精品解析：上海市彭浦中学2025-2026学年高一上学期11月数学期中考试题

上海市彭浦中学2025学年第一学期期中 高一数学试卷 2025．11 （时间：120分钟满分：150分） 一、填空题（本大题共12小题，第1-6每小题4分，第7-12每小题5分，满分54分） 1. 已知常数且，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个点的坐标为_____． 2. 如果不等式的解集为，那么a的取值范围是________． 3. 设全集，集合则＝________ 4. 化简：_____. 5. 已知p：，q：，且p是q的充分非必要条件，则实数a的取值范围是__ 6. 已知，，则用表示_____. 7. 已知函数的大致图像如图所示，则_______． 8. 已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______． 9. 已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则=______. 10. 若关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围为________． 11. 已知均为正数，，则的最小值是_____． 12. 课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则______． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分，满分18分） 13. 已知都是实数，则下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则． B. 若，则． C. 若，则． D. 若，则． 14. 若，下列运算正确是（ ） A B. C. D. 15. 已知集合，，，则集合的子集个数为（ ） A 3 B. 4 C. 8 D. 7 16. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 18. （1）已知，比较和的大小并说明理由； （2）设用反证法证明：若，则或． 19. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． （1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 20. （1）当时，解关于的方程； （2）当时，求函数的定义域； （3）若关于方程有且仅有一个解，求实数的取值范围． 21. 对于直角坐标平面上的两个点、，记． （1）若点，，求满足的的集合； （2）若点在函数图像上，点B的坐标为，求满足的x的集合； （3）若、，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值并指出取得最小值时的点的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市彭浦中学2025学年第一学期期中 高一数学试卷 2025．11 （时间：120分钟满分：150分） 一、填空题（本大题共12小题，第1-6每小题4分，第7-12每小题5分，满分54分） 1. 已知常数且，假设无论为何值，函数图象恒经过一个定点，则这个点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数恒过定点求解即可． 【详解】由题知函数为指数函数，而指数函数恒过点， 故答案为：. 2. 如果不等式的解集为，那么a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式解法分类讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，不等式无解； 当时，，故． 故答案为：. 3. 设全集，集合则＝________ 【答案】 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义计算. 【详解】因为，，所以 所以. 故答案为： 4. 化简：_____. 【答案】 【解析】 【分析】将根式化为分数指数，结合指数幂运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故答案为：. 5. 已知p：，q：，且p是q的充分非必要条件，则实数a的取值范围是__ 【答案】 【解析】 【分析】利用题给条件列出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围. 【详解】由p是q的充分非必要条件， p：，q：， 可得，即，则实数a的取值范围是 故答案为： 6. 已知，，则用表示_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用换底公式以及对数运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 7. 已知函数的大致图像如图所示，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 8. 已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意讨论：时显然满足题意；时，结合二次函数图象求解即可. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 9. 已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则=______. 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值. 【详解】由题设，且， 而，，则. 故答案为： 10. 若关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有两个根，，若使解集中恰有4个正整数，只能在时，此时解集中应有3,4,5,6四个正整数，从而求得参数m满足的条件. 【详解】由知， 若使解集中恰有4个正整数，只能在时，且满足， 此时解集中恰有3,4,5,6四个正整数， 故 故答案为： 11. 已知均为正数，，则的最小值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】通过对已知条件变形得到，再利用“1的代换”结合基本不等式求出的最小值. 【详解】由，展开得，即， 两边同时除以（为正数，），得. 则，当且仅当时取等号. 即当时，的最小值是. 故答案为： 12. 课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合二、三次方程的韦达定理建立关于的等量关系，整体消元解方程组可得. 【详解】由题意互不相同，则互不相同. 即互不相同. 由已知， 可得是方程的三个不同的实数根. 由一元三次方程的韦达定理得 ，即①， 由，且为一常数， 则是方程的两不等根， 则由韦达定理可得，②， 联立①②解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理解并应用一元三次方程的韦达定理，再通过根与系数的关系建立方程组求解. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分，满分18分） 13. 已知都是实数，则下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则． B. 若，则． C. 若，则． D. 若，则． 【答案】D 【解析】 【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D. 【详解】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 14. 若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解． 【详解】由，，，，知： 对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故错误． 故选：． 15. 已知集合，，，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合的元素个数即可得答案. 【详解】因为，共3个元素， 所以集合的子集个数为个. 故选：C. 16. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解分式不等式，再根据并集的定义求解； （2）由可得，列出不等式组，求解即可. 【小问1详解】 根据题意，时，， 又，即等价于，解得， 则，． 【小问2详解】 由等价于， ，又， ，解得， 综上，实数的取值范围是． 18. （1）已知，比较和的大小并说明理由； （2）设用反证法证明：若，则或． 【答案】（1），理由见详解； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）假设且，根据条件进行分析得出矛盾即可证得结论. 【小问1详解】 由， 因为， 所以 ， 所以， 即 【小问2详解】 证明：假设且，则， 与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即或. 19. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． （1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【答案】（1）长为，宽为 （2）长为，宽为 【解析】 【分析】（1）先求得每间虎笼面积的表达式，然后利用基本不等式求得最大值. （2）先求得钢筋网总长的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【小问1详解】 设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大. 【小问2详解】 设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 20. （1）当时，解关于的方程； （2）当时，求函数的定义域； （3）若关于的方程有且仅有一个解，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）解对数方程，由即可求解； （2）有意义，要求真数大于0； （3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【详解】（1），，； （2）对数有意义，则，所以， 所以，解得：或， 所以实数的取值范围为或, 则函数定义域为； （3）由题意有且仅有一个解， 即有且仅有一个解， 所以（①）有且仅有一个解， 方程两边同乘得，即②， 当时，方程②的解为，此时代入①式得，符合题意； 当时，方程②的解为， 此时代入①式得，符合要求； 当且时方程②解为或， 若是方程①的解，则，即， 若是方程①的解，则，即， 则要使方程①有且仅有一个解，则； 综上，方程有且仅有一个解， 实数的取值范围是. 21. 对于直角坐标平面上的两个点、，记． （1）若点，，求满足的的集合； （2）若点在函数图像上，点B的坐标为，求满足的x的集合； （3）若、，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值并指出取得最小值时的点的集合． 【答案】（1） （2） （3）3，且 【解析】 【分析】（1）根据自定义距离公式列不等式，解绝对值不等式得集合； （2）代入函数表达式后分类讨论解绝对值不等式； （3）拆分距离表达式，利用绝对值几何意义求最小值及对应点集. 【小问1详解】 由，且，得，即. 解得，即，故集合为. 【小问2详解】 因点在上，故，则. 由，分情况讨论： 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得. 综上所述，所求集合为. 小问3详解】 . 对于，根据绝对值几何意义可知，当时，最小值为； 对于，根据绝对值的几何意义可知，当时，最小值为. 故的最小值为，此时点的集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $