10.1椭圆的标准方程和离心率讲义-2026届高三体育单招生数学一轮复习

【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 10.1椭圆的标准方程和离心率（讲义) 目录 1 知识点01椭圆的定义… ............. 2 2 知识点02椭圆的标准方程… 2 3 知识点03椭圆的离心率… 4 题型一、求椭圆的标准方程 3 5 题型二、椭圆的离心率… 6 1/10 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 1知识点01椭圆的定义 1、定义：平面内与两个定点的E、E的距离之和等于常数（大于EF)的 点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距， 焦距的一半叫做半焦距. 2、椭圆定义：MF1+|MF2=2a,2a>|FF>0 2知识点02椭圆的标准方程 类型 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x y a2+6=1(a>b>0) 7+8=1(a>b>0) 焦点坐标 F(-c,0),Fz(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 a2=b2+c2 3、椭圆标准方程的求解 (1)利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上： ②定量：依据条件及a2=b2+c2确定a,b,c的值； ③写出标准方程 (2)求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为 父+上=10m>0,n>0,m≠m: m n 2/10 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 3知识点03椭圆的离心率 e==V1-0<e<1 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆 离心率越接近0，则椭圆越扁 4题型一、求椭圆的标准方程 一、单选题 1.在平面直角坐标系xOy中，己知动点P(x,y)到两定点 F(-4,0),F,(4,0)的距离之和是10，则点P的轨迹方程是() x2 v2 A. 25+9=1 B.x2,2 25+16 =1 D.上+=1 2516 2.到点-2V3,0和2V3,0的距离之和为8的点的轨迹方程为() A. r= B. x2,y2 =1 164 124 c+- D. 2+y-1 1612 2+16 3.以F(-1,0),F(1,0)为焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为() A. =1 B. 4y2 =1 32 43 C. =1 D. 34 4+2=1 4.平面内点P到F-3,0)、F,3,0)的距离之和是10，则动点P的轨迹 3/10 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 方程是() 2 A. B. 259 2516 C.2x2 =1 D.x ,=1 259 2516 5.椭圆的两个焦点是(-4,0和4,0)，椭圆上的点M到两个焦点的距离之 和等于10，则椭圆的标准方程是() A. x2y=1 B. 2 =1 54 53 C. x2.y2 =1 D.2 y2 =1 259 169 6.已知平面内一动点P到两定点F-2,0),F,2,0的距离之和为8，则 动点P的轨迹方程为() A. x2y2 =1 B.x2 y2 164 16*12-1 C. 父+=1 D. 95 2016 二、解答题 7.设椭圆C: x2 +京=1(a>b>0)的两个焦点为R,B,点P在梢圆 C上，且PF⊥FE,PF=3,PF=5. (1)求椭圆C的方程； (2)点M在椭圆C上，且△MFF的面积为2√3，求点M的坐标. 4/10 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 8.已知椭圆C: 2+≥=14≥b≥0)的左右惠点分别是6,0）， F(6,0),且该椭圆过点P(5,2). (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点Mxo,y。满足M⊥MF2,求yo的值. 9.已知平面内两定点M(-1,0),N(1,0),动点P满足PM+PW=2√3. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线y=x+1与曲线C交于不同的两点A、B,求AB. 10.已知椭圆的两焦点为F-1,0),F(1,0),点P为椭圆上一点，且 2 FF3=PF +PF (1)求此椭圆的方程； (2)若点P满足∠FPF,=60°，求△PFF,的面积. 5/10 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 5题型二、椭圆的离心率 一、单选题 1.椭圆大+ =1的离心率为（） 4924 2v6 c.26 D. 7 2.若椭圆C的焦距是短轴长的2倍，则椭圆C的离心率是() 4 A. 2V5 C. D. √5 5 3 3.己知椭圆C: 京+X=1(a>0)的左顶点到上焦点的距离为2，则C 的离心率为() A. B.3 C.3 D.5 3 2 4若椭圆C:+y三1(a>)的离心率为3 2,则a=() A. 2W3 B.4 C.3 D.2 3 5.椭圆E:女+少 1与潲圆E文+之10<k<4的( 94 9-k4-k A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 已知椭圆C。+三0>0的焦距为4，则C的离心率为( 4 6/10 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 B. C. D. 2W2 2 3 久.若随圆七。1a>3的焦距为8，则咳椭圆的离心率为（马 A. B. 4 C. D. 4 5 2-3 8.已知椭圆C:x =1的左、右焦点分别为E,F,,P是椭圆C上任 9 意一点.若PF+PF=10,则椭圆C的离心率为(). A. 3 B. 4 3 16 C. 5 D. 4 25 9.已知A-1,0),B(1,0),对曲线C上的任意一点P恒有PA+PB=4, 则C的离心率e为() A B.」 3 C. D.2 2 4 二、解答题 10.已知椭圆C: x2 )+二1a>b>0)的离心率三万，且椭圆过5 3 (1)求C的方程： (2)过点M0,1直线1与椭圆有两个交点A,B,已知V轴上点N(0,3), 求证：kwa+kNB=0. 7/10 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 1.已知椭圆E:少+r 。+存=la>b>0)的离心率为V ,且E过点(1,0). 2 (1)求E的方程： (2)若斜率为2的直线1与y轴交于点D,与E交于M,N两点，证明： |DM2+|DN2为定值. 12.已知椭圆C: :+1@>b之O的离心率为)，长轴长为4 2 (1)求C的方程； (2)过点(0，-2)的直线1交C于A,B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积 为√2，求|AB|. 8/10 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 13.已知椭圆C:+少 a+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,P为椭 1 圆C上一点，△PEF,的周长为6，离心率e= (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F,的直线1与椭圆C交于A,B两点，若OA.OB=-2,求直线1 的方程. 4已知稀圆C:号+芳=a>b>0的高心率e= 3,且椭圆的长轴长 2 为4. (1)求椭圆C的方程； 9/10 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 ②过点L0的直线1乌椭圆C交于4，B两点，且-万，米直线的 方程 S.包知随圆C父+影【(a>b>0)的离心率为，短轴长为2 2 (1)求C的方程； (2)若直线I:y=x+t与C交于M,N两点，O为坐标原点，△OMN的面积为 3求1的值 10/10【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 10.1椭圆的标准方程和离心率（讲义) 目录 1 知识点01椭圆的定义… 2 2 知识点02椭圆的标准方程… 2 3 知识点03椭圆的离心率… 3 4 题型一、求椭圆的标准方程 3 5 题型二、椭圆的离心率…。 11 1/27 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 1知识点01椭圆的定义 1、定义：平面内与两个定点的E、E的距离之和等于常数（大于EF)的 点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距， 焦距的一半叫做半焦距. 2、椭圆定义：MF1+|MF2=2a,2a>|FF>0 2知识点02椭圆的标准方程 类型 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x y a2+6=1(a>b>0) 7+8=1(a>b>0) 焦点坐标 F(-c,0),Fz(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 a2=b2+c2 3、椭圆标准方程的求解 (1)利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上： ②定量：依据条件及a2=b2+c2确定a,b,c的值； ③写出标准方程 (2)求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为 父+上=10m>0,n>0,m≠m: m n 2/27 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 3知识点03椭圆的离心率 e-s-v1-40<e<1 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆 离心率越接近0，则椭圆越扁 4题型一、求椭圆的标准方程 一、单选题 1.在平面直角坐标系xOy中，已知动点P(x,y)到两定点 F(-4,0),F,(4,0)的距离之和是10，则点P的轨迹方程是() A. 25+9=1 B.22 25+16 =1 +后 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断出P点的轨迹为椭圆，并由此求得椭圆方程. 【详解】由于动点P(x,y)到两定点F(-4,0),F(4,0)的距离之和为 10>FF,,故P点的轨迹为椭圆，所以2a=10,a=5,c=4,所以 6=a2-c2=9,所以P点的轨迹方程为是+上 =1. 259 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的定义求椭圆方程，属于基础题， 2.到点-2V3,0和2V3,0的距离之和为8的点的轨迹方程为() 3/27 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 x2 C. x2 A. =1 B. =1 =1D. 164 124 1612 2 -+ =1 1216 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义知动点的轨迹是以-2V3,0)和2V3,0为焦点， 长轴长为8的椭圆，然后求出C,a即可求解， 【详解】解：因为-2V3,0和2V3,0两点间的距离4√3<8， 所有由椭圆的定义知动点的轨迹是以(-2V5,0)和2V3,0)为焦点，长轴长 为8的椭圆， 所以c=2√5,2a=8,即a=4, 所以b2=a2-c2=42-(232=4,a2=16 所以所求动点的轨迹方程为兰+ -=1, 164 故选：A 3 3.以F(-1,0),F(1,0)为焦点，且经过点 1,1 的椭圆的标准方程为() A. + =1 B. =1 c.+上=1D. 3 2 4 3 3 4 4 +y2=1 【答案】B 【分析】根据焦点在x轴上，=1，且过点 用排除法可得也可待定 系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得. 4/27 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1,故排除D;将 代入+-1得+-1 ≠1，故A错误，所以选B 2 32 3212 故选：B 4.平面内点P到F(-3,0)、F2(3,0)的距离之和是10，则动点P的轨迹 方程是() A. B. 259 2516 C. y2,x2 y2,x2 =1 D. =1 259 2516 【答案】B 【分析】求出a,b,c即可得出动点P的轨迹方程. 【详解】由题意， 平面内点P到F-3,0、F,3,0)的距离之和是10， ∴.动点P的轨迹E为椭圆，焦点在轴上， c=3,2a=10,解得：a=5, .b2=a2-c2=16, .轨迹方程为： x2.y2 -+ =1, 2516 故选：B 5.椭圆的两个焦点是(-4,0)和(4,0)，椭圆上的点M到两个焦点的距离之 和等于10，则椭圆的标准方程是() A. x2y2 =1 B. x2,y2 + 54 53=1 5/27 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 C. x2,y2 x2 y2 =1 D. =1 259 169 【答案】C 【分析】根据椭圆定义可得a,根据焦点坐标可得c,然后由b2=α2-c2求 出b2即可得方程. 【详解】由椭圆定义可知，2a=10,得a=5, 又椭圆的两个焦点是-4,0)和4,0)， 所以椭圆焦点在x轴上，且c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9, 所以，所求椭圆的标准方程为士+上=1。 259 故选：C 6.已知平面内一动点P到两定点F,(-2,0),F2（2,0)的距离之和为8，则 动点P的轨迹方程为() x2y2 A. =1 B. =I C.2 =1D. 164 1612 95 x2 -=1 20'16 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点F(-2,0)，F2（2,0)的距离之和为8， 且8>EF=4, 所以动点P的轨迹方程为焦点位于x轴的椭圆， 设椭圆方程为X2+b3工(a>b>0),焦距为2c(c>0 6/27 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2a=8 则{2c=4 ，解得 a2=16 故动点P的轨迹方程为。+ =1 a2=b2+c2 b2=12 1612 故选：B 二、解答题 7.设椭圆C: 京+京=1(a>b>0)的两个焦点为R,F,点P在梢圆 x2,y2 C上，且P℉⊥FE,PF=3,PF=5. (1)求椭圆C的方程； (2)点M在椭圆C上，且△MFF,的面积为2√3，求点M的坐标. 【答案】+-1 1612 (2)2W5,V3)或2W5,-V3)或-2W5,V5)或(-2W5,-V3 【分析】(1)根据椭圆定义，结合勾股定理进行求解即可； (2)根据三角形面积公式进行求解即可. 【详解】(1)因为点P在椭圆C上， 所以PF+PF2=3+5=2a→a=4, 因为PE⊥FE,|PF=3,PE=5. 所以 PE'+|FF=|PF→EFP=25-9=16→|EF=4→2c=4→c=2, 所以62=a2-c=12,即椭圆C的方程为二+ =1 1612 (2)设M(xo,yo),因为△MFF2的面积为2√3， 7/27 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 所以21F=25=4×=25→=5， 因为点M在椭圆C上， 所以发+3=1→6=12→，=±25， 1612 所以点M的坐标为25,5)或2W3,-V3)或-2V5,V5)或(-25，-3 M 8. 已知椭圆c: 京+尔=1(a>6>0)的左、右焦点分别是F(-6,0), F,(6,0),且该椭圆过点P(5,2). (1)求椭圆的标准方程： (2)若椭圆上的点M(x,y)满足ME⊥MF,求的值. 【答案】) y2 45*91 2四%= 3 【分析】(1)由题意确定c的值，根据椭圆上的点，结合椭圆定义求得α的 值，即可求得b2，即得答案： (2)利用数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可求得答案 【详解)1)依题意，设所求椭圆方程为乏+ +京=1(a>b>0),其半焦 距c=6. 8/27 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 :点P(5,2)在椭圆上， 2a=PF+PF=V5+62+22+V5-6)2+22=65, a=3V5,从而b2=a2-c2=9, 故所求椭圆的标准方程是二+上-1。 459 (2)由ME⊥ME得，ME·ME=（-6-xo,-yo(6-x,-) =x-36+y=0, 即x=36-y, 代入圆方整行号1将疗-子成=号 459 9.已知平面内两定点M(-1,0),N(L,0),动点P满足PM+PW=2√5. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线y=x+1与曲线C交于不同的两点A、B,求AB. 【答案】)+上-1 32 283 【分析】(1)由椭圆的定义即可得解 (2)联立直线与椭圆方程结合韦达定理、弦长公式即可得解. 【详解】(1)由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆， 其中c=l,a=V5,b=√2， 所以所求动点P的轨迹C的方程为+ =1. 32 9/27 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 (2)设Ax,y,B(x2,y2), y=x+1 联立直线与椭圆的方程x2,y2 ,消y整理得：5x2+6x-3=0, = 32 6 3 所以△>0，x1+x2=- h-*-4-5)-4副-8 YA y=x+1 10.已知椭圆的两焦点为F(-1,0),F(1,0),点P为椭圆上一点，且 2 FF =PF +PF. (1)求此椭圆的方程； (2)若点P满足∠FPF2=60°，求△PF,F,的面积. 【答案】)女+ 43 (2)5. 【分】们设椭圆的方起为后+茶=口>0b>0,由焦点坐标求出c, 根据2EF,=PE+PF,求出a,从而可求b,即可得出椭圆方程： (2)在焦点三角形PFF,中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出 PFPF,再利用三角形的面积公式，可求△PFF,的面积. 10/27