精品解析：湖南省衡阳市第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

衡阳市一中2025年下学期高一期中考试 高一（数学） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，与之一为空集，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若与之一为空集，则，所以必要性成立； 反之：取，则满足，但与均不是空集，所以充分性不成立， 所以是与中之一为空集的必要不充分条件. 故选：B. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据绝对值的定义化简集合A，然后利用含有n个元素的集合，其子集个数为求解. 【详解】集合，集合含有3个元素， 故子集个数为. 故选：D. 3. 幂函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的性质进行判断. 【详解】因为，所以，所以为偶函数，图象关于轴对称； 又，所以在上单调递减. 故选：C 4. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】令，求得，进而求得. 【详解】令，解得， 所以. 故选：D 5. 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析出函数在上单调递减，结合偶函数的性质和单调性可得出结论. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 则该函数在上单调递减，所以， 故选：C. 6. 若函数的定义域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据单调性求解函数在上的值域，然后再根据函数图像左右平移不影响函数的值域，求解函数的值域即可. 【详解】已知在上单调递减， 因此当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 由此可得：函数在上的值域为. 又因为函数是将函数的图像向左平移两个单位，平移前后的值域不变， 因此可得：函数的值域为. 故选：A 7. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对的取值范围进行分类讨论，再利用不等式恒成立问题处理方法求解即可. 【详解】依题意当时，不等式恒成立； 当时，不等式可化为，因此可得； 当时，不等式可化为，因此可得； 综上可得. 故选：B 8. 函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先通过函数条件得出，再将所求式子变形为对勾函数形式，利用均值不等式求最小值. 【详解】依题意，， ，所以， 由于都是正数，所以， 所以 ， 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 10. 若，，，则下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若且，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对每个选项分别进行代数变形、不等式推导来判断命题的正确性. 【详解】选项A，由，两边乘正数得，A正确. 选项B，， 故，B正确. 选项C，，因，，故分子为负，即，C错误. 选项D，由，两边乘得，又， 故，即，D正确. 故选：ABD 11. 已知狄利克雷函数，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 对任意，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给定义，即可代入选项逐一求解. 【详解】对于A，由于,故，A错误， 对任意的,或，故,因此，故B正确， 对于C，当,则，故，，满足， 当,则，此时，，满足， 故对任意的，都有，故是偶函数，C正确， 对于D, 当,则，故，，满足， 当,则，此时，，满足， 故对任意的，都有，故D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____.（结果用分数指数幂表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据分数指数幂的计算公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 若函数的图象有在轴下方的部分，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，即，再利用基本不等式求解即可． 【详解】由题可知有解， 当时，， 当时，，有解，即， ， 又， ． 故答案为：． 14. 用表示，中的较大者，则的最小值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】画出与的图像，则可得的最小值. 【详解】设，，， 则，， 如图所示画出与的图像： 则 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，函数的定义域为. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式求得，然后由及韦达定理列方程组求解即可； （2）时，求得集合B，然后由得，从而根据集合关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 解得，则； 要使函数有意义，则， 若，对于有即， 则对应不等式解集的端点为对应方程的根，即的两根为， 故由韦达定理得，消去b得，所以； 【小问2详解】 时，对于有，即， 解得， 即， 由可知，又，所以，解得. 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）证明：是增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再利用奇偶性的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用单调性和奇偶性解不等式. 【小问1详解】 依题：，令，得，即，得， 当时，，则，则为奇函数，故； 【小问2详解】 任取，且，则， 则， 故为增函数； 【小问3详解】 因为奇函数，则， 因为为增函数，得，即， 不等式解集为. 17. 小明与父亲准备围一个三角形花园，为设计科学，其父特为他设计了如下的趣味数学问题，即按要求用长为的细线，围成三角形并求解，以指导后续实践活动. 【问题1】甲围法：三边长分别为32cm，33cm，35cm；乙围法：三边长分别为30cm，41cm，29cm，哪种方法围成的三角形面积大； 【问题2】围成一三角形，其中一边长为，求该三角形面积的最大值； 【问题3】将细线围成的三角形中，当三角形面积最大时，求三角形的形状. 并提供了如下的公式作为参考，可直接使用. 【海伦-秦九韶公式】若三角形的三边分别为，，，则该三角形的面积满足， 【三元均值不等式】，，，，时等号成立. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据所给的海伦-秦九韶公式，直接代入比较大小即可求解问题1，根据基本不等式以及三元均值不等式即可求解问题2和3. 【详解】由题易知， 问题1：甲、乙围法所得面积分别为， 又，得到，故甲围法所得三角形面积更大. 问题2： 若三角形的三边长分别为，，，， 则， 当且仅当时取到等号， 问题3： 若三角形的三边分别为，，，且，， 由三元均值不等式，可得， 故， 所以，当且仅当时取到等号，此时三角形为等边三角形， 所以当三角形面积最大时，三角形为等边三角形. 18. 二次函数满足. （1）求实数的值： （2）比较与的大小； （3）若与函数值域相同，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抽象函数关系式可得图象的对称轴，结合二次函数图象的对称轴可得结果； （2）方法一：根据与到对称轴的距离，结合二次函数图象可确定大小关系； 方法二：根据且，结合二次函数图象可确定大小关系； （3）根据二次函数值域求法可得的值域，令，根据的值域可确定与对称轴的关系，由此可得的范围. 【小问1详解】 ，的图象关于直线对称， 的图象对称轴，解得：. 【小问2详解】 方法一：到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又，图象为开口方向向上的抛物线， . 方法二：，， ， ， . 结合二次函数图象， 可知. 【小问3详解】 ，的值域为； 令，则， 的值域与的值域相同，即， 的值域为， 在处取得最小值，则只需即可，解得：， 实数的取值范围为. 19. 设函数为定义在上的单调函数，对任意实数，都有 （1）证明：函数的图象过定点； （2）证明：对任意实数，，都有； （3）若，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，令，求得，即可得到答案. （2）法1：分别取和，求得和，两式相加即可得证； 解法2：令和，代入已知方程，即可得证； （3）由，用代换，用代换，求得，化简原式，结合，代入求得的值，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为对任意实数，都有 令，可得，可得， 所以函数的图象过定点. 【小问2详解】 证明：取代入条件方程，可得， 取代入条件方程，可得， 两式相加得： 取，代入条件方程，可得 综上可得，. 解法2：因为对任意实数，都有 令，可得， 再令，可得， 所以. 【小问3详解】 解：由， 因为对任意实数，都有， 用代换，用代换，可得：， 即 ， 又因为， 令代入，可得， 令代入上述方程，可得， 令代入上述方程，可得， 令代入上述方程，可得， 令代入上述方程，可得， 综上，所求和式答案为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市一中2025年下学期高一期中考试 高一（数学） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，与之一为空集，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 3. 幂函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 若，，，则下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若且，则 D. 若，，则 11. 已知狄利克雷函数，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 对任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____.（结果用分数指数幂表示） 13. 若函数的图象有在轴下方的部分，则实数的取值范围为_____． 14. 用表示，中的较大者，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，函数的定义域为. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的取值范围. 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）证明：是增函数； （3）解不等式. 17. 小明与父亲准备围一个三角形花园，为设计科学，其父特为他设计了如下的趣味数学问题，即按要求用长为的细线，围成三角形并求解，以指导后续实践活动. 【问题1】甲围法：三边长分别为32cm，33cm，35cm；乙围法：三边长分别为30cm，41cm，29cm，哪种方法围成的三角形面积大； 【问题2】围成一三角形，其中一边长为，求该三角形面积的最大值； 【问题3】将细线围成的三角形中，当三角形面积最大时，求三角形的形状. 并提供了如下的公式作为参考，可直接使用. 【海伦-秦九韶公式】若三角形的三边分别为，，，则该三角形的面积满足， 【三元均值不等式】，，，，时等号成立. 18. 二次函数满足. （1）求实数的值： （2）比较与的大小； （3）若与函数值域相同，求实数的取值范围. 19. 设函数为定义在上的单调函数，对任意实数，都有 （1）证明：函数的图象过定点； （2）证明：对任意实数，，都有； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $