2，求⊙O的半径． 13．（23-24九年级下·河南平顶山·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务： 罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 如图1，四边形内接于，求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，… 任务： (1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______； (2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长． 14．（2024·河南·校考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质． （1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段） （2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？ 已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，． 求证：． （3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆中重要模型之圆幂定理 圆幂定理是平面几何中关于圆与点、直线关系的基础定理，统合了相交弦定理、割线定理和切割线定理。其核心结论为：若过点P的两条直线与圆O分别交于四点A、B和C、D，则线段乘积满足PA·PB=PC·PD 。 该定理通过点对圆的幂（定义为OP² - r²，r为圆半径）统一描述线段比例关系。当点P在圆外时幂值为正，在圆内为负，在圆上为零。该关系既可正向通过点与圆的位置判断幂的符号，亦可逆向推导几何位置 3 模型趣事 3 真题现模型 3 提炼模型 6 模型拓展 8 模型运用 8 模型1.相交弦模型 8 模型2.双割线模型 11 模型3.切割线模型 13 模型4.弦切角模型 19 模型5.弦切角模型 28 32 一、模型的 “身份设定”：三个定理是 “同源三兄弟” 圆幂定理不是单一定理，而是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统称，它们本质是 “同一个核心规则” 的不同表现形式。 老大 “相交弦定理”：圆内两条弦 AB、CD 交于点 P，就像两条线段在圆内 “握手”，此时 PA×PB=PC×PD，相当于 “握手双方的线段乘积相等”。 老二 “割线定理”：从圆外一点 P 引两条割线，一条交圆于 A、B，另一条交圆于 C、D，好比从圆外 “拉着两条线牵住圆”，此时 PA×PB=PC×PD，和老大的 “乘积规则” 完全一致。 老三 “切割线定理”：从圆外一点 P 引切线 PT 和割线 PAB，切线像 “圆的专属钥匙”，割线像 “普通牵线”，此时 PT²=PA×PB，相当于 “钥匙的平方等于牵线的线段乘积”。 二、模型的 “趣味巧合”：从 “圆内握手” 到 “圆外牵线” 最神奇的 “统一剧情”：不管点 P 在圆内还是圆外，只要和圆有线段连接，都会满足 “线段乘积相等”（切线可看作 “两个交点重合的割线”，所以是平方形式）。就像圆有个 “隐藏设定”，不管外界怎么连接，都要维持这个 “乘积平衡”。 生活类比 “找共鸣”：可以把圆想象成一个 “公平的跷跷板”，点 P 是跷跷板的支点，连接圆的线段是跷跷板的两端，不管两端长度怎么变，“两端乘积” 始终相等，才能保持跷跷板平衡。 三、模型的 “解题趣事”：定理是 “几何侦探工具” 中考里的 “快速破案”：遇到求线段长度、证明线段比例的题，只要出现 “圆 + 交点 + 两条线段”，圆幂定理就能快速 “锁定答案”。比如知道 PA=2，PB=6，PC=3，不用复杂计算，直接用 PA×PB=PC×PD，就能算出 PD=4，像侦探找线索一样高效。 易错点的 “小陷阱”：很多同学会把 “线段乘积” 记成 “和或差”，其实可以联想 “面积守恒”—— 圆内两条弦相交，形成的四个小三角形面积存在隐含关系，乘积相等正是这种关系的体现，记住 “乘积” 而非 “和差”，就不会掉坑。 （2020·湖北荆门·中考真题）如图，为的直径，为的切线，M是上一点，过点M的直线与交于点B，D两点，与交于点E，连接 ．    （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2）的半径为2.5． 【分析】（1）根据切线的性质得到，可得，再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到，故可证明； （2）解法1，先连接BC,证明，得到EM=6，根据勾股定理求出AE，再根据列出比例式求出直径，故可求出；解法2，连接CD，同理得到，根据勾股定理求出AE，设，根据等腰三角形的性质得到CD=CE=x,再利用Rt△ACD列出方程故可求出x,再得到直径即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的切线，为的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴   ∴．    （2）方法1：解：如图，连接，    ∵为直径，∴， ∴，而， ∴， 又：， ∴， ∴， ∵，，∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的半径为2.5． 方法2：解：如图，连接CD，    ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为直径，∴， ∴， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， 在中， ，∴，解得 ∴， ∴的半径为2.5． 【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质． 1.相交弦模型 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 2.双割线模型 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3.切割线模型 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4.弦切角模型 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。 结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5.托勒密定理模型 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型 例1（23-24九年级下·湖南邵阳·期中）【例1】如图所示,AB 是⊙O 的弦,点 P 在 AB 上,AB=10cm,AP=4cm,OP=5cm,则⊙O的半径为( ). A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】3或4 【详解】如图所示，设⊙O 的半径为r. 由相交弦定理得AP·PB=(r+OP)(r-OP), 即 解得r=7. 故选 C. 例2（2023·湖南怀化·模拟预测）如图8-8所示,⊙O的弦AB,CD相交于点 P. 若AP=6,BP=8,CP=4,则CD的长为( ). A. 16 B. 24 C. 12 D.不能确定 【答案】3或4 【详解】∵AP·BP=CP·DP,AP=6,BP=8,CP=4, ∴CD=CP+DP=12+4=16. 故选 A. 例3（2024·浙江绍兴·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ． 【答案】3或4 【详解】解：∵AB=AC=4，AE=2，∴∠ADB=∠ADC， ∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD=∠BAE， ∴△ABD∽△AEB， ∴，即，∴AD=8，∴DE=6， ∵∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，∴△AEC∽△BED， ∴，即，∴BE·CE=12，∵BE，CE都是整数， 则BE和CE可取的值为3，4或2，6或1，12； ∵AB=AC=4，∴BC＜AB+AC=8，∴BC=3+4=7，∴BE的值为3或4，故答案为：3或4． 例4（2024·山东·校考一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证；(2)当时，求CE的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）∵所对的圆周角是，∴，又，∴； （2）∵△是等边三角形，∴∵，∴∴ ∵∴，∴∴ 连接如图，∵∴ ∴∠ 又∠，∴△∴，∴ ∴，∴（负值舍去）∴，解得， 模型2.双割线模型 例1（23-24九年级下·湖南岳阳·一模）如图所示,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A,B,C,D. 已知PA=3,AB=PC=2,则PD的长为( ). A. 3 B. 7.5 C. 5 D. 5.5 【答案】 B. 【详解】∵AB=2,PA=3, ∴PB=5. ∵PA·PB=PC·PD,PC=2, ∴PD=7.5. 故选 B. 例2（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ． 【答案】 【详解】如图，延长交圆于点D，连接、， 四边形为圆内接四边形，∴． ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，，∵，∴，∴半径为，故答案为：． 例3（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= . 【答案】8 【详解】根据割线定理得：PA•PB=PC•PD； ∵，，；∴PD==8cm．故答案为8. 例4（2023春·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 【答案】证明一：，∽，；证明二见解析 【详解】解：证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴． 又∵，∴∽，∴．即． 故答案为：，∽，， 证明二：连接、，∵四边形为圆内接四边形，∴， 又∵，∴， 又∵，∴∽，∴，即． 模型3.切割线模型 例1（23-24九年级·全国·假期作业）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点D，连接，利用余角的性质证明，推出，进而得到，利用等式即可求出． 【详解】解：连接，连接并延长交于点D，连接，    ∵切于点A， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴（负值舍去）． 故填空答案：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，正确利用定理是解决本题的关键． 例2（24-25九年级上·河南·期末）我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 下面我们尝试证明切割线定理． 已知：如图1，是外一点，与相切于点，交于点，（即是的割线），连接，． 求证：． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，.， 是的直径， …… (1)根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程． (2)图2中，若的半径为，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． （1）先根据切线的性质得到，再根据圆周角得到，进而得到，加上为公共角，则可判断，然后根据相似三角形的性质得到，从而得到； （2）设，则，利用，可得，，进而得出，由的半径为，得出，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：设，则， 由（1），知， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ， 的半径为， ， 在中，． 答：的长为：． 例3（22-23九年级上·山西·期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理 米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接． ∵为的切线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ……    任务： (1)请完成剩余的证明过程 (2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据提供的过程，继而证明，可得，再转化为； （2）连接，根据切割线定理得到，，将已知线段代入求出，再代入中，即可求出结果． 【详解】（1）解：证明：如图2，连接． ∵为的切线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，圆的性质，根据题干中的材料，熟练掌握割线定理是解题的关键． 例4（2024·山西·模拟预测）阅读与思考：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，．∵是的切线，． ∵是的直径，（依据：______）．，． 又（依据：______），．………… 任务：(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格；(2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等(2)见解析(3) 【详解】（1）解：根据题意可得，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等； （2）证明：又，．．． （3）解：如图，连接，， ，∴设，，，则． ∵是的切线，是割线，∴由切割线定理得，则， 解得或（舍去），，，，则． ∵AB是的直径，AC是的切线，．． ，，，则． ，． 模型4.弦切角模型 例1（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）有切线连半径，在圆中有切线证角相等，通常通过互余关系证明，所以连接并延长，得到，再通过同弧所对的圆周角相等即可得证； （2）要证是中点，则需证，先想证全等，通过观察发现，除了之外，并无等线段，不好证明，则可通过相似转化等比例线段去证，先证得到，再证得到，所以最后证出即可得证． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，连接并延长，交于点，连接， 与切于点， ，即， 是的直径， ， ∴， ∵， ， ∴． （2）证明：如图，连接、． 由（1）结论可知， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即①， ∵，是圆的切线， ， 又∵， ∴， ∴，即②， 同理可得， ∴，， 、是过圆外一点作的圆的两条切线， ， ，即③， 由式①、②、③即知， 是线段中点． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等内容，本题难点在于第二问如何通过多个相似去转化，熟练掌握相关知识是解题的关键． 例2（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角；任务二：见解析；任务三：3 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，是解题的关键： 任务一：根据直径所对的圆周角是直角进行作答即可； 任务二：根据切线的性质，同角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得出结论； 任务三：圆周角定理，结合中垂线的判定和性质，推出，三线合一，得到，证明，求出的长，进而得到的长即可． 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角． 任务二：如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 与相切于点， ， ， ， 又和是弧所对的圆周角， ， ． 任务三：∵是直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是切线， ∴由任务二可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴的半径为3． 例3（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）阅读材料，完成任务 一切平面图形中最美的是圆形，人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年 前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周 的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上， 一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 证明：如图①，与 ⊙O 相切于点A． 当圆心O 在 弦 上时，容易得到，所以弦切角的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．                如图②，与相切于点A， 当圆心O在的内部时，过点 A 作直径交于点D，在弧上任取一点E，连接，，， 则．( 依 据) 是的直径，则 是的切线，则 所以，， 即 所以弦切角的度数等于它所夹弧所对圆周角的度数． 【任务】 (1)①请写出在上面的证明过程中的依据：_________ ②请完成如图③ ，与相切于点A．当圆心O在的外部时，弦切角定理的证明过程． (2)如下图，在△ABC  中 ，，以 为直径的交 于 点E， 过点B作的切线交的延长线于点D，直 接 写 出 与的数量关系：_______________． 【答案】(1)①同弧所对的圆周角相等  ②见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造同弧所对的圆周角是解题的关键． （1）①根据推导过程得到理论依据即可；②根据同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角解题即可； （2）根据弦切角定理得到，然后根据等腰三角形的三线合一得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：①根据证明过程可得依据为：同弧所对的圆周角相等； 故答案为：同弧所对的圆周角相等； ②在优弧上任取一点E，连接，，， 则， 是的直径，则 是的切线，则 所以，， 即 所以弦切角的度数等于它所夹弧所对圆周角的度数． （2）解：连接，则， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ， ， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角）， ， ， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等）， ． 完成下列任务： (1)将上述证明过程补充完整； (2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长； ②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)；； (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）根据切线的性质，以及圆周角的性质，即可求解， （2）①由弦切角定理，可得：，进而得出，由对应边成比例，即可求出的长， ②连接，由是直径，可得，结合，根据等腰三角形三线合一，即可得出是的角平分线，根据弦切角定理，即可求解， 本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直径所对的圆周角是，相似三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一，解题的关键是：理解并应用弦切角定理，结合已经学会的知识点进行解题． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ， ， 是直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ， ， 又 （同弧所对的圆周角相等）， ． 故答案为：；；； （2）解：①如图， 是的切线，切点为， ， 又， ， ，即：， ，解得：； ②如图，连接， 是直径， ，， 又， 是的角平分线，即：， 又是的切线， ， ． 模型5.托勒密定理模型 例1（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，    ，， 在中，，，， ，，在中，， 在中，，， 在中，，， 四边形是的内接四边形，， ，解得：，故选：B． 例2（2024·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形 求证：    证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴  ∴， 又， ∴ ∴ ∴，∴ ∴                ∴    即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    【答案】(1) (2)勾股定理(3)，证明见解析 【详解】（1）解：   ； （2）解：当圆内接四边形是矩形时， ∴，，∴， ∴托勒密定理就是我们非常熟知的勾股定理； （3）解： 证明：∵， ∴ ∴ ∴是等边三角形∴ 由托勒密定理得： ∴∴； 例3（2024·河南·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______． 求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽，∴，…… ∴∽，∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 【答案】(1)已知：如图1，四边形ABCD内接于；求证：；证明见解析． (2) 【详解】（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于， 求证：， 证明：如图2，作，交BD于点E， ∵∴，∴∴． ∵∴． ∵∴即， ∴∴， ∴． （2）在图3中，连接AD、AC． ∵五边形ABCDE是正五边形∴∴设． 在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得： 即，解得，（舍去）∴对角线BD的长为． 1．（23-24九年级下·全国·阶段练习）如图所示,点P 为弦AB 上的一点,连接OP,过点 P 作. PC交⊙O于点 C,且⊙O的半径为3. 若AP=4,PB=1,则OP的长为( ). A. 2 【答案】C 【详解】如图所示,延长CP交⊙O 于点 D,连接OC. ∵PC⊥OP, ∴ PC=PD. ∵AP=4,PB=1, 解得PC=2. ∵⊙O 的半径为3, 故选C. 2．（2024·云南·校考一模）如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以点O 为圆心,OA为半径作⊙O与BC相切于点D,分别交AC,AB于点E,F.若CD=2CE=4,则⊙O 的直径为( ). A. 10 C. 5 D. 12 【答案】A 【详解】如图59所示,连接OD,过点O 作OG⊥AC于点 G. ∵∠C=90°,OG⊥AC,BC为⊙O 的切线, ∴四边形ODCG是矩形. ∵ CD 是⊙O 切线,CEA是⊙O 的割线, ∵CD=2CE=4, ∴AC=8. ∴AE=6. ∴OD=CG=GE+CE=5. ∴ ⊙O 的直径为10. 故选 A. 3．（2024·浙江宁波·九年级校考期中）如图，两个同心圆，过大圆上一点A作小圆的割线，交小圆于B、C两点，且图中圆环的面积为，则 ． 【答案】4 【详解】解：设圆心为O，作与小圆相切，切点为M，与大圆交于点D，连接，如图所示： ∴，∴， ∵，∴，过点O作，连接， ∴，， ∴，即， ∵，∴，故答案为：4． 4．（2024·湖南邵阳·九年级校考期中） 如图所示,AB是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点 E,点 P 是BA 延长线上的一点,连接PC交⊙O 于点 F. 若PF=7,FC=13,PA:AE:EB=2:4:1,则CD的长为 . 【答案】 【详解】设BE为x,则.PA=2x,PB=7x. ∵根据切割线定理得PA·PB=PF·PC,即2x·7x=7×20,解得 ∴CE·DE=AE·BE=4x²=40. ∵CD⊥AB 于点 E, 5．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，以为直径的中，点为上一点，连接，，过点作的切线交的延长线于点，作交的延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵是的切线，∴，即，∴， ∵是的直径，，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∵， ∴，∴，即， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴，即，∴，即的长为．故答案为： 6．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）． 【答案】②③ 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法得到，△PAD∽△PCB，根据相似三角形的对应边的比相等从而可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB， ∴，∴①错误；②正确； ③连接AC，BD，∵∠P=∠P，∠PBD=∠PCA，∴△PAC∽△PDB， ∴，∴，正确；故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，注意到题目中的相似三角形是解决本题的关键． 7．（2023·贵州遵义·模拟预测）筒车也称为“水车”，利用水力运转的原理，让竹筒取水，流水自转导灌入田．如图1，点是水车的一个竹筒（能盛水），如图2，水车工作时，竹筒的运动路径是以轴心为圆心的圆，水力驱动水车按逆时针方向转动，竹筒转动到点时，水沿的切线方向倒入水渠，延长交于点，． (1)如图2，若水面恰好在处，且点，，在同一条直线上，，米． ①求证：；②求竹筒在水下的最大深度为 　　米（结果保留根号）； (2)如图3，若水面下降至，点，，不在同一条直线上，求证：． 【答案】(1)①见解析；②(2)见解析 【详解】（1）证明：如图2，连接， 、、三点共线，是圆的直径，， 与圆相切，，， ，，； ②解：如图2，过点作交于，米，米， ，，米， 竹筒在水下的最大深度为米，故答案为：； （2）证明：如图3，连接、， ，，，，，， 是圆的切线，，，， ，，． 8．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知是的切线，切点为点，为的割线． (1)求证：；(2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）过作的直径，连，则，， ∵切于点，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）连接，由（）可知，又，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴的半径，∴的面积等于． 9．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　． （2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由托勒密定理可得： 故答案为： （2）如图，连接，五边形是正五边形，则, 设，即 解得（舍去） 10．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）（2024·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)转化思想和类比思想(4) 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴， ∴，∴，∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴，∴， ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴； （3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； 故答案为：思想转化思想和类比思想 （4）解：如图，接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质是解题的关键． 11．（2023·贵州安顺·模拟预测）若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的夹角称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角． (1)为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整（只证明劣交角即可）． 已知：如图1，直线与相交于点，过点作的切线，点为上任一点，连接．求证： ______． (2)如图2，直线与相交于，为的直径，切于点，交的延长线于点，若，，求的半径． 【答案】(1)；证明见解析(2)的半径为 【详解】（1）解：已知：如图，直线与相交于点，过点作的切线，求证：． 证明：如图，连接并延长交于，连接， ， ∵是的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； （2）解：如图，连接， ， ∵直线与相交于点，切于点，由（1）知，， ∵，∴，∴，∴， 设的半径为，则， ∴，解得，（不合题意，∴的半径为． 12．（2024·河南南阳·统考一模）弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有非常重要的作用，为了说明弦切角定理的正确性，小明同学进行了以下探索过程： 问题的提出：若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角． 问题的证明：（只证明劣交角即可） (1)请将不完整的已知和求证补充完整，并写出证明过程； 已知：如图1，直线l与⊙O相交于点A，B，过点B作 　 　．求证：∠ABD＝　 　． (2)如图2，直线l与⊙O相交于点A，B，AD为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，交DA的延长线于点C，若AD＝BC，AC＝2，求⊙O的半径． 【答案】(1)的切线DE，∠C，证明见解析(2) 【详解】（1）解：由题意知： 已知：如图1，直线l与⊙O相交于点A，B，过点B作 的切线．求证：∠ABD＝． 证明：如图1，连接， 由题意知，，， ∴∵ ∴∴ ∵∴ 即结论得证． 故答案为： 的切线，∠ABD＝． （2）解：如图2，连接，由（1）可知，∴ ∴∴解得 或（不符合题意，舍去） ∴∴⊙O的半径为． 13．（23-24九年级下·河南平顶山·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务： 罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 如图1，四边形内接于，求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，… 任务： (1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______； (2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长． 【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：由题意知，托勒密定理的逆命题是：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形． 证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等；“依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似． 故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：如图，作，交于点E， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 即．∴，∴ ，∴． ∴．∴； （3）解：∵为直径，∴，∴四边形为圆的内接四边形， ∵，∴，由勾股定理得，． ∵的角平分线交于点D，∴，∴， ∴，∴为等腰直角三角形，∴． ∵四边形为圆的内接四边形， ∴，即，解得． 14．（2024·河南·校考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质． （1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段） （2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？ 已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，． 求证：． （3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______． 【答案】（1），，，（任意写出两个即可）；（2）见解析；（3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 【详解】解：（1）弦CD、CE分别与切线CB构成的弦切角为：∠DCB，∠ECB； 弦CD、CE分别与切线CA构成的弦切角为：∠DCA，∠ECA． 故答案为：，，，（任意写2个即可） （2）证明：过作直径，连接． ∵是直径，∴．∴． 又∵与相切于点，∴．∴．∴． ∴．∴． （3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $